Le caclul littéral : corrigé des exercices de maths en 4ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (corrigé littéral 4ème)

Ecrire sans parenthèses les expressions données :
a. – (3+x)= – 3 – x
b. – (2a+4)= – 2a – 4
c. – (- 3+x)=3 – x
d. – (5 – x)= – 5+x
e. -(7-2y)= – 7+2y
f. – (-6-4x)= 6+4x

Exercice 2 :

Réduire chacune des expressions suivantes :

a. \(2x \times 7=14x\)
b. \(-5y \times (-2)=10y\)
c. \(4x \times (-5)=-20x\)
d. \(-5 \times 9a =-45a\)
e. \(-3x \times x= – 3x^2\)
f. \(5b \times (- 2b)= – 10b^2\)
g. \(\frac{2}{3}a \times (- 6a)= – 4a^2\)
h. \(3x-5+4x-13-9x=-2x-18\)
i. \(-2x+3-9x-4+3x=-8x-1\)
j. \(5x-2-4x+7-3x-2-9x-11=-11x-8\)

Exercice 3 (corrigé littéral 4ème)

Supprimer les parenthèses puis réduire chaque expression.
a. \(25-(2a-3)=25-2a+3=-2a+28\)
b. \(3a-(-2a+7)=3a+2a-7=5a-7\)
c. \(-(a+3b)+(b-2a)=-a-3b+b-2a=-3a-2b\)
d. \((5+x)-(7x-5)=5+x-7x+5=-6x+10\)
e. \((x^2-5x)+(2x^2+7x-8)=x^2-5x+2x^2+7x-8=3x^2+2x-8\)
f. \((3x^2-5x-4)-(-4x^2+7x+5)=3x^2-5x-4+4x^2-7x-5=7x^2-12x-9\)
g. \((\frac{3}{4}a^2+ \frac{2}{3}a-4)-(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3}a+3)=\frac{3}{4}a^2+ \frac{2}{3}a-4-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{3}a-3=(\frac{3}{4}-\frac{1}{2})a^2+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3})a-4-3=\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a-7\)

Exercice 4 :

Développer puis réduire les expressions.

a. \((x+3)(x+2)=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6\)
b. \((2x+1)(x+4)=2x^2+8x+x+4=2x^2+9x+4\)
c. \((5x+6)(2x+3)=10x^2+15x+12x+18=10x^2+27x+18\)
d. \((7x+5)(8+9x)=56x+63x^2+40+45x=63x^2+101x+40\)
e. \((x+\frac{1}{3})(x+2)=x^2+2x+\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}=x^2+\frac{6}{3}x +\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}=x^2+\frac{7}{3}x +\frac{2}{3}\)
f. \((\frac{1}{2}x+3)(x+2)=\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{2}x+3x+6=\frac{1}{2}x^2+4x+6\)

Exercice 5 (corrigé littéral 4ème)

Développer puis réduire les expressions.

a. \((x+5)(x-3)=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-15\)
b. \((3x-7)(2+x)=6x+3x^2-14-7x=3x^2-x-14\)
c. \((2x-3)(4x-1)=8x^2-2x-12x+3=8x^2-14x+3\)
d. \((4x-2)(5x-3)=20x^2-12x-10x+6=20x^2-22x+6\)
e. \((4x+1)(-4x-1)=-16x^2-4x-4x-1=-16x^2-8x-1\)
f. \((x+1)^2=(x+1)(x+1)=x^2+x+x+1=x^2+2x+1\)
g. \((2x-3)^2=(2x-3)(2x-3)=4x^2-6x-6x+9=4x^2-12x+9\)

Exercice 6 :

Dans cet exercice \(x\) désigne un nombre supérieur à 3.

On se propose d’exprimer l’aire \(A\) de la surface coloriée en fonction de \(x\)

1.a. Expliquer pourquoi l’aire :
• du rectangle ABCD peut s’écrire \(x(2x+1)\);
• du rectangle AEFG peut s’écrire \(x(x-3)\).

L’aire d’un rectangle correspond au produit de sa longueur par sa largeur….

b. Après avoir développé les expressions littérales précédentes, exprimer l’aire \(A\) en fonction de \(x\).

\(x(2x+1)=2x^2+x\,;\, x(x-3)=x^2-3x\)

• Montrer que l’aire \(A\) peut s’écrire aussi :

C’est la somme de l’aire du petit rectangle orange et du grand rectangle orange situé en bas.

\(A=(x+1)(x-3)+3(2x+1)\).

ou encore :

\(A=A_{ABCD}-A_{AEFG}=x(2x+1)-x(x-3)\)

• Développer puis réduire cette expression.
\(A=(x+1)(x-3)+3(2x+1)=x^2-3x+x-3+6x+3=x^2+4x\).

3.Calculer alors la valeur de \(A\) pour \(x = 10\) .

Lorsque x = 10, l’aire de \(A\) est :

\(A=10^2+4\times 10 = 100 +40= 140 .\)

Exercice 7 (corrigé littéral 4ème)

A = x (x + 2) A=x²+2x

B = 5x (x +3) B=5x²+15x
C = 2x (3x – 5) C=6x²-10x
D = – 3x (1 – 4x) D=-3x+12x²
E = (x + 2) (-x + 3) E= -x²+3x-2x+6 E=-x²+x+6
F = (2x + 3) (4x – 1) F=8x²-2x+12x-3 F=8x²+10x-3
G = (5 – 3y) (6 – 2y) G=30-10y-18y+6y² G=6y²-28y+30

Exercice 8 :

Développer et réduire.

