Séries numériques : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM de maths sup porte sur les séries numériques : convergence et divergence grossière, séries de référence, comparaison des séries à termes positifs, comparaison série-intégrale et séries alternées. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Séries numériques du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Séries numériques - QCM de maths sup

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Laquelle des affirmations sur une série réelle \(\sum u_n\) est vraie ?

A si \(u_n = o\left(\frac{1}{n}\right)\), alors \(\sum u_n\) converge

B si \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n \to 0\)

C si \(u_n\) décroît vers \(0\), alors \(\sum u_n\) converge

D si \(u_n \to 0\), alors \(\sum u_n\) converge

Question 2

Laquelle des séries suivantes converge ?

A \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{\ln n}{n^2}\)

B \(\sum_{n \geqslant 1} \sin\left(\frac{1}{n}\right)\)

C \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{\sqrt{n} + \ln n}\)

D \(\sum_{n \geqslant 2} \frac{1}{n \ln n}\)

Question 3

Que vaut \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}\) ?

A \(1\)

B \(2\)

C \(\frac{\pi^2}{6} - 1\)

D \(\frac{1}{2}\)

Question 4

Que vaut \(\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{3^n}\) ?

A \(\frac{3}{2}\)

B \(\frac{1}{6}\)

C \(\frac{1}{9}\)

D \(\frac{1}{2}\)

Question 5

Quelle est la nature de la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) ?

A elle diverge, car \(\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\) diverge

B elle diverge grossièrement

C elle converge, mais pas absolument

D elle converge absolument

Question 6

On pose \(u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) et \(v_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}\). Laquelle des affirmations est vraie ?

A \(u_n \sim v_n\), donc les deux séries divergent

B \(u_n\) et \(v_n\) ne sont pas équivalents

C \(u_n \sim v_n\), donc les deux séries convergent

D \(u_n \sim v_n\), \(\sum u_n\) converge et \(\sum v_n\) diverge

Question 7

Soit \(S = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1}\) et \(S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k+1}\). Quelle majoration le théorème des séries alternées donne-t-il ?

A \(|S - S_n| \leqslant \frac{1}{2^{n}}\)

B \(|S - S_n| \leqslant \frac{1}{(n+2)^2}\)

C \(|S - S_n| \leqslant \frac{1}{(n+1)(n+2)}\)

D \(|S - S_n| \leqslant \frac{1}{n+2}\)

Question 8

Par comparaison série-intégrale, quel est un équivalent de \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\) ?

A \(\ln n\)

B \(\sqrt{n}\)

C \(2\sqrt{n}\)

D \(\frac{\sqrt{n}}{2}\)

Question 9

Quelle est la nature de \(\sum_{n \geqslant 2} \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)\) ?

A elle converge absolument

B elle converge, car son terme général est équivalent à \(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)

C elle converge, par le théorème des séries alternées

D elle diverge

Question 10

Que vaut \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n!}\) ?

A \(e^2\)

B \(\sqrt{e}\)

C \(e^2 - 1\)

D \(2e\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de séries numériques en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la divergence grossière et le lien suite-série (séries télescopiques) ;
les séries géométriques, la série exponentielle et les séries de Riemann ;
la comparaison par équivalents, réservée aux termes de signe constant ;
la comparaison série-intégrale pour une fonction monotone ;
le théorème des séries alternées et la majoration du reste.

L’erreur la plus fréquente

Le critère des équivalents ne vaut que pour des séries à termes de signe constant : \(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) et \(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}\) sont équivalents, mais la première série converge et la seconde diverge.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour une série dont le terme général n’est pas de signe constant, faites un développement asymptotique jusqu’à obtenir un reste absolument convergent : la nature se lit alors terme par terme. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Groupe symétrique et déterminants, Intégration sur un segment, Familles sommables, Dénombrement. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Si \(u_n \to 0\), la série \(\sum u_n\) converge-t-elle ?

Non : la série harmonique \(\sum \frac{1}{n}\) diverge alors que \(\frac{1}{n} \to 0\). La condition \(u_n \to 0\) est seulement nécessaire.

Convergence absolue et convergence, quelle différence ?

La convergence absolue (\(\sum |u_n|\) converge) implique la convergence ; la réciproque est fausse, comme le montre la série harmonique alternée \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\).