Calcul littéral : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF.

Calcul littéral avec le corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF. Savoir développer une expression et double distributivité.

Exercice 1 :
Ecrire sans parenthèses les expressions données :
a. – (3+x)= – 3 – x
b. – (2a+4)= – 2a – 4
c. – (- 3+x)=3 – x
d. – (5 – x)= – 5+x
e. -(7-2y)= – 7+2y
f. – (-6-4x)= 6+4x

Exercice 2 :
Réduire chacune des expressions suivantes :

a. $2x \times 7=14x$
b. $-5y \times (-2)=10y$
c. $4x \times (-5)=-20x$
d. $-5 \times 9a =-45a$
e. $-3x \times x= - 3x^2$
f. $5b \times (- 2b)= - 10b^2$
g. $\frac{2}{3}a \times (- 6a)= - 4a^2$
h.
i.
j.

Exercice 3 :

Supprimer les parenthèses puis réduire chaque expression.
a.
b.
c.
d.
e.
f. $(3x^2-5x-4)-(-4x^2+7x+5)\\=3x^2-5x-4+4x^2-7x-5\\=7x^2-12x-9$
g. $(\frac{3}{4}a^2+ \frac{2}{3}a-4)-(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3}a+3)\\=\frac{3}{4}a^2+ \frac{2}{3}a-4-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{3}a-3\\=(\frac{3}{4}-\frac{1}{2})a^2+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3})a-4-3\\=\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{3}-7$

Exercice 4 :
Développer puis réduire les expressions.

a.
b.
c.
d.
e. $(x+\frac{1}{3})(x+2)=x^2+2x+\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}=x^2+\frac{6}{3}x +\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\\=x^2+\frac{7}{3}x +\frac{2}{3}$
f. $(\frac{1}{2}x+3)(x+2)=\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{2}x+3x+6=\frac{1}{2}x^2+4x+6$

Exercice 5 :
Développer puis réduire les expressions.

a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.

Exercice 6 :

Dans cet exercice désigne un nombre supérieur à 3.

On se propose d’exprimer l’aire de la surface coloriée en fonction de

1.a. Expliquer pourquoi l’aire :
• du rectangle ABCD peut s’écrire ;
• du rectangle AEFG peut s’écrire .

L’aire d’un rectangle correspond au produit de sa longueur par sa largeur….

b. Après avoir développé les expressions littérales précédentes, exprimer l’aire en fonction de .

$x(2x+1)=2x^2+x\,;\, x(x-3)=x^2-3x$

• Montrer que l’aire peut s’écrire aussi :

C’est la somme de l’aire du petit rectangle orange et du grand rectangle orange situé en bas.

ou encore :

$A=A_{ABCD}-A_{AEFG}=x(2x+1)-x(x-3)$

• Développer puis réduire cette expression.
.

3.Calculer alors la valeur de pour .

Lorsque x = 10, l’aire de est :

$A=10^2+4\times 10 = 100 +40= 140 .$

Exercice 7 :

A = x (x + 2) A=x²+2x

B = 5x (x +3) B=5x²+15x
C = 2x (3x – 5) C=6x²-10x
D = – 3x (1 – 4x) D=-3x+12x²
E = (x + 2) (-x + 3) E= -x²+3x-2x+6 E=-x²+x+6
F = (2x + 3) (4x – 1) F=8x²-2x+12x-3 F=8x²+10x-3
G = (5 – 3y) (6 – 2y) G=30-10y-18y+6y² G=6y²-28y+30

Exercice 8 :

Développer et réduire.

A = (x + 3) (x – 2) + (2x + 4) (x + 5)

A=x²-2x+3x-6+2x²+10x+4x+20
A=3x²+15x+14

B = (2x – 1) ( 7x + 8) – (5 – 4x) (3x + 1)
B=14x²+16x-7x-8-(15x+5-12x²-4x)
B=14x²+16x-7x-8-15x-5+12x²+4x
B=26x²-2x-13

C = (3x + 4) ( 7x – 1) – (2x + 5) (3x – 2)
C=21x²-3x+28x-4-(6x²-4x+15x-10
C=21x²+25x-4-6x²+4x-15x+10
C=15x²+14x+6

Exercice 9 :
A = (x – 3) (3x – 1) – 2x² + 4

pour x = 2 :
On remplace x par 2 dans l’expression.
A=(2-3)(3×2-1)-2×2²+4
A=-1×5-8+4
A=-5-8+4
A=-13+4
A= – 9

Exercice10 :

Pour la figure A :

Rappel : l’aire d’un rectangle est égal au produit de la longueur par la largeur.