A = (x + 3) (x – 2) + (2x + 4) (x + 5)

A=x²-2x+3x-6+2x²+10x+4x+20
A=3x²+15x+14

B = (2x – 1) ( 7x + 8) – (5 – 4x) (3x + 1)
B=14x²+16x-7x-8-(15x+5-12x²-4x)
B=14x²+16x-7x-8-15x-5+12x²+4x
B=26x²-2x-13

C = (3x + 4) ( 7x – 1) – (2x + 5) (3x – 2)
C=21x²-3x+28x-4-(6x²-4x+15x-10)
C=21x²+25x-4-6x²+4x-15x+10
C=15x²+14x+6

Exercice 9 (corrigé littéral 4ème)

A = (x – 3) (3x – 1) – 2x² + 4

pour x = 2 :
On remplace x par 2 dans l’expression.
A=(2-3)(3×2-1)-2×2²+4
A=-1×5-8+4
A=-5-8+4
A=-13+4
A= – 9

pour x = -1 :
On remplace x par -1 dans l’expression.
\(A=(-1-3)(3\times (-1)-1)-2\times (-1)^2+4\)
\(A=(-4)\times (-4)-2\times 1+4\)
\(A=16-2+4\)
\(A=18\)

Exercice 10  :

Pour la figure A :

Rappel : l’aire d’un rectangle est égal au produit de la longueur par la largeur.

A = (2x+1)(3x-2)
A = 6x²-4x+3x-2
A= 6x²-x-2

Pour la figure B :

Rappel : l’aire d’un triangle est égal à la moitié de la longueur de la base multiplié par la hauteur.
B= 0,5x4X(X+3)
B=2X(X+3)
B=2X²+6X

Exercice 11 (corrigé littéral 4ème)

Factoriser en recherchant un facteur commun.

A = 11n + 11
A= 11(n+1)

B = x ² + 5x
B= x(x+5)

C = 14t² – 21t
C=7t(2t-3)

D = (x + 5)(x + 8 ) + 2 (x + 5)
D= (x+5)(x+8+2)
D=(x+5)(x+10)

E = (2x – 9) (3x + 7) + (2x – 9) (6 – 2x)
E=(2x-9)(3x+7+6-2x)
E=(2x-9)(x+13)

F = (5x – 3) (7x – 9) – (3x + 4) (5x – 3)
F=(5x-3)[(7x-9)-(3x+4)]
F=(5x-3)(7x-9-3x-4)
F=(5x-3)(4x-13)

G = (7x + 1) ² + (7x + 1) (2x + 5)
G=(7x+1)(7x+1+2x+5)
G=(7x+1)(9x+6)

H = (2a +3) (5a – 1) – (2a +3)²
H= (2a+3) [(5a-1)-(2a+3)]
H=(2a+3)(5a-1-2a-3)
H=(2a+3)(3a-4)

Exercice 12 :

On représente par étape des maisons à l’aide d’allumettes comme cela est fait ci-dessous.

1. Combien faudra-t-il d’allumettes aux étapes n°4 et n°10 ? Répondre sans faire de dessin.

A l’étape 4, il faudra 17 allumettes ( 13 +4).

À chaque étape, on ajoute 4 allumettes ; à l’étape n° 10 : \(1+4\times 10=41\). Il faudra 41 allumettes à l’étape 10.

2. Vérifier si vous aviez trouvé le bon nombre

oui
3. Combien d’allumettes faudra-t-il à l’étape n° 2007 ?

\(4\times 2007+1=8029\)

Il faudra 8 029 allumettes à l’étape 2007.

4. Comment exprimer le nombre d’allumettes pour une étape quelconque ?
Considérons une étape n° \(n\) avec \(n\) un entier relatif positif.

Alors il y aura \(4\times n+1=4n+1\) allumettes à l’étape \(n\).

Exercice 13 (corrigé littéral 4ème)

Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant :

Calculer

23 × 7 + 3 ;
23 × 8 + 3;
23 × 9 + 3;
23 × 10 +3
23 × 11 + 3;
23 × 12 + 3;
23 × 13 + 3;
23 × 14 + 3

Un camarade est absent.

Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs.

La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce qu’il doit faire.

Soit x un entier relatif
calcule l’expression littérale \(23x+3\) pour x allant de 7 à 14.

Exercice 14 :

1) Un randonneur parcourt 5 km en 1 heure et 15 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?
Justifier
\(5km\to \,1h15min\)

or
\(60min\to \, 1h\)

\(15min\to \, 0,25h\)

donc

\(5km\to \, 1,25h\)

\(\frac{5}{1,25}km\to \, 1h\)

\(4km\to \, 1h\)

Conclusion : la vitesse moyenne du randonneur est de \(4\,km/h\).

2) Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h.
En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ?
Donner le résultat en heures et minutes.

\(50km\to 1h\)

\(110km\to x \,h\)

donc

\(x=\frac{110\times 1}{50}=2,2h\)

or
\(1h\to 60min\) et \(0{,}2\,h\to x\,min\)

donc \(x=\frac{0,2\times 60}{1}=12\,min\)

\(2{,}2\,h=2\,h+0{,}2\,h=2\,h\,12\,min\)

Le véhicule parcourt 110 kilomètres en 2 heures et 12 minutes.

