Anneaux et idéaux : cours de maths en L3 en PDF.

Un anneau commutatif est un triplet \((A, +, \times )\) tel que \((A, +)\) est un groupe abélien, la loi \(\times \) est associative, commutative, distributive sur \(+\), et admet un élément neutre noté \(1\). Un élément \(a\) est inversible s’il existe \(b \in A\) tel que \(ab = 1\). Les inversibles forment un groupe multiplicatif noté \(A^{\times }\). Enfin, un corps est un anneau non nul dans lequel \(A^{\times } = A \setminus \{0\}\).

Les ensembles \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(K[X]\) pour un corps \(K\), l’anneau \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) des fonctions continues et l’anneau \(\mathbb{Z}[i] = \{a + ib,\ a, b \in \mathbb{Z}\}\) sont des anneaux commutatifs. De plus, si \(A\) et \(B\) sont des anneaux, le produit \(A \times B\) est un anneau pour les lois composante par composante. On a par exemple \(\mathbb{Z}^{\times } = \{-1, 1\}\) et \(\mathbb{Z}[i]^{\times } = \{1, -1, i, -i\}\).

Une application \(f : A \to B\) est un morphisme d’anneaux si, pour tous \(a, b \in A\), \(f(a + b) = f(a) + f(b)\), \(f(ab) = f(a) f(b)\) et \(f(1_A) = 1_B\). Son noyau est \(\ker f = f^{-1}(\{0\})\). Un morphisme bijectif est un isomorphisme.

Soit \(f : A \to B\) un morphisme d’anneaux. Alors \(f(A^{\times }) \subset B^{\times }\), l’image \(f(A)\) est un sous-anneau de \(B\), et \(f\) est injectif si et seulement si \(\ker f = \{0\}\). Par ailleurs, pour tout anneau \(A\), il existe un unique morphisme \(\mathbb{Z} \to A\), à savoir \(n \mapsto n \cdot 1_A\).

L’évaluation \(\mathbb{R}[X] \to \mathbb{C}\), \(P \mapsto P(i)\), est un morphisme d’anneaux. Son image est \(\mathbb{C}\) tout entier, car \(a + bX\) a pour image \(a + ib\). En revanche, son noyau contient \(X^{2} + 1\), donc elle n’est pas injective.

Un idéal de \(A\) est un sous-groupe \(I\) de \((A, +)\) tel que, pour tous \(a \in A\) et \(x \in I\), on a \(ax \in I\). L’idéal engendré par \(a_1, \ldots, a_n\) est \((a_1, \ldots, a_n) = a_1 A + \cdots + a_n A\). Un idéal de la forme \((a) = aA\) est dit principal.

Le noyau d’un morphisme est un idéal. De plus, un idéal \(I\) est égal à \(A\) si et seulement s’il contient \(1\), si et seulement s’il contient un inversible. Par conséquent, un anneau non nul \(A\) est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont \(\{0\}\) et \(A\). En particulier, tout morphisme d’un corps vers un anneau non nul est injectif.

Les idéaux de \(\mathbb{Z}\) sont exactement les \(n\mathbb{Z}\) avec \(n \in \mathbb{N}\).

Soit \(I\) un idéal non nul. Il contient un plus petit entier \(n > 0\), car \(x \in I\) entraîne \(-x \in I\). D’abord, \(n\mathbb{Z} \subset I\) par absorption. Ensuite, pour \(x \in I\), la division euclidienne donne \(x = qn + r\) avec \(0 \leq\, r < n\). Or \(r = x – qn \in I\), donc \(r = 0\) par minimalité de \(n\). Ainsi \(I = n\mathbb{Z}\).

Soit \(I\) un idéal de \(A\). La relation \(a \equiv b \ [I] \Leftrightarrow a – b \in I\) est une relation d’équivalence. L’ensemble quotient \(A/I\) est muni d’une unique structure d’anneau telle que la surjection canonique \(\pi : A \to A/I\), \(a \mapsto \overline{a}\), soit un morphisme. Son noyau est \(I\).

