Volume de pyramide et cône : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF.

Exercice 1 (corrigé volume pyramide)

Une pyramide a pour base un losange dont les diagonales ont pour dimensions 8 et 5 cm.

La hauteur de cette pyramide est de 4 cm.

1.       A vous de tracer le patron …
2.      Quel est le volume de cette pyramide ?
L’aire du losange est \(\dfrac{8\times 5}{2}=20\text{ cm}^2\).
\(V=\dfrac{base\times hauteur}{3}=\dfrac{20\times 4}{3}=\dfrac{80}{3}\approx 27\text{ cm}^3\)
Le volume de la pyramide est environ 27 cm³ (au cm³ près).

Exercice 2 :

Convertir les volumes  suivants en \(cm^3\) :

a. 6 dm³=6 000 \(cm^3\).
b. 0,9 daL=9 L=9 000 \(cm^3\).
c. 45 mm³=0,045 \(cm^3\).
d. 0,092 m³ = 92 000 \(cm^3\)
e. 0,039 hL=3,9 L=3 900\(cm^3\).
f.  0,000756 dam³    = 756 000 \(cm^3\)

Exercice 3 (corrigé volume pyramide)

Quelle est sa hauteur ?
\(V=\frac{base\times hauteur}{3}\)
\(63=\frac{25\times h}{3}\)
\(h=\frac{3\times 63}{25}=7{,}56\,cm\)

Conclusion : la hauteur de cette pyramide est de 7,56 cm.

Exercice 4 :

Quel est le rayon de son cercle de base ?
\(V=\frac{\pi\times R^2\times h}{3}\)
\(18=\frac{\pi\times R^2\times 5}{3}\)
\(18=\frac{5\pi R^2 }{3}\)
\(5\pi R^2=18\times 3\)
\(5\pi R^2=54\)
\(R^2=\frac{54}{5\pi }\)
\(R=\sqrt{\frac{54}{5\pi }}\)
\({\color{DarkRed} R\simeq 1{,}85\,cm}\)

Exercice 5 (corrigé volume pyramide)

\(V=\frac{b\times h}{3}=\frac{4\times 4\times 8}{3}\simeq 43\,cm^3\)

Exercice 6 :

Calculer son volume.
\(V=\frac{\pi\times R^2\times h}{3}\)
\(V=\frac{\pi\times 5^2\times 6}{3}\)
\(V=\frac{150\pi}{3}\)
\({\color{DarkRed} V=50\pi}\,cm^3\)

Exercice 7 (corrigé volume pyramide)

Calculer son volume.
\(V=\frac{base\times hauteur}{3}\)
\(V=\frac{4{,}5\times 6:2\times 7}{3}=\frac{4{,}5\times 3\times 7}{3}=4{,}5\times 7=31{,}5\,cm^3\)

Exercice 8 :

\(V=\frac{B\times h}{3}=\frac{\pi \times R^2\times h}{3}=\frac{\pi \times 7^2\times 9}{3}\simeq 462\,cm^3\)

Exercice 9 (corrigé volume pyramide)

Calculer son volume.

\(V=\frac{base\times hauteur}{3}\)

\(V=\frac{36\times 34}{3}=\frac{1224}{3}=408\,cm^3\)

Conclusion :

Le volume de cette pyramide à base carrée est de \(408\,cm^3\) .

Exercice 10 :

ABCDE est une pyramide droite à base rectangulaire.

1. Quelle est la nature de BCDE ?

      BCDE est un  rectangle .
b. Quelle est la hauteur de ABCDE ?
       La hauteur est [AB] .
c. On sait que AB = 5 cm, BC = 7 cm et BE = 9 cm.
Tracer en vraie grandeur le triangle ABC.
Calculer le volume de ABCDE.
\(V=\frac{base\times hauteur}{3}\)
\(V=\frac{BC\times BE\times AB}{3}\)
\(V=\frac{7\times 9\times 5}{3}=\frac{315}{3}=105\,cm^3\)

Exercice 11 (corrigé volume pyramide)

Voici un patron de cône de révolution.