Exercice 15 (corrigé littéral 4ème)

a désigne un nombre décimal non nul .
Donner une expression littérale de :
1)  le double du carré de a .
\(2a^2\)
2)  le carré du double de a .
\((2a)^2=4a^2\)
3) la moitié du carré de a :
\(\frac{a^{2}}{2}\)
4)  le carré de la moitié de a .
\((\frac{a}{2})^2\)
5) le carré de l’opposé de a .
\((-a)^2=(-a)\times (-a)=a^2\)
6)  l’opposé du carré de a .
\(-a^2\)
7)  le carré de l’inverse de a .
\((\frac{1}{a})^2=\frac{1}{a^2}\)
8)  l’inverse du carré de a .
\(\frac{1}{a^2}\)

Exercice 16 :

1. Simplifier les écritures suivantes :

\(A=7x-9+8x+6\)

\(A=15x-3\)

\(B=7x^2+8x-3-4x^2-3x-4\)

\(B=3x^2+5x-7\)

\(C=7x+3-3x^2-3x+9\)

\(C=-3x^2+4x+12\)

2. développer et réduire les expressions suivantes :

\(A=(x+3)(x+4)\)

\(A=x^2+4x+3x+12\)

\(A=x^2+7x+12\)

\(B=(x-3)(x+6)\)

\(B=x^2+6x-3x-18\)

\(B=x^2+3x-18\)

\(C=(x-1)(x-5)\)

\(C=x^2-5x-x+5\)

\(C=x^2-6x+5\)

\(D=(x+2)(x+4)+5x^2-3x-6\)

\(D=x^2+4x+2x+8+5x^2-3x-6\)

\(D=x^2+6x+8+5x^2-3x-6\)

\(D=6x^2+3x+2\)

\(E=(x-3)(2x+6)-4(x-2)\)

\(E=2x^2+6x-6x-18-4x+8\)

\(E=2x^2-4x-10\)

Exercice 17 (corrigé littéral 4ème)

Une salle de concert peut contenir 600 places. Il y a x places assises et les autres sont debouts. Les places debout coûtent 15€ et les places assises 25€.

1°) Que représentent les expressions : a- 600 – x ? b- 25x ? c- 15 (600 – x) ?

600-x c’est le nombre de places debout

25x c’est le « prix » total que rapporte l’ensemble des places assises

15.(600-x) est le « prix » total que rapporte l’ensemble des places debouts.

2°) Exprime, en fonction de x la recette totale en euros si toutes les places sont occupées.

« prix » total de la salle = 25x+15(600-x)

3°) Calcule cette recette si x = 200.

25×200+15.(600-200) = 25*200 + 15 * 400 (ici ressort bien le fait qu’il y a 200 places assises et 400 places debouts)

Recette totale = 25*200 +30*200 ( puisque 15*400 = 15 *2 *200 ) = 55*200 = 110*100 = 11 000€

4°) Quel est le nombre de places assises si la salle est comble et si la recette est de 12 500 € ?

Pour répondre nous ne connaissons pas exactement le nombre de places assises, donc c’est notre inconnue x, et il nous reste à résoudre une équation à une inconnue.

25x+15(600-x) =12500, et x € N, x € [0,600] ( ce qui signifie x entier naturel : exemple {0;1;2;…200;….;599;600} )

<==>25x-15x+15*600=12500 <==>10x+45*200=12500 (car 15*600 =15*3*200) <==>10x+90*100=12500 (car 45*200 =45*2*100)

<==> 10x +9000 =12500 et c’est maintenant qu’on va soustraire de chaque côté du signe égal la valeur de l’entier « 9000 »

<==> 10x+9000 -9000 = 12500 -9000

<==>10x=3500 et c’est maintenant qu’on va divisier de chaque côté du signe égal par le multiple de x

<==>\(\frac{10x}{{\color{Blue} 10}}=\frac{3500}{10}\)

<==> x = 350, donc il y avait 350 places assises pour réaliser une telle recettte (12 500€)

Exercice 18 :

Développer les expressions suivantes :

A = 6 (2x + 8) =12x+48

B = 7 (5x − 1) =35x-7

C = -4x (x − 9)=-4x²+36x

D = (3x + 4) (2x + 3) =6x²+9x+8x+12=6x²+17x+12

E = (7x + 5) (5x + (-3)) =35x²-21x+25x-15=35x²+4x-15

F = (2x + 9) (7x − 1)=14x²-2x+63x-9=14x²+61x-9

Exercice 19 (corrigé littéral 4ème)

On donne un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Lui ajouter 2

Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi

Ajouter 1 à ce produit

Ecrire le résultat.

1) Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme avec le nombre – 1 , on obtient 0.

-1

-1+2=1

1x(-1)=-1

-1+1=0

0

2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est -6

-6

-6+2=-4

-4x(-6)=24

24+1=25

25

3) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 4

4

4+2=6

6×4=24

24+1=25

25

4) Ecrire l’expression obtenue pour un nombre a quelconque.

a

a+2

a(a+2)

a(a+2)+1=a²+2a+1=(a+1)²

Exercice 20 :

a)      Supprimer les parenthèses puis réduire l’expression M

\(M=11x+7-(5x-3)+(x-21)\)
\(M=11x+7-5x+3+x-21\)
\({\color{DarkRed} M=7x-11}\)
b)      Développer et réduire N et P.
\(N=3(5x-4)+4x+7\)
\(N=15x-12+4x+7\)
\({\color{DarkRed} N=19x-5}\)

\(P=(2x+3)(3x-5)\)
\(P=6x^2-10x+9x-15\)
\({\color{DarkRed} P=6x^2-x-15}\)

c)      Calculer N lorsque x est égal à 3.

\(N=19\times 3-5\)
\({\color{DarkRed} N=52}\)

Exercice 21 (corrigé littéral 4ème)

M. Hamraoui : Tu avais donc choisi 5 au départ .

Quel est le truc de Mr Hamraoui ?

Mr Hamraoui a résoud une équation.

