Groupes et actions : cours de maths en L3 en PDF.

(Lagrange) Si \(G\) est fini et \(H\) est un sous-groupe de \(G\), alors \(|G| = [G:H]\,|H|\). En particulier, l’ordre de \(H\) divise l’ordre de \(G\), et l’ordre de tout élément de \(G\) divise \(|G|\).

Les classes à gauche forment une partition de \(G\). De plus, l’application \(h \mapsto xh\) est une bijection de \(H\) sur \(xH\), de réciproque \(y \mapsto x^{-1}y\). Ainsi, chaque classe a exactement \(|H|\) éléments. Il y a \([G:H]\) classes, d’où la formule. Enfin, l’ordre d’un élément \(g\) est l’ordre du sous-groupe \(\langle g \rangle\).

Un sous-groupe \(H\) de \(G\) est distingué (ou normal) si \(gHg^{-1} \subset H\) pour tout \(g \in G\). On note alors \(H \lhd G\). De façon équivalente, \(gH = Hg\) pour tout \(g \in G\) : classes à gauche et à droite coïncident.

Les sous-groupes suivants sont toujours distingués :

• le noyau \(\ker f\) de tout morphisme de groupes \(f : G \to G^{\prime}\) ;
• le centre \(Z(G) = \{z \in G \mid \forall g \in G,\ gz = zg\}\) ;
• tout sous-groupe d’indice 2 ;
• l’intersection d’une famille de sous-groupes distingués.

Si \(f(h) = e\), alors \(f(ghg^{-1}) = f(g)f(g)^{-1} = e\). Pour le centre, \(gzg^{-1} = z\). Enfin, si \([G:H] = 2\), les deux classes à gauche sont \(H\) et \(G \setminus H\) ; de même pour les classes à droite. Donc, pour \(g \notin H\), on a \(gH = G \setminus H = Hg\). Le cas de l’intersection est immédiat.

Pour montrer que \(H\) est distingué dans \(G\), on dispose de quatre stratégies :

• calculer \(ghg^{-1}\) et vérifier qu’il est dans \(H\), en se limitant si besoin à des générateurs \(g\) de \(G\) ;
• reconnaître \(H\) comme le noyau d’un morphisme bien choisi (déterminant, signature, projection) ;
• observer que \(H\) est d’indice 2 ;
• montrer que \(H\) est une réunion de classes de conjugaison de \(G\).

Soit \(H \lhd G\). La loi \((xH)(yH) = xyH\) est bien définie sur \(G/H\) et en fait un groupe, de neutre \(H\). La projection canonique \(\pi : G \to G/H\), \(x \mapsto xH\), est un morphisme surjectif de noyau \(H\).

Supposons \(xH = x^{\prime}H\) et \(yH = y^{\prime}H\). On écrit \(x^{\prime} = xh\) et \(y^{\prime} = yk\) avec \(h, k \in H\). Alors \(x^{\prime}y^{\prime} = xy\,(y^{-1}hy)\,k\). Or \(y^{-1}hy \in H\), car \(H\) est distingué. Donc \(x^{\prime}y^{\prime}H = xyH\), et la loi ne dépend pas des représentants. Les axiomes de groupe se déduisent alors de ceux de \(G\).

Si \(H\) n’est pas distingué, la formule \((xH)(yH) = xyH\) n’a pas de sens. Par exemple, avec \(H = \{\mathrm{id}, (1\,2)\}\) dans \(\mathfrak{S}_3\), on a \((1\,3)H = (1\,3)(1\,2)H\). Pourtant, en multipliant à droite par \((1\,3)\), le premier représentant donne \((1\,3)(1\,3)H = H\), tandis que le second donne \((1\,3)(1\,2)(1\,3)H = (2\,3)H \neq H\).

(Propriété universelle) Soit \(H \lhd G\) et \(f : G \to G^{\prime}\) un morphisme tel que \(H \subset \ker f\). Il existe un unique morphisme \(\,\overline{f} : G/H \to G^{\prime}\) tel que \(f = \,\overline{f} \circ \pi\), donné par \(\,\overline{f}(xH) = f(x)\).