1.  Quel est le sommet de ce cône ?

Le point A
2. Quel est le centre et le rayon de son disque de base ?
Le point D et son rayon est de 1 cm .
3. Quelle est la longueur d’une génératrice ?
la longueur d’une génératrice est de 3 cm .
4. Calculer la longueur de l’arc de cercle BC.

C’est le périmètre du disque de base .

\(L=2\pi\times 1=2\pi\approx 6{,}28\text{ cm}\)

Exercice 12 :

\(V=\frac{Base\times hauteur}{3}\)
\(V=\frac{30\times 50\times 90}{3}\)
\(V=\frac{135000}{3}\)
\(V=45\,000\text{ m}^3\)
Le volume de la pyramide est 45 000 m³.

Exercice 13 (corrigé volume pyramide)

On repère la forme générale de chaque objet :

• 1. La pyramide d’Égypte a une base carrée et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet : c’est une pyramide.
• 2. Le ballon de basket est parfaitement rond : c’est une boule.
• 3. La brique a six faces rectangulaires : c’est un pavé (pavé droit).
• 4. Le cornet de glace a une base en forme de disque et une pointe : c’est un cône.
• 5. La maison a deux faces parallèles identiques (les pignons, en forme de pentagone) reliées par des rectangles : c’est un prisme droit.
• 6. Le glaçon a six faces carrées identiques : c’est un cube.
• 7. La boîte de conserve a deux disques parallèles reliés par une surface courbe : c’est un cylindre.

Pavé : 3 ; Prisme : 5 ; Pyramide : 1 ; Boule : 2 ; Cylindre : 7 ; Cône : 4 ; Cube : 6.

Exercice 14 :

Pour associer un patron à un solide, on compte les faces et on regarde leur forme.

• Le solide A a deux disques reliés par une surface courbe ; son patron est formé d’un rectangle et de deux disques : c’est le patron 4.
• Le solide B a quatre faces triangulaires : c’est une pyramide à base triangulaire (un tétraèdre) ; son patron est formé de quatre triangles : c’est le patron 3.
• Le solide C a deux faces triangulaires parallèles reliées par trois rectangles ; son patron 1 comporte bien trois rectangles et deux triangles.
• Le solide D a six faces rectangulaires ; son patron en croix, formé de six rectangles, est le patron 2.

	Nom du solide	Patron associé
Solide A	cylindre	4
Solide B	pyramide à base triangulaire	3
Solide C	prisme droit à base triangulaire	1
Solide D	pavé droit	2

Exercice 15 (corrigé volume pyramide)

Dans le cube LMNOPQRS, les sommets O et S sont sur la même arête verticale [OS], et T est le milieu de [PS] (les deux segments [PT] et [TS] sont codés égaux). Appelons \(a\) la longueur d’une arête du cube.

• Face RST (la base) : les segments [SR] et [ST] sont portés par deux arêtes perpendiculaires de la face PQRS du cube, donc RST est un triangle rectangle en S.
• Face OST : l’arête [OS] est perpendiculaire à la face du dessous, donc à (ST). OST est un triangle rectangle en S.
• Face ORS : [OS] et [SR] sont deux arêtes perpendiculaires du cube, de même longueur \(a\). ORS est un triangle rectangle et isocèle en S.
• Face ORT : les triangles OST et RST sont rectangles en S, ont le côté [ST] en commun et \(OS=RS=a\) ; ils sont donc superposables et \(OT=RT\). ORT est un triangle isocèle en T.

Le triangle ORT n’est pas rectangle. Avec le théorème de Pythagore : \(OR^2=a^2+a^2=2a^2\) et \(OT^2=RT^2=a^2+(\dfrac{a}{2})^2=\dfrac{5a^2}{4}\). Le plus grand côté est [OR], or \(OT^2+RT^2=\dfrac{5a^2}{2}\neq 2a^2\) : d’après la contraposée du théorème de Pythagore, ORT n’est pas rectangle. Il n’est pas non plus équilatéral car \(OR\neq OT\).