En posant \(x\) le nombre recherché,

Nous obtenons pour le programme :

–  Choisis un nombre :  \(x\)

–    Multiplie le par -11 :  \(-11x\)

–    Ajoute 8 :  \(-11x+8\)

–  Multiplie le résultat par -9 :  \(-9(-11x+8)\)

–   Ajoute le nombre choisi au départ : \(-9(-11x+8)+x\)

–   Ajoute -28 :  \(-9(-11x+8)+x-28\)

Anna: Je trouve 400 .

Nous obtenons l’équation :

\(-9(-11x+8)+x-28=400\)

\(99x-72+x-28=400\)

\(100x-100=400\)

\(100x=400+100\)

\(100x=500\)

\(x=\frac{500}{100}\)

\({\color{DarkRed} x=5}\)

Donc le nombre choisi était bien 5 .

Exercice 22 :

Une piscine rectangulaire mesure 10 m sur 5 m.

On désire aménager tout autour une plage.

Cependant cette plage ne doit pas avoir une superficie trop importante pour ne pas coûter trop cher à la collectivité, mais ne doit pas être trop petite pour ne pas pénaliser les non baigneurs.

On estime que la superficie de la plage doit être comprise entre 110 et 120 \(m^2\) .

On décide alors de faire un avant-projet de piscine, en notant  le nombre désignant la largeur de la plage.

Le nombre  devient alors ce que l’on appelle une  inconnue .

1. Calculer l’aire de cette plage dans le cas où  \(l=1\) , puis dans le cas où \(l=2\), et enfin \(l=3.\)

Pour l=1 :

\(A=(10+2)(5+2)-5\times 10=34m^2\)

Pour l=2 :

\(A=(10+4)(5+4)-5\times 10=76m^2\)

Pour l=3 :

\(A=(10+6)(5+6)-5\times 10=126m^2\)

2. Dans chacun des cas précédents, peut-on lancer le projet de construction ? Pourquoi ?

Non, l’aire doit être comprise entre 110 et 120 \(m^2\).Nous pouvons affirmer que \(2<l<3\).

3. Quelle méthode pouvez-vous proposer pour trouver une largeur de plage satisfaisante ?

Pour accélérer la recherche de cette largeur  idéale, on essaie d’exprimer en fonction du nombre , l’aire de cette plage.

Deux équipes vont y travailler :

– Calculer l’aire du rectangle ABCD, à laquelle on retranche l’aire de la piscine.

– Assembler les éléments de la plage comme indiqué sur le croquis ci-dessous.

4. Retrouver les expressions obtenues par chacune des deux équipes.

\(A=(5+2l)(10+2l)-5\times 10=50+10l+20l+4l^2-50\) donc \(A=4l^2+30l=l(4l+30)\)

5. Proposer une largeur possible de plage pour lancer le projet.

prenons \(l=2,7 m\)

ainsi \(A=2,7(4\times 2,7+30)=110,16\,m^2\)

et nous avons bien \(110\,m^2\leq\,\, A\leq\,\, 120\,m^2\).

Exercice 23 (corrigé littéral 4ème)

Développer et réduire les expressions suivantes :

\(A=(x+1)(x+4)\)

\(A=x^2+4x+x+4\)

\({\color{DarkRed} A=x^2+5x+4}\)

\(B=(x+1)(4-x)\)

\(B=4x-x^2+4-x\)

\({\color{DarkRed} B=-x^2+3x+4}\)

\(C=(x-1)(4+x)\)

\(C=4x+x^2-4-x\)

\({\color{DarkRed} C=x^2+3x-4}\)

\(D=(x-1)(x-4)\)

\(D=x^2-4x-x+4\)

\({\color{DarkRed} D=x^2-5x+4}\)

Exercice 24 :

Supprimer les parenthèses puis réduire les expressions :

\(E=-(x+1)+(x-1)-(x+2)\)

\(E=-x-1+x-1-x-2\).

\({\color{DarkRed} E=-x-4}\)

\(F=(6x-1)+7-(3-6x)\)

\(F=6x-1+7-3+6x\)

\({\color{DarkRed} F=12x+3}\)

Exercice 25 (corrigé littéral 4ème)

En se rappelant que \(a^2=a\times a\) .

développer et réduire les expressions suivantes :

\(A=(x+4)^2\)

\(A=(x+4)\times (x+4)\)

\(A=x^2+4x+4x+16\)

\({\color{DarkRed} A=x^2+8x+16}\)

\(B=(2x-3)^2\)

\(B=(2x-3)\times (2x-3)\)

\(B=4x^2-6x-6x+9\)

\({\color{DarkRed} B=4x^2-12x+9}\)

Exercice 26 :

Réduire les expressions suivantes :

\(D=x^2+3x-1+x^2-15x-2x+4-5x^2\)

\({\color{DarkRed} D=-3x^2-14x+3}\)

\(E=12x^2-8+3x-8x^2+7+7x-3x\)

\({\color{DarkRed} E=4x^2+7x-1}\)

\(F=9a+15a^2-15a-11a^2-3a-4a^2+2\)

\({\color{DarkRed} F=-9a+2}\)

Exercice 27 (corrigé littéral 4ème)

Une parenthèse précédée du signe + disparaît sans rien changer ; une parenthèse précédée du signe − disparaît en changeant le signe de chacun de ses termes. On regroupe ensuite les termes en \(a\), les termes en \(b\) et les nombres.