(Premier théorème d’isomorphisme) Pour tout morphisme \(f : G \to G^{\prime}\), l’application \(\,\overline{f}\) induit un isomorphisme \[G/\ker f \simeq \mathrm{Im}\, f.\]

On prend \(H = \ker f\). D’abord, \(\,\overline{f}\) est bien définie : si \(xH = yH\), alors \(x^{-1}y \in \ker f\), donc \(f(x) = f(y)\). Ensuite, \(\,\overline{f}(xH) = e\) équivaut à \(x \in \ker f\), c’est-à-dire \(xH = H\) ; donc \(\,\overline{f}\) est injective. Enfin, son image est \(\mathrm{Im}\, f\).

(Deuxième théorème) Si \(H\) est un sous-groupe de \(G\) et \(N \lhd G\), alors \(HN\) est un sous-groupe, \(H \cap N \lhd H\) et \(HN/N \simeq H/(H \cap N)\).

(Troisième théorème) Si \(N \subset K\) sont deux sous-groupes distingués de \(G\), alors \(K/N \lhd G/N\) et \[(G/N)/(K/N) \simeq G/K.\]

Pour établir un isomorphisme \(G/H \simeq G^{\prime}\), on procède en trois temps :

• on cherche un morphisme \(f : G \to G^{\prime}\) naturel (exponentielle, déterminant, module, réduction modulo \(n\)) ;
• on vérifie que \(f\) est surjectif ;
• on calcule \(\ker f\) et on vérifie qu’il vaut \(H\).

Le premier théorème d’isomorphisme conclut alors, sans jamais manipuler de classes.

Le morphisme \(t \mapsto e^{2i\pi t}\), de \((\mathbb{R}, +)\) dans le groupe \(\mathbb{U}\) des complexes de module 1, est surjectif de noyau \(\mathbb{Z}\). Donc \(\mathbb{R}/\mathbb{Z} \simeq \mathbb{U}\). De même, le déterminant, de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) dans \(\mathbb{K}^*\), est surjectif de noyau \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})\). Par conséquent, \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})/\mathrm{SL}_n(\mathbb{K}) \simeq \mathbb{K}^*\).

Tout groupe monogène infini est isomorphe à \(\mathbb{Z}\). Tout groupe cyclique d’ordre \(n\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

Soit \(G = \langle g \rangle\). Le morphisme \(k \mapsto g^k\), de \(\mathbb{Z}\) dans \(G\), est surjectif. Son noyau est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\), donc de la forme \(n\mathbb{Z}\). Si \(n = 0\), on obtient \(G \simeq \mathbb{Z}\). Sinon, le premier théorème d’isomorphisme donne \(G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), et alors \(|G| = n\).

Soit \(n \geq\, 1\).

• Pour chaque diviseur \(d\) de \(n\), \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) possède un unique sous-groupe d’ordre \(d\), à savoir \(\langle \overline{n/d} \rangle\). Il n’y en a pas d’autre.
• L’ordre de \(\,\overline{k}\) est \(n / (k \wedge n)\). Ainsi, \(\,\overline{k}\) engendre \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si et seulement si \(k \wedge n = 1\) ; il y a \(\varphi(n)\) générateurs.
• (Lemme chinois) Si \(m \wedge n = 1\), alors \(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

Un sous-groupe de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est l’image d’un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\) contenant \(n\mathbb{Z}\), c’est-à-dire \(a\mathbb{Z}\) avec \(a\) divisant \(n\). Son ordre vaut \(n/a\), d’où l’unicité. Ensuite, \(j\,\overline{k} = \,\overline{0}\) équivaut à \(n \mid jk\), soit \(\frac{n}{k \wedge n} \mid j\). Enfin, le morphisme \(x \mapsto (x \bmod m, x \bmod n)\) a pour noyau \(\mathrm{ppcm}(m,n)\mathbb{Z} = mn\mathbb{Z}\). Il est donc injectif sur \(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\), puis bijectif par égalité des cardinaux.