A = (2x+1)(3x-2)
A = 6x²-4x+3x-2
A= 6x²-x-2

Pour la figure B :

Rappel : l’aire d’un triangle est égal à la moitié de la longueur de la base multiplié par la hauteur.
B= 0,5x4X(X+3)
B=2X(X+3)
B=2X²+6X

Exercice 11 :

Factoriser en recherchant un facteur commun.

A = 11n + 11
A= 11(n+1)

B = x ² + 5x
B= x(x+5)

C = 14t² – 21t
C=7t(2t-3)

D = (x + 5)(x + 8 ) + 2 (x + 5)
D= (x+5)(x+8+2)
D=(x+5)(x+10)

E = (2x – 9) (3x + 7) + (2x – 9) (6 – 2x)
E=(2x-9)(3x+7+6-2x)
E=(2x-9)(x+13)

F = (5x – 3) (7x – 9) – (3x + 4) (5x – 3)
F=(5x-3)[(7x-9)-(3x+4)]
F=(5x-3)(7x-9-3x-4)
F=(5x-3)(4x-13)

G = (7x + 1) ² + (7x + 1) (2x + 5)
G=(7x+1)(7x+1+2x+5)
G=(7x+1)(9x+6)

H = (2a +3) (5a – 1) – (2a +3)²
H= (2a+3) [(5a-1)-(2a+3)]
H=(2a+3)(5a-1-2a-3)
H=(2a+3)(3a-4)

Exercice 12 :

On représente par étape des maisons à l’aide d’allumettes comme cela est fait ci-dessous.

1. Combien faudra-t-il d’allumettes aux étapes n°4 et n°10 ? Répondre sans faire de dessin.

A l’étape 4, il faudra 17 allumettes ( 13 +4).

2. Vérifier si vous aviez trouvé le bon nombre

oui
3. Combien d’allumettes faudra-t-il à l’étape n° 2007 ?

$4\times 2007+1=8029$

Il faudra 8 029 allumettes à l’étape 2007.

4. Comment exprimer le nombre d’allumettes pour une étape quelconque ?
Considérons une étape n° avec un entier relatif positif.

Alors il y aura $4\times n+1=4n+1$ allumettes à l’étape .

Exercice 13 :

Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant :

Calculer

23 × 7 + 3 ;
23 × 8 + 3;
23 × 9 + 3;
23 × 10 +3
23 × 11 + 3;
23 × 12 + 3;
23 × 13 + 3;
23 × 14 + 3

Un camarade est absent.

Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs.

La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce qu’il doit faire.

Soit x un entier relatif
calcule l’expression littérale pour x allant de 7 à 14.

Exercice 14 :

1) Un randonneur parcourt 5 km en 1 heure et 15 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?
Justifier
$5kmrightarrow\,1h15min$

or
$60minrightarrow\, 1h$

$15minrightarrow\, 0,25h$

donc

$5kmrightarrow\, 1,25h$

$\frac{5}{1,25}kmrightarrow\, 1h$

$4kmrightarrow\, 1h$

Conclusion : la vitesse moyenne du randonneur est de $4\,km/h$ .

2) Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h.
En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ?
Donner le résultat en heures et minutes.

$110kmrightarrow x \,h$

donc

$x=\frac{110\times 1}{50}=2,2h$

or
$1hrightarrow 60min\\0,2\,hrightarrow x\,min$

donc $x=\frac{0,2\times 60}{1}=12\,min$

Le véhicule parcourt 110 kilomètres en 1 heure et 12 minutes .

Exercice 15 :
a désigne un nombre décimal non nul .
Donner une expression littérale de :
1) le double du carré de a .
2a^2
2) le carré du double de a .

3) la moitié du carré de a :
$\frac{a^{2}}{2}$
4) le carré de la moitié de a .
$(\frac{a}{2})^2$
5) le carré de l’opposé de a .
$(-a)^2=(-a)\times (-a)=a^2$
6) l’opposé du carré de a .
-a^2
7) le carré de l’inverse de a .
$(\frac{1}{a})^2=\frac{1}{a^2}$
8) l’inverse du carré de a .
$\frac{1}{a^2}$

Exercice 16 :

1. Simplifier les écritures suivantes :

A=15x-3

2. développer et réduire les expressions suivantes :

Exercice 17 :

Une salle de concert peut contenir 600 places. Il y a x places assises et les autres sont debouts. Les places debout coûtent 15€ et les places assises 25€.