\(G=+3-(a-b)+5+(-a+b)+a\)
\(G=3-a+b+5-a+b+a\)
\(G=(-a-a+a)+(b+b)+(3+5)\)
\(G=-a+2b+8\)

\(H=-3-(-a+b)+5a-9+(-3a-5b)\)
\(H=-3+a-b+5a-9-3a-5b\)
\(H=(a+5a-3a)+(-b-5b)+(-3-9)\)
\(H=3a-6b-12\)

Exercice 28 :

a. 1. On applique la double distributivité : chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.
\((x-\dfrac{3}{7})(7x-14)=x\times 7x+x\times (-14)-\dfrac{3}{7}\times 7x-\dfrac{3}{7}\times (-14)\)
\((x-\dfrac{3}{7})(7x-14)=7x^2-14x-3x+6\)
\((x-\dfrac{3}{7})(7x-14)=7x^2-17x+6\)

2. Test pour \(x=0\) : l’expression de départ vaut \((0-\dfrac{3}{7})\times (0-14)=\dfrac{3}{7}\times 14=6\) et le résultat vaut \(7\times 0^2-17\times 0+6=6\).
Test pour \(x=1\) : l’expression de départ vaut \((1-\dfrac{3}{7})\times (7-14)=\dfrac{4}{7}\times (-7)=-4\) et le résultat vaut \(7-17+6=-4\).
Les deux tests donnent la même valeur : le développement est cohérent.

b. 1. \((3+\dfrac{3}{8}x)(8-x)=3\times 8+3\times (-x)+\dfrac{3}{8}x\times 8+\dfrac{3}{8}x\times (-x)\)
\((3+\dfrac{3}{8}x)(8-x)=24-3x+3x-\dfrac{3}{8}x^2\)
\((3+\dfrac{3}{8}x)(8-x)=24-\dfrac{3}{8}x^2\)

2. Test pour \(x=0\) : \(3\times 8=24\) et \(24-\dfrac{3}{8}\times 0^2=24\).
Test pour \(x=1\) : \((3+\dfrac{3}{8})\times 7=\dfrac{27}{8}\times 7=\dfrac{189}{8}\) et \(24-\dfrac{3}{8}=\dfrac{192}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{189}{8}\).
Les valeurs sont égales dans les deux cas.

Exercice 29 (corrigé littéral 4ème)

Voici un programme de calcul :

• Choisir un nombre.
• Soustraire 3 à ce nombre.
• Multiplier le résultat obtenu par \((-5)\).
• Diviser le résultat obtenu par 4.
• Ajouter le nombre de départ au résultat obtenu.

1) Effectuer ce programme pour \(-2\) et pour 7.
2) Reprendre ce programme de calcul pour un nombre \(x\).

1) -2

-2-3=-5

-5x(-5)=25

25:4=6,25

-2+6,25=4,25

Le résultat pour -2 est 4,25.

7

7-3=4

4x(-5)=-20

-20:4=-5

-5+7=2

Le résultat obtenu pour 7 est 2

2) x

x-3

-5(x-3)

-5(x-3) :4

\(\frac{-5(x-3)}{4} +x\)

\(\frac{-5}{4}(x-3)\,+x\)

\(-1{,}25(x-3)\,+x\)

\(-1{,}25x-3\times \,(-1{,}25)\,+x\)

\(-1{,}25x+3{,}75\,+x\)

\(-0{,}25x+3{,}75\)

Exercice 30 :

Du texte à l’écriture mathématique
Écrire le plus simplement possible en fonction de \(x\) :
a) « le double de \(x\) augmenté de 1 » ;
b) « la somme de 3 et du triple de \(x\) » ;
c) « le tiers de \(x\), diminué de 5 » ;
d) « le produit par 5 de la somme de \(x\) et de 4 » ;
e) « la somme de 6 et du produit de \(x\) par 7 ».

Développer et réduire les expressions suivantes :
\(A=3(t-2)-2(1-t)\) ; \(B=(1-x)(3x-2)\) ; \(C=(a-2b)(2a-b)\) ; \(D=4(1-a)(2-a)\) ; \(E=1(3-x^2)+4(x-1)(5-2x)\)

\(a)2x+1\)

\(b)3+3x\)

\(c)\frac{1}{3}x-5\)

\(d)5(x+4)\)

\(e)6+7x\)

\(A=3(t-2)-2(1-t)\)

\(A=3t-6-2+2t\)

\(A=5t-8\)

\(B=(1-x)(3x-2)\)

\(B=3x-2-3x^2+2x\)

\(B=5x-2-3x^2\)

\(C=(a-2b)(2a-b)\)

\(C=2a^2-ab-4ab+2b^2\)

\(C=2a^2-5ab+2b^2\)

\(D=4(1-a)(2-a)\)

\(D=4(2-a-2a+a^2)\)

\(D=4(2-3a+a^2)\)

\(D=8-12a+4a^2\)

\(E=1(3-x^2)+4(x-1)(5-2x)\)

\(E=3-x^2+4(5x-2x^2-5+2x)\)

\(E=3-x^2+4(-2x^2+7x-5)\)

\(E=3-x^2-8x^2+28x-20\)

\(E=-9x^2+28x-17\)

Exercice 31 (corrigé littéral 4ème)

A = x-6-5x²-30-x

A=-5x²-36

B=12x-x²-10+x-3-8x²+1-2x

B=-9x²+11x-12

C= -3-a+b+5a-9+(-3a-5b)

C=-3-a+b+5a-9-3a-5b

C=a-4b-12

D= x²-(3x²-15x+4)+(15x²-12x-3)

D=x²-3x²+15x-4+15x²-12x-3

D=13x²+3x-7

Exercice 32 :

