Contrôle de maths sup : probabilités finies, espérance et variance

Exercice 1 : Questions de cours (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, \((\Omega, P)\) désigne un espace probabilisé fini.

1. Soit \((A_1, \ldots, A_n)\) un système complet d’événements de probabilités non nulles et \(B\) un événement. Énoncez et démontrez la formule des probabilités totales, puis la formule de Bayes donnant \(P_B(A_k)\) lorsque \(P(B) > 0\). (1,5 point)
2. Énoncez et démontrez l’inégalité de Markov pour une variable aléatoire réelle positive, puis déduisez-en l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. (1,5 point)

Exercice 2 : Un test de dépistage (3 points)

Une maladie touche \(2\,\%\) d’une population. Un test de dépistage est positif chez \(95\,\%\) des personnes malades et négatif chez \(90\,\%\) des personnes saines. On choisit une personne au hasard et l’on note \(M\) l’événement « la personne est malade » et \(T\) l’événement « le test est positif ».

1. Calculez \(P(T)\). (1 point)
2. Calculez la probabilité qu’une personne dont le test est positif soit malade. Donnez-en une valeur approchée à \(0{,}01\) près et commentez. (1 point)
3. On fait passer un second test à la personne. On admet que, conditionnellement à \(M\) comme à \(\overline{M}\), les résultats \(T_1\) et \(T_2\) des deux tests sont indépendants et suivent les proportions ci-dessus. Calculez \(P_{T_1 \cap T_2}(M)\) sous forme de fraction, puis donnez-en une valeur approchée à \(0{,}01\) près. (1 point)

Exercice 3 : Couple de variables et indépendance (4 points)

On lance deux dés équilibrés à quatre faces, numérotées de 1 à 4, de façon indépendante. On note \(D_1\) et \(D_2\) les résultats, \(X = \min(D_1, D_2)\) et \(Y = \max(D_1, D_2)\).

1. Déterminez la loi conjointe du couple \((X, Y)\) et présentez-la sous forme de tableau. (1,5 point)
2. Déduisez-en les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), puis vérifiez que \(E(X) + E(Y) = 5\). (1 point)
3. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ? (0,5 point)
4. On considère les événements \(A\) : « \(D_1\) est pair », \(B\) : « \(D_2\) est pair » et \(C\) : « \(D_1 + D_2\) est pair ». Montrez que \(A\), \(B\) et \(C\) sont deux à deux indépendants, mais qu’ils ne sont pas mutuellement indépendants. (1 point)

Exercice 4 : Estimer une proportion (4 points)

Une pièce tombe sur pile avec une probabilité \(p \in \,]0, 1[\) inconnue. On la lance \(n\) fois de façon indépendante et l’on note \(S_n\) le nombre de piles obtenus et \(F_n = \dfrac{S_n}{n}\) la fréquence de piles.

1. Donnez la loi de \(S_n\) en justifiant, puis calculez \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\). (1,5 point)
2. Montrez que \(p(1-p) \leq\, \dfrac{1}{4}\), puis que, pour tout \(\varepsilon > 0\), \[P(|F_n – p| \geq\, \varepsilon) \leq\, \frac{1}{4n\varepsilon^2}.\] (1 point)
3. Déterminez un nombre de lancers \(n\) qui garantit \(P(|F_n – p| \geq\, 0{,}05) \leq\, 0{,}05\), quelle que soit la valeur de \(p\). (1 point)
4. Avec ce nombre de lancers, on obtient 1 100 piles. Que peut-on dire de \(p\) ? La pièce vous paraît-elle équilibrée ? (0,5 point)

Exercice 5 : Points fixes d’une permutation aléatoire (6 points)

Soit \(n \geq\, 2\). On choisit une permutation \(\sigma\) de \([\![1, n]\!]\) selon la loi uniforme sur le groupe symétrique \(S_n\). On note \(N\) le nombre de points fixes de \(\sigma\), c’est-à-dire le nombre d’entiers \(i\) tels que \(\sigma(i) = i\). Pour \(i \in [\![1, n]\!]\), on note \(X_i\) la variable indicatrice de l’événement \(\{\sigma(i) = i\}\).

1. Justifiez que \(P(\sigma(i) = i) = \dfrac{1}{n}\) pour tout \(i\), en dénombrant les permutations qui fixent \(i\). (1 point)
2. Exprimez \(N\) à l’aide des \(X_i\) et déduisez-en \(E(N)\). (0,5 point)
3. Pour \(i \neq j\), calculez \(P(\sigma(i) = i \text{ et } \sigma(j) = j)\), puis la covariance \(\operatorname{Cov}(X_i, X_j)\). Les variables \(X_i\) et \(X_j\) sont-elles indépendantes ? (1,5 point)
4. Démontrez que \(V(N) = 1\), quel que soit \(n \geq\, 2\). (1,5 point)
5. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrez que \(P(N \geq\, 3) \leq\, \dfrac{1}{4}\). (0,5 point)
6. Dans le cas \(n = 4\), déterminez la loi de \(N\) et retrouvez directement \(E(N) = 1\) et \(V(N) = 1\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : probabilités finies, espérance et variance

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Probabilités sur un univers fini » en maths sup et « Espérance et variance » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés probabilités sur un univers fini, espérance et variance.

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