1°) Que représentent les expressions : a- 600 – x ? b- 25x ? c- 15 (600 – x) ?

600-x c’est le nombre de places debout

25x c’est le « prix » total que rapporte l’ensemble des places assises

15.(600-x) est le « prix » total que rapporte l’ensemble des places debouts.

2°) Exprime, en fonction de x la recette totale en euros si toutes les places sont occupées.

« prix » total de la salle = 25x+15(600-x)

3°) Calcule cette recette si x = 200.

25×200+15.(600-200) = 25*200 + 15 * 400 (ici ressort bien le fait qu’il y a 200 places assises et 400 places debouts)

Recette totale = 25*200 +30*200 ( puisque 15*400 = 15 *2 *200 ) = 55*200 = 110*100 = 11 000€

4°) Quel est le nombre de places assises si la salle est comble et si la recette est de 12 500 € ?

Pour répondre nous ne connaissons pas exactement le nombre de places assises, donc c’est notre inconnue x, et il nous reste à résoudre une équation à une inconnue.

25x+15(600-x) =12500, et x € N, x € [0,600] ( ce qui signifie x entier naturel : exemple {0;1;2;…200;….;599;600} )

<==>25x-15x+15*600=12500 <==>10x+45*200=12500 (car 15*600 =15*3*200) <==>10x+90*100=12500 (car 45*200 =45*2*100)

<==> 10x +9000 =12500 et c’est maintenant qu’on va soustraire de chaque côté du signe égal la valeur de l’entier « 9000 »

<==> 10x+9000 -9000 = 12500 -9000

<==>10x=3500 et c’est maintenant qu’on va divisier de chaque côté du signe égal par le multiple de x

<==> $\frac{10x}{{\color{Blue} 10}}=\frac{3500}{10}$

<==> x = 350, donc il y avait 350 places assises pour réaliser une telle recettte (12 500€)

Exercice 18 :

Développer les expressions suivantes :

A = 6 (2x + 8) =12x+48

B = 7 (5x − 1) =35x-7

C = -4x (x − 9)=-4x²+36x

D = (3x + 4) (2x + 3) =6x²+9x+8x+12=6x²+17x+12

E = (7x + 5) (5x + (-3)) =35x²-21x+25x-15=35x²+4x-15

F = (2x + 9) (7x − 1)=14x²-2x+63x-9=14x²+61x-9

Exercice 19 :

On donne un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Lui ajouter 2

Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi

Ajouter 1 à ce produit

Ecrire le résultat.

1) Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme avec le nombre – 1 , on obtient 0.

-1

-1+2=1

1x(-1)=-1

-1+1=0

0+1=1

2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est -6

-6

-6+2=-4

-4x(-6)=24

24+1=25

3) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 4

4+2=6

6×4=24

24+1=25

4) Ecrire l’expression obtenue pour un nombre a quelconque.

a+2

a(a+2)

a(a+2)+1=a²+2a+1=(a+1)²

Exercice 20 :
a) Supprimer les parenthèses puis réduire l’expression M

${\color{DarkRed} M=7x-11}$
b) Développer et réduire N et P.

${\color{DarkRed} N=19x-5}$

${\color{DarkRed} P=6x^2-x-15}$

c) Calculer N lorsque x est égal à 3.

$N=19\times 3-5$
${\color{DarkRed} N=52}$

Voir Corrigés 11 à 20...

Exercice 21 :

M. Hamraoui : Tu avais donc choisi 5 au départ .

Quel est le truc de Mr Hamraoui ?

Mr Hamraoui a résoud une équation.

En posant le nombre recherché,

Nous obtenons pour le programme :

– Choisis un nombre :

– Multiplie le par -11 : -11x

– Ajoute 8 : -11x+8

– Multiplie le résultat par -9 :

– Ajoute le nombre choisi au départ :

– Ajoute -28 :

Anna: Je trouve 400 .

Nous obtenons l’équation :

$x=\frac{500}{100}$

${\color{DarkRed} x=5}$

Donc le nombre choisi était bien 5 .

Exercice 22 :

Une piscine rectangulaire mesure 10 m sur 5 m.

On désire aménager tout autour une plage.

Cependant cette plage ne doit pas avoir une superficie trop importante pour ne pas coûter trop cher à la collectivité, mais ne doit pas être trop petite pour ne pas pénaliser les non baigneurs.