Supprimer les parenthèses puis réduire les expressions suivantes :
\(M=(x+3)+(4x-5)\) ; \(N=6-2t-(4t-8)\) ; \(O=-(8a+3)-4a\) ; \(P=(2y+7)+(-5y+3)\) ; \(Q=5z-6-(7-2z)+3z\) ; \(R=(3-4x)-(-2x+8)\)

\(M=(x+3)+(4x-5)\)

\(M=x+3+4x-5\)

\(M=5x-2\)

\(N=6-2t-(4t-8)\)

\(N=6-2t-4t+8\)

\(N=-6t+14\)

\(O=-(8a+3)-4a\)

\(O=-8a-3-4a\)

\(O=-12a-3\)

\(P=(2y+7)+(-5y+3)\)

\(P=2y+7-5y+3\)

\(P=-3y+10\)

\(Q=5z-6-(7-2z)+3z\)

\(Q=5z-6-7+2z+3z\)

\(Q=10z-13\)

\(R=(3-4x)-(-2x+8)\)

\(R=3-4x+2x-8\)

\(R=-2x-5\)

Exercice 33 (corrigé littéral 4ème)

Réduire, si possible, les expressions suivantes :
\(A=2x+x\) ; \(B=3x\times x\) ; \(C=4x-x\) ; \(D=3x+2\) ; \(E=x\times 2x\) ; \(F=x^2+x\) ; \(G=0\times x\) ; \(H=1+2x\) ; \(I=0+x\) ; \(J=5x\times 6x\) ; \(K=4\times x\times 5\) ; \(L=x\times x+x\)

\(A=3x\,,\,B=3x^2\,,\,C=3x\,,\,D=3x+2\,,\,E=2x^2\,,\,F=x^2+x\)

\(G=0\,,\,H=1+2x\,,\,I=x\,,\,J=30x^2\,,\,K=20x\,,\,L=x^2+x\)

Remarque : \(D=3x+2\), \(F=x^2+x\), \(H=1+2x\) et \(L=x^2+x\) ne peuvent pas être réduites davantage, car leurs termes ne sont pas semblables. Pour K : \(4\times x\times 5=4\times 5\times x=20x\).

Le calcul littéral en classe de 4ème est très important pour la progression de l’élève. En outre, ce calcul littéral permet de développer des compétences nouvelles et de découvrir une nouvelle méthode de calculs en 4ème.

Exercice 34 :

Ecrire de la façon la plus simple les expressions suivantes :

\(a. 2\times 3x=6x\ b. -3\times 7x=-21x \ c. 2\times (5x)=10x \ d. x\times 7=7x \ e. x\times (-3) =-3x\ f. 3x\times (2x)=6x^2 \ g. -7x\times (2x) =-14x^2\ h. -6x\times (-4x)=24x^2\)

Exercice 35 (corrigé littéral 4ème)

Développer et réduire les expressions suivantes :

a .(4a + 3)(3a + 5)=12a²+29a+15                  b. (3a – 2)(4a – 7)  =12a²-29a+14

c. (5a + 7)(4a + 1)=20a²+33a+7                   d.  (- 3a + 2)(5a – 4)  =-15a²+22a-8

e. (2b – 3)(2b – 7)  =4b²-20b+21                  f. (3a – 4)(4a – 11)=12a²-49a+44

g. (5b – 2)(- 3b + 2) =-15b²+16b-4               h. (3x – 4)(5x + 2) =15x²-14x-8

i. (- 4x + 17)(- 3x – 21)=12x²+33x-357         j. (5a – 3b)(4b + 3a)   =20ab+15a²-12b²-9ab=15a²-12b²+11ab

k. (- a + 5b)(4b + 3a)  = -4ab-3a²+20b²+15ab=-3a²+20b²+11ab

l. (2a – b)(- 7b + 4a) = -14ab+8a²+7b²-4ab = 8a²+7b²-18ab

m. \((3a-3)(3a-2)=9a^2-6a-9a+6=9a^2-15a+6\)

n. \((3a+2)(3a+7)=9a^2+21a+6a+14=9a^2+27a+14\)

o. \((2a-7)(3a-1)=6a^2-2a-21a+7=6a^2-23a+7\)

Exercice 36 :

Déterminer le périmètre de la figure ci-dessous en fonction de x.

P=3+3+2x+2x+2x=6x+6.

Exercice  37 (corrigé littéral 4ème)

En utilisant la propriété de la double distributivité, développer et réduire les expressions littérales suivantes :

A = ( x + 3 ) × (x + 1 )=x²+4x+3            B = ( x + 7 ) × ( x + 2 )  =x²+9x+14

C = ( x + 2 ) ( x – 5 )=x²-3x-10

D = ( x + 3 ) ( x – 6 )=x²-3x-18               E = ( x + 6 ) ( x – 8 )=x²-2x-48

F = ( x – 3 ) ( x + 4 )=x²+x-12

G = ( x – 7 ) ( x – 4 )   =x²-11x+28            H = ( x – 1 ) ( x + 7 ) =x²+6x-7

I  =  ( 2 x + 7 ) ( 3 x + 8 )=6x²+16x+21x+56=6x²+37x+56

Exercice 38 :

On souhaite exprimer l’aire de la figure ci-dessous, en fonction de a.

1.Voici deux propositions. Indiquer le découpage utilisé pour obtenir l’expression donnée.

Proposition 1 : \(a^2+a(a+1)+1\). Les traits orange partagent la figure en un carré de côté \(a\) (aire \(a^2\)), un rectangle de côtés \(a\) et \(a+1\) (aire \(a(a+1)\)) et un petit carré de côté 1 (aire 1).