Exercice 16 :

Une pyramide a pour base un carré de 6 cm de côté et pour hauteur 34 cm. Calculer son volume.

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3} \times 36\times 34=408\,cm^3\)

Exercice 17 (corrigé volume pyramide)

Un cône a pour rayon de base 7cm, et pour hauteur 9cm. Calculer son volume, puis en donner une valeur approchée au centième de cm³ près.

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\times \pi\times 7^2\times 9=147\pi\simeq 461{,}81\,cm^3\)

Exercice 18 :

Une pyramide a pour base un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 4,5cm, AC = 7,5cm et BC = 6cm. Sa hauteur est de 7cm. Calculer son volume.

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{6}\times \,4{,}5\times \,6\times \,7=31{,}5\,cm^3\)

Exercice 19 (corrigé volume pyramide)

Une pyramide a pour base un parallélogramme ABCD tel que AB = 4cm, AD = 4,5cm, et AH = 4cm (H est le point d’intersection de la perpendiculaire à (DC) passant par A). La hauteur de cette pyramide est de 8 cm. Calculer le volume de cette pyramide.

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\times 4\times 4\times 8\simeq 42{,}67\,cm^3\)

Exercice 20 :

Un cône a pour volume 18cm³. Sa hauteur est de 5cm. Quel est le rayon de son cercle de base ? (on donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au centième)

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\times \,\pi\times \,R^2\times \,5=18cm^3\)

\(R^2=\frac{3\times \,18}{\pi\times \,5}\) or R>0 donc

\(R=\sqrt{\frac{3\times 18}{\pi\times 5}}\simeq 1{,}85\,cm\)

Exercice 21 (corrigé volume pyramide)

Une pyramide a pour volume 63cm³, pour base un carré de 5cm de côté. Quelle est sa hauteur ?

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3} \times 5^2\times h=63\,cm^3\)

\(h=\frac{3\times 63}{25}=7{,}56\;cm\)

Exercice 22 :

Une pyramide a pour base un triangle DEF rectangle en E. On sait que sa hauteur (à la pyramide) est de 7cm, que DE = 4cm, et que son volume est de 0,05 L.

1. Calculer EF.

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3} \times DE\times EF \times 7=0{,}05L=0{,}05dm^3=50cm^3\)

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3} \times 4\times EF \times 7=0{,}05L=0{,}05dm^3=50cm^3\)

\(EF=\frac{3\times 50}{28}\simeq 5{,}36\,cm\)

2.En déduire DF.

Le triangle DEF est rectangle en E donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(DF^2=DE^2+EF^2\)

\(DF^2=DE^2+EF^2\)

\(DF^2=4^2+5{,}36^2\)

\(DF=\sqrt{4^2+5{,}36^2}\simeq 6{,}69\,cm\)

Exercice 23 (corrigé volume pyramide)

Une pyramide a pour base un losange dont les diagonales mesurent respectivement 7 et 5 cm. Sa hauteur est de 12cm. Quel est son volume en dm³?

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{6} \times 5\times 7\times 12=70\,cm^3=0{,}07\,dm^3\)

Exercice 24 :

Convertir les volumes suivants en cm³ :

a.       \(6\,dm^3=6\,000\,cm^3\).

b.       \(0{,}9\,daL=9L=9\,dm^3=9\,000\,cm^3\).

c.        \(45\,mm^3=0{,}045\,cm^3\).

d.     \(0{,}092\,m^3=92\,dm^3=92\,000\,cm^3\).

e.       \(0{,}039 hL=3{,}9L=3{,}9dm^3=3900cm^3\).

f.        \(0{,}000756\,dam^3=756\,dm^3=756\,000\,cm^3\)

g.       \(67cL=0{,}67L=0{,}67dm^3=670cm^3\).