Le groupe quotient \(A/I\) existe déjà, car \(I\) est un sous-groupe du groupe abélien \(A\). Il reste à vérifier que le produit \(\overline{a}\,\overline{b} = \overline{ab}\) ne dépend pas des représentants. Si \(a^{\prime} = a + x\) et \(b^{\prime} = b + y\) avec \(x, y \in I\), alors \(a^{\prime} b^{\prime} – ab = ay + xb + xy\). Chaque terme appartient à \(I\) par absorption. Les axiomes d’anneau passent ensuite au quotient.

Théorème de factorisation. Soit \(f : A \to B\) un morphisme d’anneaux. Alors \(f\) induit un isomorphisme \(\overline{f} : A/\ker f \to f(A)\), défini par \(\overline{f}(\overline{a}) = f(a)\).

Pour identifier un quotient \(A/I\), on cherche un morphisme surjectif \(f : A \to B\) de noyau exactement \(I\). Le théorème de factorisation donne alors \(A/I \simeq B\). En pratique, on vérifie trois points : \(f\) est un morphisme, \(f\) est surjectif, et \(\ker f = I\). L’inclusion \(I \subset \ker f\) est souvent immédiate ; l’inclusion réciproque demande une division euclidienne.

Montrons que \(\mathbb{R}[X]/(X^{2} + 1) \simeq \mathbb{C}\). L’évaluation \(f : P \mapsto P(i)\) est surjective. Si \(P(i) = 0\), on divise : \(P = (X^{2} + 1)Q + aX + b\) avec \(a, b\) réels. Alors \(ai + b = 0\), donc \(a = b = 0\). Ainsi \(\ker f = (X^{2} + 1)\), et le quotient est isomorphe à \(\mathbb{C}\).

Les idéaux de \(A/I\) sont en bijection avec les idéaux \(J\) de \(A\) qui contiennent \(I\), par \(J \mapsto \pi(J) = J/I\). Cette bijection respecte l’inclusion, et \((A/I)/(J/I) \simeq A/J\).

Si \(I + J = A\), le lemme chinois affirme que \(A/(I \cap J) \simeq A/I \times A/J\). Ainsi, pour \(m\) et \(n\) premiers entre eux, \(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

Un anneau \(A\) est intègre s’il est non nul et si \(ab = 0\) entraîne \(a = 0\) ou \(b = 0\). Un idéal \(P \neq A\) est premier si \(ab \in P\) entraîne \(a \in P\) ou \(b \in P\). Un idéal \(M \neq A\) est maximal si les seuls idéaux contenant \(M\) sont \(M\) et \(A\).

Soit \(I\) un idéal de \(A\). Alors \(I\) est premier si et seulement si \(A/I\) est intègre, et \(I\) est maximal si et seulement si \(A/I\) est un corps. Par conséquent, tout idéal maximal est premier.

La première équivalence traduit la définition : \(\overline{a}\,\overline{b} = \overline{0}\) signifie \(ab \in I\), et \(\overline{a} = \overline{0}\) signifie \(a \in I\). Pour la seconde, on utilise la correspondance des idéaux. En effet, \(I\) est maximal si et seulement si \(A/I\) n’a que deux idéaux, \(\{0\}\) et lui-même. D’après la partie II, cela équivaut à dire que \(A/I\) est un corps. Enfin, un corps est intègre, donc un idéal maximal est premier.

Dans \(\mathbb{Z}\), les idéaux premiers sont \(\{0\}\) et les \(p\mathbb{Z}\) avec \(p\) premier, car \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est intègre si et seulement si \(n\) est premier. Les \(p\mathbb{Z}\) sont maximaux, alors que \(\{0\}\) est premier sans être maximal. De même, dans \(\mathbb{Z}[X]\), l’idéal \((X)\) est premier, car \(\mathbb{Z}[X]/(X) \simeq \mathbb{Z}\), mais il n’est pas maximal.

Théorème de Krull (admis). Dans un anneau non nul, tout idéal propre est contenu dans un idéal maximal. La preuve générale repose sur le lemme de Zorn.

Soit \(A\) intègre. Sur \(A \times (A \setminus \{0\})\), la relation \((a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow ad = bc\) est une relation d’équivalence. L’ensemble des classes, noté \(\mathrm{Frac}(A)\), est un corps pour \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\) et \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\). De plus, \(a \mapsto \frac{a}{1}\) est injectif. Enfin, tout morphisme injectif de \(A\) dans un corps \(L\) se prolonge de façon unique en un morphisme \(\mathrm{Frac}(A) \to L\).

On a \(\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}\) et \(\mathrm{Frac}(K[X]) = K(X)\), le corps des fractions rationnelles. Par ailleurs, \(\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[i]) \simeq \mathbb{Q}(i) = \{a + ib,\ a, b \in \mathbb{Q}\}\). Par exemple, \(\frac{1}{3 + 4i} = \frac{3 – 4i}{25}\).

Deux éléments \(a\) et \(b\) sont associés si \(a = ub\) avec \(u \in A^{\times }\), ce qui équivaut à \((a) = (b)\). Un élément \(p\) non nul et non inversible est irréductible si \(p = ab\) entraîne \(a\) ou \(b\) inversible. Il est premier si \(p \mid ab\) entraîne \(p \mid a\) ou \(p \mid b\), autrement dit si \((p)\) est un idéal premier.

Dans un anneau intègre, tout élément premier est irréductible. En effet, si \(p = ab\), alors \(p\) divise \(a\) ou \(b\) ; disons \(a = pc\). Alors \(p = pcb\), donc \(cb = 1\) par intégrité, et \(b\) est inversible.

Un anneau intègre \(A\) est principal si tous ses idéaux sont principaux. Il est euclidien s’il existe une application \(v : A \setminus \{0\} \to \mathbb{N}\), appelée stathme, telle que pour tous \(a\) et \(b \neq 0\), il existe \(q, r\) avec \(a = bq + r\) et (\(r = 0\) ou \(v(r) < v(b)\)).

Tout anneau euclidien est principal.

Soit \(I\) un idéal non nul. On choisit \(b \in I\) non nul de stathme minimal. D’abord, \((b) \subset I\). Ensuite, pour \(a \in I\), on écrit \(a = bq + r\). Or \(r = a – bq \in I\), donc \(r = 0\) par minimalité de \(v(b)\). Ainsi \(I = (b)\). La preuve reprend donc exactement celle donnée pour \(\mathbb{Z}\).

Pour montrer qu’un anneau est euclidien, on propose un stathme naturel : la valeur absolue dans \(\mathbb{Z}\), le degré dans \(K[X]\), la norme \(N(a + ib) = a^{2} + b^{2}\) dans \(\mathbb{Z}[i]\). Ensuite, on construit le quotient par une approximation : on calcule le quotient exact dans le corps des fractions, puis on l’arrondit. Il reste à contrôler l’erreur d’arrondi. À l’inverse, pour montrer qu’un anneau n’est pas principal, on exhibe un idéal à deux générateurs qui n’est pas principal, comme \((2, X)\) dans \(\mathbb{Z}[X]\).

Soit \(A\) principal. Pour \(a, b \in A\), on a \((a) + (b) = (d)\), et \(d\) est un PGCD de \(a\) et \(b\) : c’est la relation de Bézout \(d = au + bv\). De plus, pour \(p \neq 0\), les conditions suivantes sont équivalentes : \(p\) est irréductible ; \(p\) est premier ; l’idéal \((p)\) est maximal. Enfin, tout idéal premier non nul est maximal.

Supposons \(p\) irréductible et soit \((p) \subset (c)\). Alors \(p = cd\), donc \(c\) est inversible, auquel cas \((c) = A\), ou \(d\) est inversible, auquel cas \((c) = (p)\). Ainsi \((p)\) est maximal, donc premier. Réciproquement, un élément premier est irréductible. Enfin, un idéal premier non nul \((p)\) a un générateur premier, donc irréductible, donc \((p)\) est maximal.

Un anneau intègre \(A\) est factoriel si tout élément non nul et non inversible s’écrit comme produit d’irréductibles, et si cette écriture est unique à l’ordre des facteurs et aux inversibles près.

Tout anneau principal est factoriel (admis ici ; l’existence repose sur le fait qu’une suite croissante d’idéaux d’un anneau principal est stationnaire). Dans un anneau factoriel, un élément est irréductible si et seulement s’il est premier : c’est le lemme d’Euclide. Deux éléments y ont toujours un PGCD, lu sur les décompositions.

