Contrôle de maths L3 : inversion locale et fonctions implicites

Exercice 1 : Question de cours : inversion locale et fonctions implicites (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

1. Énoncez le théorème d’inversion locale pour une application \(f : U \to \mathbb{R}^n\), où \(U\) est un ouvert de \(\mathbb{R}^n\). (1,5 point)
2. Énoncez le théorème des fonctions implicites pour une fonction \(F : \Omega \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), où \(\Omega\) est un ouvert de \(\mathbb{R}^2\), au voisinage d’un point \((a,b)\) tel que \(F(a,b) = 0\). (1,5 point)
3. Dans la situation de b), on note \(\varphi\) la fonction implicite. En dérivant la relation \(F(x, \varphi(x)) = 0\), exprimez \(\varphi^{\prime}(x)\) à l’aide des dérivées partielles de \(F\). (1 point)

Exercice 2 : Coordonnées polaires (4 points)

On considère l’application \(P : U \to \mathbb{R}^2\), où \(U = \,]0, +\infty[ \times \mathbb{R}\), définie par \(P(r, \theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)\).

1. Calculez la matrice jacobienne de \(P\) et son déterminant. Montrez que \(P\) est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de \(U\). (1 point)
2. L’application \(P\) est-elle un difféomorphisme de \(U\) sur son image ? Justifiez. (1 point)
3. On pose \(V = \,]0, +\infty[ \times \,]-\pi, \pi[\). Montrez que la restriction de \(P\) à \(V\) est injective. Déterminez \(P(V)\), puis montrez que \(P\) réalise un \(\mathcal{C}^1\)-difféomorphisme de \(V\) sur \(P(V)\) en citant le théorème utilisé. (2 points)

Exercice 3 : Un difféomorphisme global du plan (4 points)

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne et on considère l’application \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) définie par

\[f(x,y) = (x + \dfrac{1}{2}\sin y,\ y + \dfrac{1}{2}\sin x).\]

On écrit \(f = \mathrm{id} + g\), avec \(g(x,y) = (\dfrac{1}{2}\sin y,\ \dfrac{1}{2}\sin x)\).

1. Calculez le déterminant jacobien de \(f\) et montrez qu’il est minoré par \(\dfrac{3}{4}\). Que peut-on en déduire localement ? (1 point)
2. Montrez que \(g\) est \(\dfrac{1}{2}\)-lipschitzienne, puis que \(\|f(u) – f(v)\| \geq\, \dfrac{1}{2}\|u – v\|\) pour tous \(u, v \in \mathbb{R}^2\). Déduisez-en que \(f\) est injective. (1 point)
3. Soit \(w \in \mathbb{R}^2\). En étudiant l’application \(T : u \mapsto w – g(u)\), montrez que l’équation \(f(u) = w\) admet une solution. (1 point)
4. Concluez que \(f\) est un \(\mathcal{C}^1\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur lui-même, puis calculez la matrice de \(\mathrm{d}(f^{-1})(0,0)\). (1 point)

Exercice 4 : Plan tangent à un hyperboloïde (3 points)

On considère la surface \(S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 – z^2 = 1\}\) et le point \(a = (1, 1, 1)\).

1. Montrez que \(S\) est une sous-variété de \(\mathbb{R}^3\) de dimension 2, de classe \(\mathcal{C}^\infty\). (1 point)
2. Vérifiez que \(a \in S\). Déterminez l’espace tangent \(T_a S\), puis une équation du plan tangent affine à \(S\) en \(a\). (1 point)
3. Montrez que la droite passant par \(a\) et dirigée par \(u = (1, 0, 1)\) est entièrement contenue dans \(S\). Vérifiez la cohérence avec b). (1 point)

Exercice 5 : Problème : le folium de Descartes (5 points)

On pose \(F(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy\) pour \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), et on note \(\mathcal{C}\) la courbe d’équation \(F(x,y) = 0\), tracée ci-dessous avec le point \(A = (\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2})\).

1. Déterminez les points de \(\mathcal{C}\) en lesquels \(\dfrac{\partial F}{\partial y}\) s’annule. (1 point)
2. Vérifiez que \(A \in \mathcal{C}\). Justifiez l’existence d’une fonction implicite \(\varphi\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) au voisinage de \(\dfrac{3}{2}\), telle que \(\varphi(\dfrac{3}{2}) = \dfrac{3}{2}\). Calculez \(\varphi^{\prime}(\dfrac{3}{2})\) et donnez l’équation de la tangente à \(\mathcal{C}\) en \(A\). (1,5 point)
3. Calculez \(\varphi^{\prime\prime}(\dfrac{3}{2})\). Précisez la position de \(\mathcal{C}\) par rapport à sa tangente au voisinage de \(A\). (1,5 point)
4. Pour \(t \neq -1\), on pose \(M(t) = (\dfrac{3t}{1+t^3},\ \dfrac{3t^2}{1+t^3})\). Vérifiez que \(M(t) \in \mathcal{C}\). En étudiant \(M(t)\) quand \(t \to 0\) et quand \(t \to +\infty\), expliquez pourquoi \(\mathcal{C}\) n’est, au voisinage de l’origine, ni un graphe \(y = \varphi(x)\) ni un graphe \(x = \psi(y)\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : inversion locale et fonctions implicites

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Inversion locale et extrema liés » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés inversion locale et extrema liés.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L3 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.

Autres contrôles de maths de L3 sur ce thème

• Contrôle de maths L3 : extrema libres et multiplicateurs de Lagrange