Fonctions holomorphes : QCM de maths en L3 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des fonctions holomorphes en L3 : équations de Cauchy-Riemann, intégrales curvilignes, formule de Cauchy, zéros isolés, théorème de Liouville et principe du maximum. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Fonctions holomorphes et formule de Cauchy du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Fonctions holomorphes - QCM de maths en L3

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Pour \(f = P + iQ\) différentiable au sens réel, quelles sont les équations de Cauchy-Riemann ?

A \(\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) et \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial y}\)

B \(\frac{\partial P}{\partial x} = -\frac{\partial Q}{\partial y}\) et \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)

C \(\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}\) et \(\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x}\)

D \(\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}\) et \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)

Question 2

En quels points \(f(z) = |z|^2\) est-elle \(\mathbb{C}\)-dérivable ?

A Sur l’axe réel

B En \(0\) seulement

C En aucun point

D En tout point de \(\mathbb{C}\)

Question 3

Que vaut \(\oint_{|z|=1}\bar z\,dz\), le cercle étant parcouru une fois dans le sens direct ?

A \(0\)

B \(2\pi\)

C \(-2i\pi\)

D \(2i\pi\)

Question 4

Que vaut \(\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\,dz\), le cercle étant parcouru une fois dans le sens direct ?

A \(2i\pi e\)

B \(2\pi e\)

C \(0\)

D \(2i\pi\)

Question 5

Que vaut \(\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^3}\,dz\), le cercle étant parcouru une fois dans le sens direct ?

A \(i\pi\)

B \(0\)

C \(2i\pi\)

D \(\frac{i\pi}{3}\)

Question 6

Soit \(f\) entière telle que \(|f(z)|\leqslant 3 + |z|\) pour tout \(z\in\mathbb{C}\). Que peut-on affirmer ?

A \(f\) est constante

B \(f\) est un polynôme de degré au plus \(1\)

C \(f\) est identiquement nulle

D \(f\) est bornée

Question 7

Soit \(f\) holomorphe sur le disque \(D(0,2)\) telle que \(f\left(\frac1n\right) = \frac{1}{n^2}\) pour tout \(n\geqslant 1\). Que peut-on affirmer ?

A Une telle fonction \(f\) n’existe pas

B \(f(z) = z^2\) sur tout le disque

C \(f\) est constante

D \(f\) n’est pas déterminée de manière unique

Question 8

Existe-t-il une détermination continue du logarithme sur \(\mathbb{C}^*\) ?

A Oui, car \(\exp\) est surjective de \(\mathbb{C}\) sur \(\mathbb{C}^*\)

B Non, et il n’en existe sur aucun ouvert de \(\mathbb{C}^*\)

C Oui : \(\mathrm{Log}\,z = \ln|z| + i\,\mathrm{Arg}\,z\) avec \(\mathrm{Arg}\,z\in\,]-\pi,\pi]\)

D Non, mais il en existe sur \(\mathbb{C}\) privé d’une demi-droite issue de \(0\)

Question 9

Dans la preuve du théorème de d’Alembert-Gauss par Liouville, on suppose que \(P\) non constant ne s’annule pas. Quelle fonction est alors entière et bornée ?

A \(P\)

B \(e^{P}\)

C \(\frac{1}{P}\)

D \(\frac{P'}{P}\)

Question 10

Soit \(f\) holomorphe sur un ouvert connexe \(U\), telle que \(|f|\) admette un maximum local en \(a\in U\). Que peut-on affirmer ?

A \(f(a) = 0\)

B \(|f|\) est constante sur \(U\), mais pas forcément \(f\)

C \(f\) est constante sur \(U\)

D \(f'(a) = 0\), mais \(f\) n’est pas forcément constante

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de fonctions holomorphes en L3

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les équations de Cauchy-Riemann et la \(\mathbb{C}\)-dérivabilité en un point ;
les déterminations du logarithme complexe ;
le calcul d’intégrales le long d’un chemin ;
la formule intégrale de Cauchy pour la fonction et ses dérivées ;
le principe des zéros isolés et le prolongement analytique ;
le théorème de Liouville, d’Alembert-Gauss et le principe du maximum.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : appliquer le théorème de Cauchy (« l’intégrale sur un lacet est nulle ») à une fonction qui n’est pas holomorphe. \(\oint_{|z|=1}\,\overline z\,dz = 2i\pi\), car \(\,\overline z\) n’est holomorphe nulle part ; sur le cercle unité, \(\,\overline z = \frac1z\).

Comment réviser avant de refaire le test

Devant une intégrale sur un cercle, repérez les points où la fonction n’est pas holomorphe, puis écrivez l’intégrande sous la forme \(\frac{g(z)}{(z-a)^{k+1}}\) avec \(g\) holomorphe : la formule de Cauchy donne \(\frac{2i\pi}{k!}g^{(k)}(a)\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths en L3

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Inversion locale et extrema liés, Équations différentielles, Théorème des résidus, Espaces de Hilbert. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L3 rassemble les 20 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi une fonction holomorphe est-elle automatiquement \(C^\infty\) ?

La formule de Cauchy exprime \(f\) comme une intégrale à paramètre de \(\frac{f(w)}{w-z}\), que l’on peut dériver à volonté sous l’intégrale, ou développer en série entière. Une seule dérivabilité complexe entraîne l’analyticité.

Le principe des zéros isolés vaut-il sur un ouvert non connexe ?

Non. Sur la réunion de deux disques disjoints, la fonction nulle sur l’un et égale à \(1\) sur l’autre est holomorphe, non identiquement nulle, et a des zéros non isolés. Il faut un ouvert connexe.