Un anneau factoriel n’est pas forcément principal : \(\mathbb{Z}[X]\) est factoriel sans être principal. À l’inverse, certains anneaux intègres ne sont pas factoriels. Dans \(\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]\), on a \(6 = 2 \times 3 = (1 + i\sqrt{5})(1 – i\sqrt{5})\), et ces quatre facteurs sont irréductibles et deux à deux non associés.

Soit \(P \in K[X]\) de degré \(n \geq\, 1\). Alors \(K[X]/(P)\) est un \(K\)-espace vectoriel de dimension \(n\), de base \(\overline{1}, \overline{X}, \ldots, \overline{X}^{n-1}\). C’est un corps si et seulement si \(P\) est irréductible.

Un polynôme de degré \(2\) ou \(3\) est irréductible sur \(K\) si et seulement s’il n’a pas de racine dans \(K\). Les irréductibles de \(\mathbb{C}[X]\) sont les polynômes de degré \(1\). Ceux de \(\mathbb{R}[X]\) sont les polynômes de degré \(1\) et ceux de degré \(2\) à discriminant strictement négatif.

Le critère des racines est faux en degré \(4\). Par exemple, \(X^{4} + 4 = (X^{2} + 2X + 2)(X^{2} – 2X + 2)\) n’a aucune racine réelle, mais il est réductible sur \(\mathbb{Q}\).

Sur le corps \(\mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), le polynôme \(X^{2} + X + 1\) n’a pas de racine, car il vaut \(1\) en \(0\) et en \(1\). Il est donc irréductible. Ainsi \(\mathbb{F}_2[X]/(X^{2} + X + 1)\) est un corps à quatre éléments \(0, 1, \alpha, \alpha + 1\), avec \(\alpha^{2} = \alpha + 1\).

Le contenu \(c(P)\) d’un polynôme non nul \(P \in A[X]\) est un PGCD de ses coefficients, défini à un inversible près. Le polynôme \(P\) est primitif si \(c(P)\) est inversible. Par exemple, dans \(\mathbb{Z}[X]\), \(c(6X^{2} + 9X – 15) = 3\).

Lemme de Gauss. Le produit de deux polynômes primitifs est primitif. Plus généralement, \(c(PQ) = c(P)\,c(Q)\) à un inversible près.

Soient \(P = \sum a_k X^{k}\) et \(Q = \sum b_k X^{k}\) primitifs. Supposons qu’un irréductible \(p\) divise tous les coefficients de \(PQ\). Comme \(p\) est premier, \(A/(p)\) est intègre, donc \((A/(p))[X]\) aussi. Or la réduction modulo \(p\) donne \(\overline{P}\,\overline{Q} = \overline{PQ} = 0\). Par conséquent, \(\overline{P} = 0\) ou \(\overline{Q} = 0\), ce qui contredit la primitivité. Le cas général s’en déduit en écrivant \(P = c(P) P_1\) et \(Q = c(Q) Q_1\).

Un polynôme \(P \in A[X]\) de degré au moins \(1\) est irréductible dans \(A[X]\) si et seulement s’il est primitif et irréductible dans \(K[X]\). De plus, si \(A\) est factoriel, alors \(A[X]\) est factoriel. Ainsi \(\mathbb{Z}[X]\) et \(K[X, Y] = K[X][Y]\) sont factoriels, sans être principaux.

Critère d’Eisenstein. Soit \(P = a_n X^{n} + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[X]\) et \(p\) un nombre premier. Si \(p \nmid a_n\), si \(p \mid a_k\) pour \(k < n\) et si \(p^{2} \nmid a_0\), alors \(P\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).

Supposons \(P = QR\) dans \(\mathbb{Q}[X]\) avec \(\deg Q, \deg R \geq\, 1\). D’après le lemme de Gauss, on peut prendre \(Q, R \in \mathbb{Z}[X]\). Modulo \(p\), on obtient \(\overline{a_n} X^{n} = \overline{Q}\,\overline{R}\) dans \(\mathbb{F}_p[X]\). Par factorialité de \(\mathbb{F}_p[X]\), on a \(\overline{Q} = \lambda X^{k}\) et \(\overline{R} = \mu X^{n-k}\), avec \(k = \deg Q\) et \(n – k = \deg R\), car \(p\) ne divise pas les coefficients dominants. Ainsi \(p\) divise les termes constants de \(Q\) et de \(R\), donc \(p^{2}\) divise \(a_0\). C’est absurde.