Un groupe d’ordre premier \(p\) est cyclique : tout élément différent de \(e\) est d’ordre \(p\) d’après Lagrange. En revanche, \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) n’est pas cyclique, car tous ses éléments sont d’ordre au plus 2.

Une action de \(G\) sur un ensemble \(X\) est une application \(G \times X \to X\), \((g, x) \mapsto g \cdot x\), telle que \(e \cdot x = x\) et \(g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x\) pour tous \(g, h \in G\) et \(x \in X\).

(Cayley) Tout groupe fini d’ordre \(n\) est isomorphe à un sous-groupe de \(\mathfrak{S}_n\).

L’action par translation est fidèle, car \(gx = x\) entraîne \(g = e\). Le morphisme \(\rho\) est donc injectif, et \(G \simeq \rho(G) \subset \mathfrak{S}(G) \simeq \mathfrak{S}_n\).

L’orbite de \(x\) est \(G \cdot x = \{g \cdot x \mid g \in G\}\). Le stabilisateur de \(x\) est \(G_x = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}\) ; c’est un sous-groupe de \(G\). Les orbites forment une partition de \(X\). L’action est transitive s’il n’y a qu’une orbite.

(Relation orbite-stabilisateur) L’application \(gG_x \mapsto g \cdot x\) est une bijection de \(G/G_x\) sur \(G \cdot x\). Si \(G\) est fini, \[|G \cdot x| = [G : G_x] = \frac{|G|}{|G_x|}.\] De plus, \(G_{g \cdot x} = g\,G_x\,g^{-1}\).

On a \(g \cdot x = g^{\prime} \cdot x\) si et seulement si \(g^{-1}g^{\prime} \in G_x\), c’est-à-dire \(gG_x = g^{\prime}G_x\). Ainsi, l’application est bien définie et injective. Elle est surjective par définition de l’orbite. Enfin, \(h \cdot (g \cdot x) = g \cdot x\) équivaut à \(g^{-1}hg \in G_x\).

Soit \(G\) le groupe des six rotations de centre \(O\) et d’angle \(k\pi/3\), agissant sur le plan. L’orbite d’un point \(P \neq O\) compte six points : ce sont les sommets d’un hexagone régulier. Son stabilisateur est donc trivial, car \(6 = 6/1\). En revanche, l’orbite de \(O\) est \(\{O\}\), de stabilisateur \(G\) tout entier. La figure ci-dessous montre ces orbites.

Pour calculer l’ordre d’un groupe fini \(G\) de transformations, on choisit un objet \(x\) sur lequel il agit (sommet, face, arête). On détermine son orbite, souvent tout l’ensemble par transitivité, puis son stabilisateur, plus petit et plus facile à décrire. On conclut par \(|G| = |G \cdot x| \times |G_x|\).

(Formule des classes) \[|X| = \sum_{i=1}^{r} [G : G_{x_i}].\] En particulier, pour l’action de \(G\) fini sur lui-même par conjugaison, les orbites sont les classes de conjugaison, les stabilisateurs sont les centralisateurs \(C(x)\), et \[|G| = |Z(G)| + \sum_{j} [G : C(x_j)],\] où la somme porte sur les classes de conjugaison non réduites à un élément.

Soit \(p\) premier. Tout groupe d’ordre \(p^k\), avec \(k \geq\, 1\), a un centre non trivial.

Chaque indice \([G : C(x_j)]\) divise \(p^k\) et est différent de 1. Il est donc divisible par \(p\). Par conséquent, \(|Z(G)| = |G| – \sum_j [G : C(x_j)]\) est divisible par \(p\). Comme \(e \in Z(G)\), on a \(|Z(G)| \geq\, 1\), donc \(|Z(G)| \geq\, p\).

