Intégrale de Lebesgue : exercices de maths en L3 corrigés

Sommaire

Ces exercices Lebesgue L3 entraînent aux gestes qui reviennent dans tous les partiels d’intégration. Vous calculerez d’abord des intégrales de fonctions étagées, puis vous appliquerez le théorème de convergence monotone et le lemme de Fatou. Ensuite, vous vérifierez des hypothèses de domination, vous intervertirez série et intégrale et vous calculerez des limites d’intégrales.

La dernière partie porte sur les intégrales à paramètre : fonction Gamma, intégrale de Gauss, transformée de Fourier. Le problème final démontre la formule de Gauss pour Gamma. Plusieurs contre-exemples montrent aussi pourquoi chaque hypothèse compte.

Cherchez chaque exercice avant de lire le corrigé. Pour chaque interversion, écrivez d’abord le nom du théorème et ses hypothèses : c’est exactement ce que l’on attend d’une copie.

Avant de commencer, relisez le cours de maths en L3 sur intégrale de Lebesgue.

Exercice 1 : Intégrale d’une fonction étagée positive

On munit \(\mathbb{R}\) de la mesure de Lebesgue \(\lambda\). On considère la fonction
\[f = 2 \cdot \mathbf{1}_{[0, 3]} + \mathbf{1}_{[1, 5]} + 3 \cdot \mathbf{1}_{\mathbb{Q} \cap [0, 1]}.\]

Déterminer les valeurs prises par \(f\) et son écriture canonique \(f = \sum a_i \mathbf{1}_{A_i}\), où les \(a_i\) sont les valeurs non nulles distinctes de \(f\).
Calculer \(\int_{\mathbb{R}} f \, d\lambda\) à l’aide de l’écriture canonique, puis à l’aide de la linéarité. Vérifier que les deux résultats coïncident.
Calculer \(\int_{[2, +\infty[} f \, d\lambda\).

Exercice 2 : Fonction de Dirichlet et intégrale de Riemann

Soit \(D = \mathbf{1}_{\mathbb{Q} \cap [0, 1]}\), définie sur \([0, 1]\).

Montrer que \(D\) n’est pas intégrable au sens de Riemann sur \([0, 1]\).
Montrer que \(D\) est intégrable au sens de Lebesgue et calculer \(\int_{[0, 1]} D \, d\lambda\).
Soit \(g\) définie sur \([0, 1]\) par \(g(x) = x\) si \(x\) est irrationnel et \(g(x) = x^2\) si \(x\) est rationnel. Montrer que \(g \in \mathcal{L}^1([0, 1])\) et calculer son intégrale.
Calculer les sommes de Darboux de \(g\) associées à la subdivision régulière de pas \(\frac{1}{n}\). La fonction \(g\) est-elle intégrable au sens de Riemann ?

Exercice 3 : Approximation de l’identité par des fonctions étagées

Sur \([0, 1]\), on pose \(f(x) = x\) et, pour \(n \geq\, 1\), \(\varphi_n = 2^{-n} \lfloor 2^n f \rfloor\). La figure ci-dessous représente \(f\) et \(\varphi_2\).

Écrire \(\varphi_n\) comme combinaison linéaire de fonctions indicatrices d’intervalles.
Montrer que \(\varphi_n \leq\, \varphi_{n+1} \leq\, f\) et que \(0 \leq\, f – \varphi_n \leq\, 2^{-n}\).
Calculer \(\int_{[0, 1]} \varphi_n \, d\lambda\).
En déduire, en citant le théorème utilisé, la valeur de \(\int_{[0, 1]} f \, d\lambda\).

Exercice 4 : Une limite par convergence monotone

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(I_n = \int_0^n (1 + \frac{x}{n})^n e^{-2x} \, dx\).

Soit \(x \geq\, 0\). En étudiant \(y \mapsto y \ln(1 + \frac{x}{y})\) sur \(]0, +\infty[\), montrer que la suite \(((1 + \frac{x}{n})^n)_{n \geq\, 1}\) est croissante.
Montrer que \((1 + \frac{x}{n})^n \leq\, e^x\) pour tout \(x \geq\, 0\).
Déterminer \(\lim_{n \to +\infty} I_n\).

Exercice 5 : Série de fonctions positives et zêta de 2

On admet que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

Pour \(x > 0\), écrire \(\frac{x}{e^x – 1}\) comme la somme d’une série de fonctions positives.
En déduire que \(\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x – 1} \, dx = \frac{\pi^2}{6}\).
Montrer de même que \(\int_0^{+\infty} \frac{x^2}{e^x – 1} \, dx = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}\).

