Calcul de primitives : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM entraîne au calcul de primitives et d’intégrales : catalogue des primitives usuelles, intégration par parties et changement de variable. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Primitives et calcul intégral du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Calcul de primitives - QCM de maths sup

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Que vaut \(\displaystyle\int_0^1 x e^x\,\mathrm{d}x\) ?

A \(e\)

B \(\frac{1}{2}\)

C \(1\)

D \(e - 1\)

Question 2

Quelle est une primitive de \(x \mapsto \frac{1}{x^2 + 4}\) sur \(\mathbb{R}\) ?

A \(x \mapsto \operatorname{Arctan}\frac{x}{2}\)

B \(x \mapsto \frac{1}{4}\operatorname{Arctan}\frac{x}{2}\)

C \(x \mapsto 2\operatorname{Arctan}\frac{x}{2}\)

D \(x \mapsto \frac{1}{2}\operatorname{Arctan}\frac{x}{2}\)

Question 3

Quelle est une primitive de \(x \mapsto \frac{1}{x^2 - 1}\) sur \(]1, +\infty[\) ?

A \(x \mapsto \frac{1}{2}\ln\frac{x + 1}{x - 1}\)

B \(x \mapsto \frac{1}{2}\ln\frac{x - 1}{x + 1}\)

C \(x \mapsto \frac{1}{2}\ln(x^2 - 1)\)

D \(x \mapsto \ln\frac{x - 1}{x + 1}\)

Question 4

Quelle est une primitive de \(x \mapsto e^x \cos x\) sur \(\mathbb{R}\) ?

A \(x \mapsto e^x(\cos x + \sin x)\)

B \(x \mapsto \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}\)

C \(x \mapsto \frac{e^x(\cos x - \sin x)}{2}\)

D \(x \mapsto \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2}\)

Question 5

À l’aide du changement de variable \(x = \sin t\), que vaut \(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x\) ?

A \(\frac{1}{2}\)

B \(\frac{\pi}{4}\)

C \(\frac{\pi}{3}\)

D \(\frac{\pi}{2}\)

Question 6

Quelle est une primitive de \(\tan\) sur \(\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\) ?

A \(x \mapsto \ln(\cos x)\)

B \(x \mapsto \frac{1}{\cos^2 x}\)

C \(x \mapsto -\ln(\cos x)\)

D \(x \mapsto \ln|\sin x|\)

Question 7

Quelle est une primitive de \(x \mapsto \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\) sur \(\mathbb{R}\) ?

A \(x \mapsto \ln(x^2 + 2x + 2)\)

B \(x \mapsto \operatorname{Arctan}(x + 1)\)

C \(x \mapsto \operatorname{Arctan}(x - 1)\)

D \(x \mapsto \frac{1}{2}\operatorname{Arctan}(x + 1)\)

Question 8

Sous quelle hypothèse la formule \(\int_a^b u'v = [uv]_a^b - \int_a^b uv'\) est-elle garantie par le cours ?

A \(u\) et \(v\) sont de classe \(C^1\) sur \([a, b]\)

B \(u\) et \(v\) sont continues sur \([a, b]\)

C \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]a, b[\)

D \(u\) est de classe \(C^1\) et \(v\) est continue sur \([a, b]\)

Question 9

Un étudiant écrit \(\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2\). Que penser de ce calcul ?

A Il est faux, le bon résultat étant \(2\) par parité

B Il est juste, car \(-\frac1x\) est une primitive de \(\frac{1}{x^2}\)

C Il est faux, car la primitive de \(\frac{1}{x^2}\) est \(\ln(x^2)\)

D Il est faux, car \(x \mapsto \frac{1}{x^2}\) n’est pas continue sur \([-1, 1]\)

Question 10

Soit \(F(x) = \displaystyle\int_0^{x^2} e^{t^2}\,\mathrm{d}t\). Que vaut \(F'(x)\) ?

A \(2x\,e^{x^4}\)

B \(2x\,e^{x^2}\)

C \(e^{x^4}\)

D \(e^{x^2}\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de calcul de primitives en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

le lien intégrale-primitive et la dérivée de \(x \mapsto \int_a^{u(x)} f(t)\,\mathrm{d}t\) ;
les primitives de \(\frac{1}{x^2 + a^2}\) et de \(\frac{1}{ax^2 + bx + c}\) selon le discriminant ;
l’intégration par parties et ses hypothèses ;
le changement de variable \(x = \sin t\) ;
le passage par l’exponentielle complexe pour \(e^{ax}\cos(bx)\).

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : appliquer \(\int_a^b f = F(b) – F(a)\) alors que \(f\) n’est pas continue sur tout le segment \([a, b]\), par exemple \(\frac{1}{x^2}\) sur \([-1, 1]\). Le théorème fondamental exige une fonction continue sur un intervalle.

Comment réviser avant de refaire le test

Avant toute intégration, cherchez d’abord une forme \(u’ \times g(u)\) : c’est la méthode la plus rapide. Réservez l’IPP aux produits polynôme × exponentielle, logarithme ou fonction circulaire réciproque. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Nombres complexes, Fonctions usuelles, Équations différentielles linéaires, Nombres réels et suites. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Comment choisir \(u\) et \(v’\) dans une intégration par parties ?

On dérive le facteur qui se simplifie en dérivant (polynôme, \(\ln\), Arctan) et on primitive celui dont la primitive reste simple (exponentielle, sinus, cosinus).

Faut-il que le changement de variable soit bijectif ?

Non : le programme demande \(\varphi\) de classe \(C^1\) et \(f\) continue sur l’image de \(\varphi\). La bijectivité sert seulement quand on veut exprimer \(t\) en fonction de \(x\).