Contrôle de maths sup : séries numériques et familles sommables

Exercice 1 : Question de cours sur le lien suite-série (3 points)

Calculatrice interdite.

1. Soit \((u_n)_{n \geq\, 0}\) une suite réelle. Démontrez que la suite \((u_n)\) converge si et seulement si la série \(\sum (u_{n+1} – u_n)\) converge, et exprimez alors la somme de cette série. (1 point)
2. Déduisez-en la somme de \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{1}{n(n + 1)}\) et la nature de \(\sum_{n \geq\, 1} \ln(1 + \dfrac{1}{n})\). (1 point)
3. Vérifiez que \(\dfrac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n(n + 1)} – \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)})\) et calculez \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n + 1)(n + 2)}\). (1 point)

Exercice 2 : Nature de cinq séries (4 points)

Déterminez la nature de la série de terme général \(u_n\) dans chacun des cas suivants.

1. \(u_n = \dfrac{n^2}{n^4 + 1}\), pour \(n \geq\, 0\). (0,5 point)
2. \(u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}} – \sin(\dfrac{1}{\sqrt{n}})\), pour \(n \geq\, 1\). (1 point)
3. \(u_n = \ln(1 + \dfrac{1}{n}) – \dfrac{1}{n}\), pour \(n \geq\, 1\). (1 point)
4. \(u_n = (1 – \dfrac{1}{n})^{n^2}\), pour \(n \geq\, 2\). (1 point)
5. \(u_n = n^{-1 + 1/n}\), pour \(n \geq\, 1\). (0,5 point)

Exercice 3 : Comparaison série-intégrale (4 points)

On pose \(f(x) = \dfrac{1}{x \ln x}\) pour \(x \geq\, 2\), et \(S_N = \sum_{k=2}^{N} \dfrac{1}{k \ln k}\) pour \(N \geq\, 3\).

1. Montrez que \(f\) est positive et décroissante sur \([2, +\infty[\), et donnez une primitive de \(f\). (0,5 point)
2. En vous aidant de la figure, montrez que, pour tout entier \(k \geq\, 3\), \(\int_k^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x \leq\, f(k) \leq\, \int_{k-1}^{k} f(x)\,\mathrm{d}x\). (1 point)
3. Encadrez \(S_N\), puis montrez que la série \(\sum \dfrac{1}{n \ln n}\) diverge et que \(S_N \sim \ln(\ln N)\). (1,5 point)
4. Par la même méthode, montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{1}{n (\ln n)^2}\) converge. (1 point)

Exercice 4 : Une série alternée et un piège des équivalents (3,5 points)

1. Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) converge. Converge-t-elle absolument ? (1 point)
2. On note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\) le reste d’ordre \(n\). Donnez le signe de \(R_n\) et une majoration de \(|R_n|\). (0,5 point)
3. Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}\). Montrez que \(v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} – \dfrac{1}{n} + O(\dfrac{1}{n^{3/2}})\), puis déduisez-en la nature de \(\sum v_n\). (1,5 point)
4. Vérifiez que \(v_n \sim \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). Pourquoi cela ne contredit-il pas le théorème de comparaison par équivalents ? (0,5 point)

Exercice 5 : Familles sommables et produit de Cauchy (5,5 points)

On admet que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}\) et on note \(\zeta(3) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^3}\).

1. Montrez que la famille \((\dfrac{1}{p^2 q^2})_{(p, q) \in (\mathbb{N}^*)^2}\) est sommable et calculez sa somme. (1 point)
2. Pour \(n \geq\, 2\), on note \(I_n = \{(p, q) \in (\mathbb{N}^*)^2 \mid p + q = n\}\). Déterminez le cardinal de \(I_n\), puis montrez que la famille \((\dfrac{1}{(p + q)^3})_{(p, q) \in (\mathbb{N}^*)^2}\) est sommable et que sa somme vaut \(\dfrac{\pi^2}{6} – \zeta(3)\). (1,5 point)
3. La famille \((\dfrac{1}{(p + q)^2})_{(p, q) \in (\mathbb{N}^*)^2}\) est-elle sommable ? (0,5 point)
4. Soient \(a, b \in \mathbb{C}\). Rappelez le théorème sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes, puis démontrez que \(\exp(a) \exp(b) = \exp(a + b)\), où \(\exp(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{z^n}{n!}\). (1,5 point)
5. Soit \(x \in \mathbb{C}\) tel que \(|x| < 1\). À l’aide du produit de Cauchy de \(\sum x^n\) par elle-même, montrez que \(\sum_{n=0}^{+\infty} (n + 1) x^n = \dfrac{1}{(1 – x)^2}\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : séries numériques et familles sommables

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Séries numériques » en maths sup et « Familles sommables » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés séries numériques, familles sommables.

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