Proposition 2 : \((a+1)(2a+1)-a-a\). On complète la figure en un grand rectangle de côtés \(a+1\) et \(2a+1\), puis on retire les deux rectangles violets de côtés \(a\) et 1, d’aire \(a\) chacun.

2.Proposer une autre expression. a²+a²+ax1+1×1=2a²+a+1.

3.Montrer que les différentes expressions peuvent s’écrire 2a²+a+1.

\(a^2+a(a+1)+1=a^2+a^2+a+1=2a^2+a+1\).

\((a+1)(2a+1)-a-a=2a^2+a+2a+1-2a=2a^2+a+1\).

Les trois expressions sont égales à \(2a^2+a+1\).

Exercice 39 (corrigé littéral 4ème)

a. Avec le programme A : \(2\times 9=18\) puis \(18+5=23\).
Avec le programme B : \(2\times 4=8\) puis \(8-10=-2\).
Pour le nombre 2, le programme A donne 23 et le programme B donne \(-2\).

b. Notons \(x\) le nombre choisi par Serge.
Le programme A donne \(9x+5\) et le programme B donne \(4x-10\).
Les deux résultats sont égaux, donc \(x\) est solution de l’équation :
\(9x+5=4x-10\)
\(9x-4x=-10-5\)
\(5x=-15\)
\(x=\dfrac{-15}{5}=-3\)
Vérification : \(9\times (-3)+5=-27+5=-22\) et \(4\times (-3)-10=-12-10=-22\).
Serge a choisi le nombre \(-3\).

Exercice 40 :

1. a. Jordan achète 4 BD à \(p\) euros et un manga à 8 € : sa dépense est \(4p+8\) euros.
b. Piala achète 2 BD à \(p\) euros et un dictionnaire à 45 € : sa dépense est \(2p+45\) euros.

2. Ils paient la même somme, donc :
\(4p+8=2p+45\)
\(4p-2p=45-8\)
\(2p=37\)
\(p=\dfrac{37}{2}=18{,}5\)
Vérification : \(4\times 18{,}5+8=74+8=82\) et \(2\times 18{,}5+45=37+45=82\).
Une BD coûte 18,50 €.

Exercice 41 (corrigé littéral 4ème)

a. Sur le schéma, la première ligne représente le trajet de Dylan (trois fois \(d\) puis 7 km) et la seconde celui de Loris (une fois \(d\) puis 16 km). L’inconnue \(d\) représente la longueur d’un tour du lac, en km.

b. Les deux distances totales sont égales : \(3d+7=d+16\).
En retirant un tour du lac à chacun, il reste \(2d+7=16\), donc \(2d=9\) et \(d=4{,}5\).
Un tour du lac mesure 4,5 km.
Interprétation : Dylan a parcouru \(3\times 4{,}5+7=13{,}5+7=20{,}5\) km et Loris \(4{,}5+16=20{,}5\) km ; les deux cyclistes ont bien parcouru 20,5 km chacun.

Exercice 42 :

a. Le programme demande un nombre A, le remplace par \(3\times A\), puis ajoute \(-2\), c’est-à-dire retire 2. Il calcule donc \(3A-2\) et annonce le résultat.

b. Si l’on saisit 5 : \(3\times 5=15\) puis \(15-2=13\). Le lutin annonce 13.

c. On cherche A tel que \(3A-2=4\).
\(3A=4+2=6\), donc \(A=\dfrac{6}{3}=2\).
Vérification : \(3\times 2-2=4\). On a saisi 2 au début du programme.

Exercice 43 :

Une équation du premier degré est une égalité où l’inconnue n’apparaît qu’à la puissance 1 (pas de carré, pas de produit de l’inconnue par elle-même).

• a. \(-9a=4a+13\) : l’inconnue est \(a\) ; c’est une équation du premier degré.
• b. \(2x^2-3=7x+3\) : l’inconnue est \(x\) ; elle apparaît au carré dans \(2x^2\), donc ce n’est pas une équation du premier degré.
• c. \(8-6y=4+2y\) : l’inconnue est \(y\) ; c’est une équation du premier degré.
• d. \(t(t+1)=2t\) : l’inconnue est \(t\) ; en développant, \(t(t+1)=t^2+t\), qui contient \(t^2\), donc ce n’est pas une équation du premier degré.

Exercice 44 :

1. a. On suit le programme avec le nombre \(x\) : \(x\), puis \(x-2{,}5\), puis \(4(x-2{,}5)\), puis \(4(x-2{,}5)+2\).
\(N=4(x-2{,}5)+2\)

b. \(N=4\times x-4\times 2{,}5+2=4x-10+2\)
\(N=4x-8\)

c. Les deux termes \(4x\) et \(8\) ont 4 comme facteur commun : \(4x-8=4\times x-4\times 2\).
\(N=4(x-2)\)

2. Pour \(x=0\) : \(N=4\times 0-8=-8\). On obtient \(-8\).
Pour \(x=2\) : \(N=4\times (2-2)=4\times 0=0\). On obtient 0.
(On peut vérifier avec le programme : \(0-2{,}5=-2{,}5\) ; \(-2{,}5\times 4=-10\) ; \(-10+2=-8\).)

Exercice 45 :

1. a. Avec le nombre \(n\) : \(3n\), puis \(3n+10\), puis on ajoute le double de \(n\), c’est-à-dire \(2n\).
\(R=3n+10+2n\)

b. On regroupe les termes en \(n\) : \(3n+2n=5n\).
\(R=5n+10\)

c. 5 est un facteur commun à \(5n\) et à \(10=5\times 2\).
\(R=5(n+2)\)

2. Pour \(n=3\) : \(R=5\times (3+2)=5\times 5=25\). On obtient 25.
Pour \(n=-2\) : \(R=5\times (-2+2)=5\times 0=0\). On obtient 0.