On estime que la superficie de la plage doit être comprise entre 110 et 120 m^2 .

On décide alors de faire un avant-projet de piscine, en notant le nombre désignant la largeur de la plage.

Le nombre devient alors ce que l’on appelle une inconnue .

1. Calculer l’aire de cette plage dans le cas où , puis dans le cas où , et enfin

Pour l=1 :

$A=(10+2)(5+2)-5\times 10=34m^2$

Pour l=2 :

$A=(10+4)(5+4)-5\times 10=76m^2$

Pour l=3 :

$A=(10+6)(5+6)-5\times 10=126m^2$

2. Dans chacun des cas précédents, peut-on lancer le projet de construction ? Pourquoi ?

Non, l’aire doit être comprise entre 110 et 120 m^2 .Nous pouvons affirmer que 2<l<3 .

3. Quelle méthode pouvez-vous proposer pour trouver une largeur de plage satisfaisante ?

Pour accélérer la recherche de cette largeur idéale, on essaie d’exprimer en fonction du nombre , l’aire de cette plage.

Deux équipes vont y travailler :

– Calculer l’aire du rectangle ABCD, à laquelle on retranche l’aire de la piscine.

– Assembler les éléments de la plage comme indiqué sur le croquis ci-dessous.

4. Retrouver les expressions obtenues par chacune des deux équipes.

$A=(5+2l)(10+2l)-5\times 10=50+10l+20l+4l^2-50\\A=4l^2+30l=l(4l+30)$

5. Proposer une largeur possible de plage pour lancer le projet.

prenons l=2,7 m

ainsi $A=2,7(4\times 2,7+30)=110,16\,m^2$

et nous avons bien $110\,m^2\leq\, A\leq\, 120\,m^2$ .

Exercice 23 :

Développer et réduire les expressions suivantes :

${\color{DarkRed},A=x^2+5x+4}$

${\color{DarkRed},B=-x^2+3x+4}$

${\color{DarkRed},C=x^2+3x-4}$

${\color{DarkRed},D=x^2-5x+4}$

Exercice 24 :

Supprimer les parenthèses puis réduire les expressions :

${\color{DarkRed},E=-x-4}$

${\color{DarkRed},F=12x+3}$

Exercice 25 :

En se rappelant que $a^2=a\times ,a$ .

développer et réduire les expressions suivantes :

$A=(x+4)\times ,(x+4)$

${\color{DarkRed},A=x^2+8x+16}$

$B=(2x-3)\times ,(2x-3)$

${\color{DarkRed},B=4x^2-12x+9}$

Exercice 26 :

Réduire les expressions suivantes :

${\color{DarkRed},D=-3x^2-14x+3}$

${\color{DarkRed},E=4x^2+7x-1}$

${\color{DarkRed},F=-9a+2}$

Exercice 29 :

1) -2

-2-3=-5

-5x(-5)=25

25:4=6,25

-2+6,25=4,25

Le résultat pour -2 est 4,25.

7-3=4

4x(-5)=-20

-20:4=-5

-5+7=2

Le résultat obtenu pour 7 est 2

2) x

x-3

-5(x-3)

-5(x-3) :4

$\frac{-5(x-3)}{4} +x$

$\frac{-5}{4}(x-3)\,+x$

$-1,25(x-3)\,+x$

$-1,25x-3\times \,(-1,25)\,+x$

$-1,25x+3,75\,+x$

Exercice 30 :

a)2x+1

b)3+3x

$c)\frac{1}{3}x-5$

e)6+7x

A=5t-8

Exercice 31 :

A = x-6-5x²-30-x

A=-5x²-36

B=12x-x²-10+x-3-8x²+1-2x

B=-9x²+11x-12

C= -3-a+b+5a-9+(-3a-5b)

C=-3-a+b+5a-9-3a-5b

C=a-4b-12

D= x²-(3x²-15x+4)+(15x²-12x-3)

D=x²-3x²+15x-4+15x²-12x-3

D=13x²+3x-7

Exercice 32 :

M=5x-2

R=-2x-5

Exercice 33 :

$A=3x\,,\,B=3x^2\,,\,C=3x\,,\,D=3x+2\,,\,E=2x^2\,,\,F=x^2+x$

$G=0\,,\,H=1+2x\,,\,I=x\,,\,J=30x^2\,,\,K=30x\,,\,L=x^2+x$

Voir Corrigés 21 à 33...

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