Pour prouver qu’un polynôme de \(\mathbb{Z}[X]\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\), on essaie dans l’ordre : l’absence de racine rationnelle en degré \(2\) ou \(3\) ; le critère d’Eisenstein, éventuellement après la substitution \(X \mapsto X + a\), qui préserve l’irréductibilité ; la réduction modulo un premier \(p\) ne divisant pas le coefficient dominant. En effet, si \(\overline{P}\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_p[X]\) et de même degré que \(P\), alors \(P\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\).

Pour \(p\) premier, \(\Phi_p = X^{p-1} + \cdots + X + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\). En effet, \(\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^{p} – 1}{X} = \sum_{k=1}^{p} \binom\,{p}{k} X^{k-1}\). Or \(p\) divise \(\binom\,{p}{k}\) pour \(1 \leq\, k \leq\, p – 1\), et le terme constant vaut \(p\). Le critère d’Eisenstein s’applique donc.

La norme de \(z = a + ib \in \mathbb{Z}[i]\) est \(N(z) = z\overline{z} = a^{2} + b^{2} \in \mathbb{N}\). Elle est multiplicative : \(N(zw) = N(z) N(w)\). Par conséquent, \(z\) est inversible si et seulement si \(N(z) = 1\), d’où \(\mathbb{Z}[i]^{\times } = \{1, -1, i, -i\}\).

L’anneau \(\mathbb{Z}[i]\) est euclidien pour la norme \(N\). Il est donc principal et factoriel.

Soient \(a, b \in \mathbb{Z}[i]\) avec \(b \neq 0\). Le quotient exact \(z = a/b\) est dans \(\mathbb{Q}(i)\). On choisit \(q \in \mathbb{Z}[i]\) en arrondissant la partie réelle et la partie imaginaire de \(z\) à l’entier le plus proche. Alors \(|z – q|^{2} \leq\, \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\). On pose \(r = a – bq \in \mathbb{Z}[i]\). Ainsi \(N(r) = |b|^{2}\,|z – q|^{2} \leq\, \frac{1}{2} N(b) < N(b)\).

Divisons \(a = 7 + 2i\) par \(b = 2 – i\). On a \(\frac{a}{b} = \frac{(7 + 2i)(2 + i)}{5} = \frac{12 + 11i}{5} = 2{,}4 + 2{,}2i\). On arrondit en \(q = 2 + 2i\). Alors \(r = a – bq = 7 + 2i – (6 + 2i) = 1\), et \(N(r) = 1 < 5 = N(b)\).

Les irréductibles de \(\mathbb{Z}[i]\) sont, à association près : \(1 + i\) ; les nombres premiers \(p \equiv 3 \ [4]\) ; les \(a + ib\) tels que \(a^{2} + b^{2} = p\) soit un nombre premier \(p \equiv 1 \ [4]\). Par conséquent, un nombre premier \(p\) est somme de deux carrés si et seulement si \(p = 2\) ou \(p \equiv 1 \ [4]\).

Soit \(\pi\) irréductible. Il divise \(N(\pi) = \pi \overline{\pi}\), donc il divise un nombre premier \(p\), car \(\pi\) est premier dans l’anneau factoriel \(\mathbb{Z}[i]\). Alors \(N(\pi)\) divise \(N(p) = p^{2}\). Si \(N(\pi) = p\), on a \(p = a^{2} + b^{2}\). Sinon \(N(\pi) = p^{2}\), \(\pi\) est associé à \(p\), et \(p\) est irréductible. Or un carré vaut \(0\) ou \(1\) modulo \(4\), donc \(p \equiv 3 \ [4]\) n’est jamais somme de deux carrés. Enfin, le cas \(p \equiv 1 \ [4]\) se traite grâce au théorème de Wilson, qui fournit \(x\) avec \(p \mid x^{2} + 1\).

Pour résoudre un problème arithmétique dans \(\mathbb{Z}[i]\), on passe par la norme. Elle transforme une égalité dans \(\mathbb{Z}[i]\) en égalité d’entiers, ce qui borne les diviseurs possibles. Ensuite, on utilise la factorialité : on décompose en irréductibles et on compare les exposants. Par exemple, \(5 = (2 + i)(2 – i)\) et \(2 = -i(1 + i)^{2}\).