Exercice 46 :

a. Le rectangle a pour largeur \(x\) et pour longueur \(x+5\).

• \(A=x\times x+5=x^2+5\) : ce n’est ni l’aire \(x(x+5)\), ni le périmètre. A ne désigne rien.
• \(B=2x+2(x+5)\) : deux largeurs plus deux longueurs. B désigne le périmètre du rectangle.
• \(C=x(x+5)\) : largeur × longueur. C désigne l’aire du rectangle.
• \(D=2(x+x+5)\) : deux fois la somme de la largeur et de la longueur. D désigne aussi le périmètre du rectangle.

b. Périmètre : \(P=2(x+x+5)\).
Pour \(x=3\) : \(P=2\times (3+3+5)=2\times 11=22\). Le périmètre vaut 22 unités.
Pour \(x=7{,}5\) : \(P=2\times (7{,}5+7{,}5+5)=2\times 20=40\). Le périmètre vaut 40 unités.

c. Aire : \(\mathcal{A}=x(x+5)\).
Pour \(x=4\) : \(\mathcal{A}=4\times (4+5)=4\times 9=36\). L’aire vaut 36 unités d’aire.
Pour \(x=10\) : \(\mathcal{A}=10\times (10+5)=10\times 15=150\). L’aire vaut 150 unités d’aire.

Exercice 47 :

a. Pour \(x=4\) : \(A=3\times 4-4=12-4=8\). Comme \(8\neq 30\), l’affirmation est fausse.

b. Pour \(x=2\) : \(B=2\times (4\times 2+1)=2\times 9=18\). L’affirmation est vraie.

c. Pour \(x=0{,}4\) : \(C=5\times (1-0{,}4)-2=5\times 0{,}6-2=3-2=1\). L’affirmation est vraie.

Exercice 48 :

a. Le rectangle ABCD est partagé en 5 bandes de largeur \(x\), donc \(AB=5x\), et \(AD=7\).
1. \(\mathcal{A}_{ABCD}=AB\times AD=5x\times 7\), soit \(\mathcal{A}_{ABCD}=35x\).
2. Pour \(x=6\) : \(35\times 6=210\). L’aire vaut 210 unités d’aire.

b. Le rectangle ABCD est partagé en 5 colonnes et 3 lignes de petits carrés de côté \(x\), donc \(AB=5x\) et \(AD=3x\).
1. \(\mathcal{A}_{ABCD}=5x\times 3x=15\times x\times x\), soit \(\mathcal{A}_{ABCD}=15x^2\).
2. Pour \(x=6\) : \(15\times 6^2=15\times 36=540\). L’aire vaut 540 unités d’aire.

Exercice 49 :

a. Le rectangle vert a pour largeur 5 et pour hauteur \(3+x\).
Sous forme d’un produit : \(\mathcal{A}=5(3+x)\).
Sous forme d’une somme (aire de la partie de hauteur 3 plus aire de la partie de hauteur \(x\)) : \(5\times 3+5\times x\), soit \(\mathcal{A}=15+5x\).

b. Le rectangle vert a pour largeur 2,5 et pour hauteur \(6-y\).
Sous forme d’un produit : \(\mathcal{A}=2{,}5(6-y)\).
Sous forme d’une somme algébrique (grand rectangle moins rectangle blanc) : \(2{,}5\times 6-2{,}5\times y\), soit \(\mathcal{A}=15-2{,}5y\).

Exercice 50 :

La figure est formée d’un carré de côté \(x\) et d’un triangle isocèle dont les deux côtés égaux mesurent 3 cm et dont le troisième côté est un côté du carré.

a.

• \(A=x^2=x\times x\) : c’est l’aire du carré (en cm²).
• \(B=4x\) : c’est le périmètre du carré (en cm).
• \(C=x+6=x+3+3\) : c’est le périmètre du triangle (en cm).
• \(D=3x+6=x+x+x+3+3\) : trois côtés du carré plus les deux côtés de 3 cm, c’est le périmètre de la figure entière (en cm).

b. On calcule \(B=4x\) et \(C=x+6\) pour chaque valeur.

\(x\)	\(B=4x\)	\(C=x+6\)	\(B=C\) ?
5	20	11	non
3	12	9	non
2	8	8	oui

L’égalité \(B=C\) est fausse pour \(x=5\) et pour \(x=3\), et vraie pour \(x=2\) : lorsque le côté du carré mesure 2 cm, le carré et le triangle ont le même périmètre, 8 cm.

Exercice 51 :

Question	Réponse	Justification
64	b	25 € d’abonnement plus 10 € pour chacun des \(x\) jours : \(25+10x\).
65	c	\(A=3\times 2-5=6-5=1\).
66	c	\(x\times 5=5\times x=5x\) (on écrit le nombre devant la lettre).
67	a	\(-2\times (-x)=2x\) : le produit de deux facteurs négatifs est positif.
68	b	\(5\times a\times (-6)\times b=5\times (-6)\times a\times b=-30ab\).
69	b	\(7(3x-2)=7\times 3x-7\times 2=21x-14\).
70	a	\(5x+2x=(5+2)x=7x\).
71	c	\(3x+18=3\times x+3\times 6=3(x+6)\) ; la réponse b donne \(3x+54\).
72	a	\((x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6\).

Bien travailler avec corrigé littéral 4ème

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec volume de pyramide et cône : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF.