Ce QCM teste les grands théorèmes de l’analyse réelle, Rolle et les accroissements finis, ainsi que la convexité comme outil de production d’inégalités. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Dérivabilité et convexité du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Dérivabilité et convexité - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
En \(0\), la fonction \(f : x \mapsto x|x|\) est :
Adérivable, de nombre dérivé \(0\)
Bdérivable, de nombre dérivé \(1\)
Ccontinue mais non dérivable
Dnon dérivable, car \(|x|\) ne l’est pas
Question 2
Pourquoi le théorème de Rolle ne s’applique-t-il pas à \(x \mapsto |x|\) sur \([-1, 1]\) ?
AParce que \([-1, 1]\) contient des réels négatifs
BParce que la fonction n’est pas continue sur \([-1, 1]\)
CParce que la fonction n’est pas dérivable en \(0\)
DParce que \(f(-1) \neq f(1)\)
Question 3
Que donne l’inégalité des accroissements finis appliquée à \(\operatorname{Arctan}\), pour tous réels \(a\) et \(b\) ?
A\(|\operatorname{Arctan} a - \operatorname{Arctan} b| \leqslant \frac{|a - b|}{2}\)
B\(|\operatorname{Arctan} a - \operatorname{Arctan} b| \leqslant |a - b|\)
C\(|\operatorname{Arctan} a - \operatorname{Arctan} b| \geqslant |a - b|\)
Pour \(n \geqslant 2\), que vaut la dérivée \(n\)-ième de \(x \mapsto x^2 e^{x}\) ?
A\(\left(x^2 + 2nx + 2n\right)e^{x}\)
B\(\left(x^2 + 2nx + n(n-1)\right)e^{x}\)
C\(\left(x^2 + 2nx + n^2\right)e^{x}\)
D\(\left(x^2 + nx + n\right)e^{x}\)
Question 5
Soit \(f\) continue sur \([a, b]\), dérivable sur \(]a, b]\), avec \(f'(x) \to \ell \in \mathbb{R}\) quand \(x \to a\). Que peut-on conclure ?
A\(f\) n’est pas forcément dérivable en \(a\)
B\(f\) est de classe \(C^2\) au voisinage de \(a\)
C\(f\) est dérivable en \(a\) mais \(f'(a)\) peut différer de \(\ell\)
D\(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \ell\)
Question 6
Soit \(f(x) = x^2\sin\frac{1}{x}\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\). Quelle affirmation est vraie ?
A\(f\) n’est pas dérivable en \(0\)
B\(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\)
C\(f\) est dérivable en \(0\), mais \(f'\) n’est pas continue en \(0\)
D\(f\) n’est pas continue en \(0\)
Question 7
Laquelle de ces fonctions est convexe sur \(]0, +\infty[\) ?
A\(x \mapsto \frac{x}{1 + x}\)
B\(x \mapsto \ln x\)
C\(x \mapsto \sqrt{x}\)
D\(x \mapsto x\ln x\)
Question 8
Quelle inégalité exprime que \(\ln\) est sous sa tangente au point d’abscisse \(1\) ?
A\(\ln x \leqslant \frac{x - 1}{2}\) pour tout \(x > 0\)
B\(\ln x \leqslant 1 - \frac{1}{x}\) pour tout \(x > 0\)
C\(\ln x \geqslant x - 1\) pour tout \(x > 0\)
D\(\ln x \leqslant x - 1\) pour tout \(x > 0\)
Question 9
Pour \(a, b > 0\), que donne l’inégalité de Jensen appliquée à la fonction concave \(\ln\) avec les poids \(\frac12\) et \(\frac12\) ?
A\(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2}\)
B\(\sqrt{ab} \leqslant \frac{2ab}{a + b}\)
C\(\frac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{ab}\)
D\(\ln\frac{a + b}{2} \leqslant \frac{\ln a + \ln b}{2}\)
Question 10
Soit \(P\) un polynôme réel de degré \(n \geqslant 2\) ayant \(n\) racines réelles distinctes. Que peut-on dire de \(P'\) grâce au théorème de Rolle ?
A\(P'\) possède au plus \(n - 2\) racines réelles distinctes
B\(P'\) possède au moins \(n - 1\) racines réelles distinctes
C\(P'\) peut n’avoir aucune racine réelle
D\(P'\) possède au moins \(n\) racines réelles distinctes
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de dérivabilité et convexité en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la dérivabilité en un point délicat par le taux d’accroissement ;
le théorème de Rolle et ses hypothèses, pour localiser des zéros ;
l’inégalité des accroissements finis et les suites contractantes ;
le théorème de la limite de la dérivée et la formule de Leibniz ;
les fonctions convexes, l’inégalité de Jensen et la position par rapport aux tangentes.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : conclure qu’une fonction n’est pas dérivable en \(a\) parce que \(f’\) n’a pas de limite en \(a\). Le théorème de la limite de la dérivée est une condition suffisante : \(x^2\sin\frac{1}{x}\) est dérivable en \(0\) alors que sa dérivée n’y a pas de limite.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour une inégalité à démontrer, demandez-vous d’abord si elle exprime la position d’une courbe par rapport à une tangente ou à une corde : si oui, la convexité donne la preuve en deux lignes. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quelle différence entre l’égalité et l’inégalité des accroissements finis ?
L’égalité \(f(b) – f(a) = f'(c)(b – a)\) est réservée aux fonctions à valeurs réelles. L’inégalité \(|f(b) – f(a)| \leq\, M|b – a|\) reste vraie pour les fonctions à valeurs complexes.
Comment reconnaître rapidement une fonction convexe ?
Si elle est deux fois dérivable sur un intervalle, elle est convexe si et seulement si \(f » \geq\, 0\) ; sinon, on revient à la croissance des pentes ou à la définition.
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