Exercice 6 : Le rêve du bachelier

Pour \(n \in \mathbb{N}\), calculer \(\int_0^1 x^n (-\ln x)^n \, dx\) à l’aide du changement de variable \(x = e^{-u}\).
Montrer que
\[\int_0^1 x^{-x} \, dx = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^k}.\]
En déduire une valeur approchée de cette intégrale à \(10^{-4}\) près, en contrôlant le reste.

Exercice 7 : Cas d’inégalité stricte dans le lemme de Fatou

Pour chacune des suites suivantes, déterminer \(\liminf f_n\) en chaque point, puis comparer \(\int \liminf f_n\) et \(\liminf \int f_n\).

\(f_n = n \mathbf{1}_{]0, 1/n]}\) sur \([0, 1]\).
\(f_n = \mathbf{1}_{[n, n+1]}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f_n = \mathbf{1}_{[0, 1]}\) si \(n\) est pair et \(f_n = \mathbf{1}_{]1, 2]}\) si \(n\) est impair, sur \([0, 2]\).
On pose \(k_n = -\mathbf{1}_{[n, n+1]}\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que la conclusion du lemme de Fatou est fausse pour \((k_n)\). Quelle hypothèse manque ?

Exercice 8 : Une suite sans domination intégrable

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in [0, 1]\), on pose \(f_n(x) = n^2 x e^{-nx}\). La figure ci-dessous représente quelques-unes de ces fonctions.

Déterminer la limite simple de \((f_n)\) sur \([0, 1]\).
Calculer \(\int_0^1 f_n(x) \, dx\), puis sa limite.
Comparer avec le lemme de Fatou et avec le théorème de convergence dominée.
Soit \(x \in ]0, 1]\) et \(k = \lfloor 1/x \rfloor\). Montrer que \(f_k(x) \geq\, \frac{1}{2e}(\frac{1}{x} – 1)\). En déduire que \(\sup_n f_n\) n’est pas intégrable sur \([0, 1]\).

Exercice 9 : Convergence dominée avec un sinus

Pour \(n \geq\, 1\), on pose
\[I_n = \int_0^{+\infty} \frac{n \sin(x/n)}{x (1 + x^2)} \, dx.\]

Justifier que \(I_n\) est bien définie.
Déterminer \(\lim_{n \to +\infty} I_n\).
Déterminer de même \(\lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(nx)}{1 + x^2} \, dx\).

Exercice 10 : Limite de l’intégrale de 1/(1+x^n)

Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(I_n = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^n}\) et \(J_n = \int_1^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^n}\).

Justifier l’existence de \(I_n\) et de \(J_n\).
Déterminer \(\lim I_n\).
À l’aide du changement de variable \(x = u^{1/n}\), montrer que \(n J_n \to \ln 2\). En déduire un équivalent de \(J_n\).

Exercice 11 : Concentration de la masse au bord

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in [0, 1]\), on pose \(f_n(x) = \frac{n x^{n-1}}{1 + x}\) et \(I_n = \int_0^1 f_n(x) \, dx\). La figure ci-dessous montre que la masse se concentre près de \(x = 1\).

Déterminer la limite simple de \((f_n)\) sur \([0, 1[\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(I_n = \frac{1}{2} + \int_0^1 \frac{x^n}{(1 + x)^2} \, dx\).
En déduire \(\lim I_n\).
Montrer qu’il n’existe aucune fonction intégrable \(g\) sur \([0, 1]\) telle que \(|f_n| \leq\, g\) pour tout \(n\).

Exercice 12 : Intégration terme à terme de séries alternées

On admet que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

Montrer que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}\).
Montrer que \(\int_0^1 \frac{\ln(1 + x)}{x} \, dx = \frac{\pi^2}{12}\), en vérifiant avec soin les hypothèses du théorème utilisé.
Calculer \(\int_0^{+\infty} \sin(x) \, e^{-nx} \, dx\) pour \(n \geq\, 1\).
Montrer que \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{e^x – 1} \, dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\).

Exercice 13 : Intégrale de sin x / x et espace L¹

Soit \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\) sur \(]0, +\infty[\).

À l’aide d’une intégration par parties, montrer que l’intégrale impropre \(\int_0^{+\infty} f(x) \, dx\) converge.
Montrer que pour tout \(n \geq\, 1\), \(\int_0^{n\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx \geq\, \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\).
En déduire que \(f \notin \mathcal{L}^1(]0, +\infty[)\).
Montrer que \(\int f^+ \, d\lambda = \int f^- \, d\lambda = +\infty\). Pourquoi l’intégrale de Lebesgue de \(f\) n’est-elle pas définie ?

Exercice 14 : