Contrôle de maths L3 : anneaux, idéaux et polynômes irréductibles

Exercice 1 : Question de cours : idéaux premiers et maximaux (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, les anneaux sont commutatifs et unitaires. Soit \(A\) un anneau et \(I\) un idéal de \(A\), distinct de \(A\).

1. Rappelez les définitions d’un idéal premier et d’un idéal maximal. Démontrez ensuite que \(I\) est maximal si et seulement si l’anneau quotient \(A/I\) est un corps. (2 points)
2. On admet que \(I\) est premier si et seulement si \(A/I\) est intègre. Déduisez-en que tout idéal maximal est premier. (1 point)

Exercice 2 : Les idéaux de Z/12Z (3 points)

On note \(\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) la surjection canonique.

1. Montrez que les idéaux de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) sont exactement les \(\pi(d\,\mathbb{Z})\), où \(d\) est un diviseur positif de 12. Donnez-en la liste. (1,5 point)
2. Pour chacun de ces idéaux, identifiez l’anneau quotient. Déterminez ensuite les idéaux premiers et les idéaux maximaux de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Idéaux de Z[X] et anneau quotient R[X]/(X²+1) (4 points)

1. À l’aide du morphisme \(P \mapsto P(0)\), montrez que \(\mathbb{Z}[X]/(X)\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}\). Déduisez-en que l’idéal \((X)\) est premier mais n’est pas maximal. (1,5 point)
2. Montrez que l’idéal \((2, X)\) est maximal dans \(\mathbb{Z}[X]\). (1 point)
3. Montrez que l’anneau quotient \(\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)\) est isomorphe au corps \(\mathbb{C}\). (1,5 point)

Exercice 4 : L’anneau des entiers de Gauss (5 points)

On note \(\mathbb{Z}[i] = \{a + i\,b \;:\; a, b \in \mathbb{Z}\}\) et, pour \(z \in \mathbb{Z}[i]\), \(N(z) = z\,\,\overline{z} = a^2 + b^2\).

1. Montrez que \(N(z\,w) = N(z)\,N(w)\). Déduisez-en que les inversibles de \(\mathbb{Z}[i]\) sont \(1\), \(-1\), \(i\) et \(-i\). (1 point)
2. Montrez que \(\mathbb{Z}[i]\) est euclidien pour le stathme \(N\). Pour \(z\) et \(w \neq 0\), vous approcherez le complexe \(\frac{z}{w}\) par un élément \(q\) de \(\mathbb{Z}[i]\). (1,5 point)
3. Décomposez \(5\) et \(13\) en produits d’irréductibles de \(\mathbb{Z}[i]\). Justifiez l’irréductibilité des facteurs obtenus. (1,5 point)
4. Montrez que \(3\) est irréductible dans \(\mathbb{Z}[i]\). (1 point)

Exercice 5 : Problème : irréductibilité de polynômes à coefficients entiers (5 points)

On admet le lemme de Gauss : si un polynôme unitaire de \(\mathbb{Z}[X]\) est le produit de deux polynômes unitaires non constants de \(\mathbb{Q}[X]\), alors ces deux facteurs sont à coefficients entiers.

1. Énoncez le critère d’Eisenstein. Appliquez-le pour montrer que \(X^5 – 6X + 3\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). (1 point)
2. Soit \(\Phi = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\). Calculez \(\Phi(X + 1)\), puis montrez que \(\Phi\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). (1,5 point)
3. Montrez que \(X^3 + X + 1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). (1 point)
4. Soit \(S = X^3 – 4X^2 + 7X + 9\). En réduisant \(S\) modulo 2, montrez que \(S\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : anneaux, idéaux et polynômes irréductibles

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Anneaux et idéaux » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés anneaux et idéaux.

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