(Formule de Burnside) Si \(G\) et \(X\) sont finis, le nombre d’orbites vaut \[r = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |\mathrm{Fix}(g)|, \quad \text{où } \mathrm{Fix}(g) = \{x \in X \mid g \cdot x = x\}.\]

On compte de deux façons les couples \((g, x)\) tels que \(g \cdot x = x\). D’une part, leur nombre vaut \(\sum_g |\mathrm{Fix}(g)|\). D’autre part, il vaut \(\sum_x |G_x| = \sum_x |G|/|G \cdot x|\). Or chaque orbite \(\Omega\) contribue \(\sum_{x \in \Omega} 1/|\Omega| = 1\) à la somme \(\sum_x 1/|G \cdot x|\). D’où le résultat.

Toute permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\) se décompose en produit de cycles à supports disjoints. Cette décomposition est unique à l’ordre près, et les cycles commutent. Les supports des cycles sont les orbites non triviales de l’action de \(\langle \sigma \rangle\) sur \(\{1, \ldots, n\}\). L’ordre de \(\sigma\) est le ppcm des longueurs des cycles.

Dans \(\mathfrak{S}_8\), soit \(\sigma\) définie par \(\sigma(1) = 4\), \(\sigma(4) = 6\), \(\sigma(6) = 1\), \(\sigma(2) = 7\), \(\sigma(7) = 2\), \(\sigma(5) = 8\), \(\sigma(8) = 5\) et \(\sigma(3) = 3\). On suit les flèches à partir de 1, puis du plus petit point non encore atteint. On obtient \(\sigma = (1\,4\,6)(2\,7)(5\,8)\), d’ordre \(\mathrm{ppcm}(3, 2, 2) = 6\). La figure ci-dessous dessine ces cycles.

Pour tout cycle et toute permutation \(\tau\), on a \(\tau\,(a_1\,\ldots\,a_k)\,\tau^{-1} = (\tau(a_1)\,\ldots\,\tau(a_k))\). Par conséquent, deux permutations sont conjuguées dans \(\mathfrak{S}_n\) si et seulement si elles ont le même type, c’est-à-dire la même liste de longueurs de cycles.

Les transpositions engendrent \(\mathfrak{S}_n\). Il existe un unique morphisme non trivial \(\varepsilon : \mathfrak{S}_n \to \{-1, 1\}\) pour \(n \geq\, 2\), la signature. Il vérifie \(\varepsilon(\tau) = -1\) pour toute transposition, et \(\varepsilon(c) = (-1)^{k-1}\) pour un cycle de longueur \(k\).

Le groupe alterné \(\mathfrak{A}_n\) est le noyau de la signature. C’est un sous-groupe distingué d’indice 2 de \(\mathfrak{S}_n\) pour \(n \geq\, 2\), donc d’ordre \(n!/2\).

Pour \(n \geq\, 3\), le groupe \(\mathfrak{A}_n\) est engendré par les 3-cycles.

Un élément de \(\mathfrak{A}_n\) est un produit d’un nombre pair de transpositions. Il suffit donc d’écrire un produit de deux transpositions distinctes à l’aide de 3-cycles. Si elles ont un point commun, \((a\,b)(a\,c) = (a\,c\,b)\). Sinon, \((a\,b)(c\,d) = (a\,b)(b\,c)\,(b\,c)(c\,d) = (b\,c\,a)(c\,d\,b)\).

Pour \(n \geq\, 5\), le groupe \(\mathfrak{A}_n\) est simple : ses seuls sous-groupes distingués sont \(\{\mathrm{id}\}\) et lui-même. Le cas \(n = 5\) est traité en exercice. En revanche, \(\mathfrak{A}_4\) contient le sous-groupe distingué \(V_4 = \{\mathrm{id}, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}\), réunion de deux classes de conjugaison.

