Contrôle de maths sup : suites récurrentes et points fixes

Exercice 1 : Points fixes et monotonie (3 points)

Calculatrice interdite. Durée conseillée : 2 heures. Dans tout le sujet, \(I\) désigne un intervalle de \(\mathbb{R}\), \(f : I \to I\) une fonction, \(u_0 \in I\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. On suppose \(I\) fermé et \(f\) continue sur \(I\). Démontrez que si \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\), alors \(\ell \in I\) et \(f(\ell) = \ell\). (1,5 point)
2. Démontrez que si \(f\) est croissante sur \(I\), la suite \((u_n)\) est monotone. Démontrez ensuite que si \(f\) est décroissante sur \(I\), les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones. (1,5 point)

Exercice 2 : Récurrences linéaires d’ordre 2 (5 points)

Déterminez le terme général de chacune des suites suivantes.

1. \(u_0 = 1\), \(u_1 = 4\) et \(u_{n+2} = 5u_{n+1} – 6u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). (1,5 point)
2. \(v_0 = 0\), \(v_1 = 1\) et \(v_{n+2} = 4v_{n+1} – 4v_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). (1,5 point)
3. \(w_0 = 1\), \(w_1 = 1\) et \(w_{n+2} = 2w_{n+1} – 4w_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Écrivez le résultat sous forme réelle, puis dites si la suite \((w_n)\) est bornée. (2 points)

Exercice 3 : Suite arithmético-géométrique (3 points)

On définit \(a_0 = 0\) et \(a_{n+1} = \dfrac{2}{3}a_n + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Déterminez le point fixe \(\ell\) de \(x \mapsto \dfrac{2}{3}x + 1\), puis exprimez \(a_n\) en fonction de \(n\). (1,5 point)
2. Déterminez la limite de \((a_n)\) et le plus petit entier \(n\) tel que \(|a_n – \ell| \leq\, 10^{-3}\). On donne \(\ln 3000 \approx 8{,}006\) et \(\ln(\dfrac{3}{2}) \approx 0{,}405\). (1,5 point)

Exercice 4 : Problème – étude d’une suite récurrente et méthode de Newton (9 points)

Partie A. On considère \(f(x) = \sqrt{2 + x}\) sur \([0, +\infty[\), et la suite définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). La figure ci-dessous représente \(f\) et la droite d’équation \(y = x\).

1. Montrez que l’intervalle \([0, 2]\) est stable par \(f\). (1 point)
2. Étudiez le signe de \(f(x) – x\) sur \([0, 2]\). Déduisez-en que la suite \((u_n)\) est croissante. (1 point)
3. Démontrez que \((u_n)\) converge et déterminez sa limite. (1,5 point)
4. Représentez les termes \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sur l’axe des abscisses à l’aide de la figure, en traçant l’escalier correspondant. (1 point)
5. Démontrez que \(|u_{n+1} – 2| \leq\, \dfrac{1}{2}|u_n – 2|\) pour tout \(n\). Déduisez-en que \(|u_n – 2| \leq\, 2^{1-n}\), puis un rang à partir duquel \(u_n\) approche \(2\) à \(10^{-6}\) près. (1,5 point)

Partie B : méthode de Newton. On cherche une valeur approchée de \(\sqrt{3}\), racine positive de \(g(x) = x^2 – 3\).

6. La méthode de Newton associe à \(x > 0\) le réel \(N(x) = x – \dfrac{g(x)}{g^{\prime}(x)}\). Vérifiez que \(N(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2x}\). (0,5 point)
7. On pose \(x_0 = 2\) et \(x_{n+1} = N(x_n)\). Montrez que \(x_{n+1} – \sqrt{3} = \dfrac{(x_n – \sqrt{3})^2}{2x_n}\), puis que \(x_n \geq\, \sqrt{3}\) pour tout \(n\). (1 point)
8. On pose \(e_n = x_n – \sqrt{3}\). Montrez que \(\dfrac{e_{n+1}}{3} \leq\, (\dfrac{e_n}{3})^2\), puis que \(e_n \leq\, 3 \times 10^{-2^n}\). Déduisez-en que \(x_3\) approche \(\sqrt{3}\) à \(10^{-7}\) près, et commentez la vitesse de convergence par rapport à la partie A. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : suites récurrentes et points fixes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Suites récurrentes » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés suites récurrentes.

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