Ce QCM vérifie le vocabulaire des structures algébriques de MPSI : groupes, sous-groupes, morphismes, anneaux et corps, sur les exemples usuels déjà rencontrés. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Structures algébriques usuelles : groupes, anneaux, corps du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Groupes, anneaux et corps - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Lequel de ces ensembles, muni de la loi indiquée, est un groupe ?
A\((\mathbb{Q}, \times)\)
B\((\mathbb{N}, +)\)
C\((\mathbb{U}_n, \times)\)
D\((\mathbb{Z}, \times)\)
Question 2
Soit \((G, \cdot)\) un groupe et \(H \subset G\). Quelle condition caractérise le fait que \(H\) soit un sous-groupe de \(G\) ?
A\(H \neq \varnothing\) et \(\forall x, y \in H,\ xy \in H\)
B\(H \neq \varnothing\) et \(\forall x, y \in H,\ xy^{-1} \in H\)
C\(\forall x, y \in H,\ xy^{-1} \in H\)
D\(H \neq \varnothing\) et \(\forall x \in H,\ x^{-1} \in H\)
Question 3
Quel est le noyau du morphisme \(\exp : (\mathbb{C}, +) \to (\mathbb{C}^*, \times)\) ?
A\(i\pi\mathbb{Z}\)
B\(2i\pi\mathbb{Z}\)
C\(\{0\}\)
D\(2\pi\mathbb{Z}\)
Question 4
Un morphisme de groupes \(f : G \to G'\) est injectif si et seulement si :
A\(f(e_G) = e_{G'}\)
B\(\operatorname{Im} f = G'\)
C\(\ker f = \varnothing\)
D\(\ker f = \{e_G\}\)
Question 5
Quel est le groupe des inversibles de l’anneau \((\mathbb{Z}, +, \times)\) ?
A\(\mathbb{Z} \setminus \{0\}\)
B\(\{-1, 1\}\)
C\(\mathbb{N}^*\)
D\(\{1\}\)
Question 6
Dans un anneau \(A\), la formule du binôme \((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}\) est valable dès que :
A\(ab = ba\)
B\(a\) ou \(b\) est non nul
C\(A\) est intègre
D\(a\) et \(b\) sont inversibles
Question 7
Quelle application est un isomorphisme de \((\mathbb{R}, +)\) sur \((\mathbb{R}_+^*, \times)\) ?
A\(x \mapsto |x|\)
B\(x \mapsto \ln x\)
C\(x \mapsto x^2\)
D\(x \mapsto e^{x}\)
Question 8
Quel est le noyau du morphisme \(z \mapsto z^n\) de \((\mathbb{C}^*, \times)\) dans lui-même ?
A\(\mathbb{U}_n\)
B\(\mathbb{U}\)
C\(\{-1, 1\}\)
D\(\{1\}\)
Question 9
L’ensemble \(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) est-il un sous-groupe de \((\mathbb{Z}, +)\) ?
AOui, comme réunion de deux sous-groupes
BOui, car il est égal à \(6\mathbb{Z}\)
CNon, car il ne contient pas \(0\)
DNon, car \(2 + 3 \notin 2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\)
Question 10
Lequel de ces anneaux n’est pas intègre ?
A\(\mathbb{Q}\) muni de l’addition et de la multiplication
B\(\mathbb{Z}\) muni de l’addition et de la multiplication
C\(\mathbb{R}^2\) muni des opérations composante par composante
D\(\mathbb{Z}[i] = \{a + ib,\ a, b \in \mathbb{Z}\}\) muni des opérations de \(\mathbb{C}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de groupes, anneaux et corps en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les axiomes de groupe et les groupes usuels \(\mathbb{U}\), \(\mathbb{U}_n\), \(\mathbb{C}^*\), \(\mathbb{R}_+^*\) ;
la caractérisation des sous-groupes ;
le noyau d’un morphisme et le critère d’injectivité ;
les isomorphismes de groupes ;
les anneaux intègres, le groupe des inversibles et le binôme dans un anneau.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire qu’une réunion de sous-groupes est un sous-groupe. C’est faux en général (\(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) ne contient pas \(5\)) ; c’est l’intersection qui est toujours un sous-groupe.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour montrer qu’un ensemble est un groupe, cherchez presque toujours à le voir comme un sous-groupe d’un groupe connu (ou comme le noyau d’un morphisme) : il y a deux ou trois points à vérifier au lieu de quatre axiomes. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Faut-il vérifier \(f(e) = e’\) pour un morphisme de groupes ?
Non : c’est une conséquence de \(f(xy) = f(x)f(y)\) dans un groupe. Pour un morphisme d’anneaux, en revanche, la condition \(f(1) = 1\) fait partie de la définition.
Quelle différence entre anneau intègre et corps ?
Un corps est un anneau commutatif non nul où tout élément non nul est inversible ; il est intègre. Un anneau intègre comme \(\mathbb{Z}\) n’a pas de diviseur de zéro, mais ses éléments non nuls ne sont pas tous inversibles.
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