Le groupe \(D_n\) est d’ordre \(2n\). Il est formé des \(n\) rotations \(r^k\) de centre \(O\) et d’angle \(2k\pi/n\), et des \(n\) réflexions \(sr^k\), où \(s\) est la réflexion d’axe \((OA_0)\). On a les relations \[r^n = s^2 = \mathrm{id}, \qquad srs^{-1} = r^{-1}.\]

Une isométrie qui conserve \(P_n\) fixe son centre de gravité \(O\) et permute les sommets. Le groupe \(D_n\) agit donc sur les \(n\) sommets. Cette action est transitive, grâce aux rotations \(r^k\). Par ailleurs, le stabilisateur de \(A_0\) fixe \(O\) et \(A_0\). C’est donc l’identité ou la réflexion \(s\) d’axe \((OA_0)\), car une isométrie fixant deux points distincts est l’identité ou la réflexion par la droite qui les joint. Par la relation orbite-stabilisateur, \(|D_n| = n \times 2 = 2n\). Enfin, \(srs\) est une isométrie directe de \(D_n\), donc une rotation \(r^k\). Or elle envoie \(A_1\) sur \(s(r(A_{n-1})) = s(A_0) = A_0\). C’est donc \(r^{-1}\).

Le sous-groupe \(\langle r \rangle\) des rotations est cyclique d’ordre \(n\) et distingué dans \(D_n\), car d’indice 2. Le quotient \(D_n/\langle r \rangle\) est d’ordre 2. De plus, \(D_n\) n’est pas abélien, puisque \(sr = r^{-1}s \neq rs\) dès que \(n \geq\, 3\).

Calculons les classes de conjugaison des réflexions dans \(D_n\). La relation \(r^j (sr^k) r^{-j} = s r^{k – 2j}\) montre que \(sr^k\) est conjuguée aux \(sr^{k + 2m}\). Si \(n\) est impair, toutes les réflexions sont conjuguées. En revanche, si \(n\) est pair, elles forment deux classes de \(n/2\) éléments, qui correspondent aux deux sortes d’axes de la figure.

Soit \(G\) fini et \(p\) premier, avec \(|G| = p^{\alpha} m\) et \(p \nmid m\). Un \(p\)-sous-groupe de Sylow de \(G\) est un sous-groupe d’ordre \(p^{\alpha}\). On note \(n_p\) leur nombre.

(Sylow) Avec ces notations :

• \(G\) possède au moins un \(p\)-sous-groupe de Sylow ;
• les \(p\)-sous-groupes de Sylow sont deux à deux conjugués, et tout \(p\)-sous-groupe de \(G\) est contenu dans l’un d’eux ;
• \(n_p\) divise \(m\) et \(n_p \equiv 1 \pmod p\).

Un \(p\)-sous-groupe de Sylow \(P\) est distingué dans \(G\) si et seulement si \(n_p = 1\). En effet, les conjugués de \(P\) sont exactement les \(p\)-sous-groupes de Sylow.

Pour montrer qu’un groupe d’ordre donné n’est pas simple, on factorise son ordre, puis on liste les valeurs possibles de chaque \(n_p\) avec les deux conditions de divisibilité et de congruence. Si l’une d’elles force \(n_p = 1\), c’est terminé. Sinon, on compte les éléments d’ordre \(p\) : deux sous-groupes d’ordre premier \(p\) distincts ne partagent que \(e\), ce qui donne \(n_p(p-1)\) éléments d’ordre \(p\). On aboutit souvent à trop d’éléments.

Soit \(G\) d’ordre \(15 = 3 \times 5\). D’abord, \(n_5\) divise 3 et \(n_5 \equiv 1 \pmod 5\), donc \(n_5 = 1\). Ensuite, \(n_3\) divise 5 et \(n_3 \equiv 1 \pmod 3\), donc \(n_3 = 1\). Les sous-groupes \(P_3\) et \(P_5\) sont distingués, d’intersection triviale. Ainsi, pour \(x \in P_3\) et \(y \in P_5\), le commutateur \(xyx^{-1}y^{-1}\) appartient à \(P_3 \cap P_5 = \{e\}\). Par conséquent, \(xy\) est d’ordre 15 et \(G \simeq \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\).