Exercice 25 (corrigé volume pyramide)

Une pyramide a pour base un trapèze isocèle de hauteur 4cm, de petite base 5cm, de grande base 7cm. La hauteur de cette pyramide est de 14cm. Quel est son volume ?

\(A_{trapeze}=\frac{(B+b)\times \,h}{2}=\frac{(7+5)\times \,4}{2}=24\,cm^2\)

\(V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\,\times \,24\times \,14=112\,cm^3\)

Exercice 26 :

1. La base est un rectangle ABCD de longueur \(AB=5\text{ cm}\) et de largeur \(BC=4\text{ cm}\). Le triangle ABC est rectangle en B, donc d’après le théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2=5^2+4^2=25+16=41\)

\(AC=\sqrt{41}\approx 6{,}40\)

La diagonale de la base mesure environ 6,40 cm.

2. La pyramide est régulière : le pied O de la hauteur est le centre du rectangle, c’est-à-dire le milieu des diagonales. Donc \(OA=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}\approx 3{,}20\text{ cm}\). Si S est le sommet, le triangle SOA est rectangle en O avec \(SO=6\text{ cm}\) :

\(SA^2=SO^2+OA^2=6^2+\dfrac{41}{4}=36+10{,}25=46{,}25\)

\(SA=\sqrt{46{,}25}\approx 6{,}80\)

Une arête latérale de la pyramide mesure environ 6,80 cm (les quatre arêtes latérales ont la même longueur).

3. L’aire de la base est \(5\times 4=20\text{ cm}^2\).

\(V=\dfrac{B\times h}{3}=\dfrac{20\times 6}{3}=\dfrac{120}{3}=40\)

Le volume de la pyramide est 40 cm³.

4. Pour construire le patron :

1. tracer le rectangle de base de 5 cm sur 4 cm ;
2. sur chacun des quatre côtés, construire au compas un triangle isocèle dont les deux autres côtés mesurent 6,8 cm (pointe du compas sur chaque extrémité du côté, écartement 6,8 cm) ;
3. on obtient deux triangles de base 5 cm et deux triangles de base 4 cm, qui se replient autour du rectangle.

Exercice 27 :

La pyramide est régulière à base carrée : ses quatre faces latérales sont des triangles isocèles superposables, de base 4 cm (un côté du carré) et dont les deux autres côtés mesurent 8 cm (les arêtes latérales).

1. Tracer un carré de 4 cm de côté.
2. Sur chaque côté du carré, construire au compas un triangle isocèle de côtés 8 cm, 8 cm et 4 cm, tourné vers l’extérieur du carré.
3. Vérification : la hauteur de chaque triangle, issue du sommet principal, vaut \(\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}\approx 7{,}75\text{ cm}\).

Le patron est un carré de 4 cm entouré de quatre triangles isocèles de côtés 8 cm, 8 cm et 4 cm.

Exercice 28 :

Il faut d’abord connaître la longueur des arêtes latérales. Soit ABCD la base carrée, O son centre (milieu des diagonales) et S le sommet ; la pyramide étant régulière, \(SO=8\text{ cm}\).

Dans le triangle ABC rectangle en B : \(AC^2=6^2+6^2=72\). Donc \(OA^2=(\dfrac{AC}{2})^2=\dfrac{72}{4}=18\).

Dans le triangle SOA rectangle en O : \(SA^2=SO^2+OA^2=64+18=82\), donc \(SA=\sqrt{82}\approx 9{,}06\).

Les arêtes latérales mesurent environ 9,06 cm.

1. Tracer un carré de 6 cm de côté.
2. Sur chaque côté, construire au compas un triangle isocèle dont les deux autres côtés mesurent 9,06 cm (environ 9,1 cm sur le dessin).

Le patron est un carré de 6 cm entouré de quatre triangles isocèles de côtés 9,06 cm, 9,06 cm et 6 cm.

Exercice 29 :

Calcul de l’angle du secteur. Le patron latéral est un secteur de disque de rayon 7 cm (la génératrice). La longueur de son arc est égale au périmètre du disque de base : \(2\times \pi\times 4=8\pi\text{ cm}\).

Le cercle entier de rayon 7 cm mesure \(2\times \pi\times 7=14\pi\text{ cm}\) et correspond à 360°. L’angle est proportionnel à la longueur de l’arc :

Longueur de l’arc (cm)	\(14\pi\)	\(8\pi\)
Angle (°)	360	\(x\)

\(x=\dfrac{360\times 8\pi}{14\pi}=\dfrac{360\times 4}{7}=\dfrac{1440}{7}\approx 205{,}7\)

L’angle du secteur mesure environ 205,7° (on trace 206° au rapporteur).

Construction du patron.

1. Tracer un cercle de centre S et de rayon 7 cm, puis un rayon [SA].
2. Avec le rapporteur, construire l’angle \(\widehat{ASB}\) de 206° environ ; le secteur limité par [SA], [SB] et l’arc AB est la surface latérale.
3. Tracer le disque de base de rayon 4 cm, tangent à l’arc AB (en général au milieu de l’arc).

Exercice 30 :

Notons ABCD la base avec \(AB=6\text{ cm}\) et \(BC=4\text{ cm}\), O le point d’intersection des diagonales et S le sommet, avec \(SO=8\text{ cm}\).

1. Patron. Il faut la longueur des arêtes latérales. Dans ABC rectangle en B : \(AC^2=6^2+4^2=52\), donc \(OA^2=\dfrac{52}{4}=13\). Dans SOA rectangle en O : \(SA^2=8^2+13=77\), \(SA=\sqrt{77}\approx 8{,}77\text{ cm}\). Comme O est le milieu des diagonales, les quatre arêtes latérales ont cette même longueur.

On trace le rectangle de 6 cm sur 4 cm puis, sur chaque côté, un triangle isocèle dont les deux autres côtés mesurent environ 8,77 cm.

2. Volume. L’aire de la base est \(6\times 4=24\text{ cm}^2\).

\(V=\dfrac{B\times h}{3}=\dfrac{24\times 8}{3}=\dfrac{192}{3}=64\)

Le volume de la pyramide est 64 cm³.

3. Aire latérale. Il faut la hauteur de chaque face triangulaire. Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC] ; on a \(OI=\dfrac{BC}{2}=2\text{ cm}\) et \(OJ=\dfrac{AB}{2}=3\text{ cm}\).

• Faces de base 6 cm : dans SOI rectangle en O, \(SI^2=8^2+2^2=68\), \(SI=\sqrt{68}\approx 8{,}25\text{ cm}\). Aire d’une face : \(\dfrac{6\times \sqrt{68}}{2}=3\sqrt{68}\approx 24{,}74\text{ cm}^2\).
• Faces de base 4 cm : dans SOJ rectangle en O, \(SJ^2=8^2+3^2=73\), \(SJ=\sqrt{73}\approx 8{,}54\text{ cm}\). Aire d’une face : \(\dfrac{4\times \sqrt{73}}{2}=2\sqrt{73}\approx 17{,}09\text{ cm}^2\).

\(\mathcal{A}_{\text{latérale}}=2\times 3\sqrt{68}+2\times 2\sqrt{73}=6\sqrt{68}+4\sqrt{73}\approx 83{,}65\)

L’aire latérale de la pyramide est environ 83,65 cm² (calcul fait à la calculatrice sans arrondir les résultats intermédiaires).

Exercice 31 :

C’est la pyramide de l’exercice 1. On suppose, comme sur la figure de l’exercice 1, que le pied O de la hauteur est le centre du losange ABCD, avec \(AC=8\text{ cm}\), \(BD=5\text{ cm}\) et \(SO=4\text{ cm}\).

1. Patron. Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, donc \(OA=OC=4\text{ cm}\) et \(OB=OD=2{,}5\text{ cm}\).

• Côté du losange : dans AOB rectangle en O, \(AB^2=4^2+2{,}5^2=22{,}25\), \(AB\approx 4{,}72\text{ cm}\).
• Arêtes [SA] et [SC] : dans SOA rectangle en O, \(SA^2=4^2+4^2=32\), \(SA\approx 5{,}66\text{ cm}\).
• Arêtes [SB] et [SD] : dans SOB rectangle en O, \(SB^2=4^2+2{,}5^2=22{,}25\), \(SB\approx 4{,}72\text{ cm}\).

On trace le losange à partir de ses diagonales (8 cm et 5 cm, perpendiculaires en leur milieu), puis sur chaque côté un triangle de côtés 4,72 cm, 5,66 cm et 4,72 cm, en plaçant bien 5,66 cm du côté des sommets A et C.

2. Volume. L’aire d’un losange est \(\dfrac{D\times d}{2}=\dfrac{8\times 5}{2}=20\text{ cm}^2\).

\(V=\dfrac{B\times h}{3}=\dfrac{20\times 4}{3}=\dfrac{80}{3}\approx 26{,}67\)

Le volume de la pyramide est \(\dfrac{80}{3}\text{ cm}^3\), soit environ 26,67 cm³.

Exercice 32 :

Côté du carré. Soit ABCD la base, de côté \(c\). Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore : \(c^2+c^2=AC^2=6^2=36\), donc \(c^2=18\) et \(c=\sqrt{18}\approx 4{,}24\text{ cm}\).

Arêtes latérales. On suppose la pyramide régulière : le pied O de la hauteur est le centre du carré, donc \(OA=\dfrac{6}{2}=3\text{ cm}\). Dans SOA rectangle en O : \(SA^2=5^2+3^2=34\), \(SA=\sqrt{34}\approx 5{,}83\text{ cm}\).

1. Tracer les deux diagonales du carré : deux segments de 6 cm, perpendiculaires et de même milieu ; les relier donne le carré de côté 4,24 cm.
2. Sur chaque côté, construire au compas un triangle isocèle dont les deux autres côtés mesurent 5,83 cm.

Le patron est un carré de côté 4,24 cm environ entouré de quatre triangles isocèles de côtés 5,83 cm, 5,83 cm et 4,24 cm.

Exercice 33 :

1. Volume. L’aire du disque de base est \(\pi\times 4^2=16\pi\text{ cm}^2\).

\(V=\dfrac{B\times h}{3}=\dfrac{16\pi\times 6}{3}=32\pi\approx 100{,}53\)

Le volume du cône est \(32\pi\text{ cm}^3\), soit environ 100,53 cm³.

2. Génératrice. Soit S le sommet, O le centre de la base et M un point du cercle de base. Le triangle SOM est rectangle en O, avec \(SO=6\text{ cm}\) et \(OM=4\text{ cm}\) :

\(SM^2=SO^2+OM^2=36+16=52\), donc \(SM=\sqrt{52}\approx 7{,}21\).

La génératrice mesure environ 7,21 cm.

Angle du secteur. L’arc du secteur mesure le périmètre de la base, \(8\pi\text{ cm}\) ; le cercle complet de rayon \(\sqrt{52}\) mesure \(2\pi\sqrt{52}\text{ cm}\) pour 360°. Par proportionnalité :

\(x=\dfrac{360\times 8\pi}{2\pi\sqrt{52}}=\dfrac{360\times 4}{\sqrt{52}}\approx 199{,}7\)

L’angle du secteur mesure environ 199,7° (on trace 200° au rapporteur).

Construction. Tracer un secteur de disque de rayon 7,2 cm et d’angle 200° environ, puis un disque de rayon 4 cm tangent à l’arc du secteur.

Corrigé volume pyramide : méthode de travail

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur corrigé volume pyramide vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Cône (géométrie) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec les équations : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF.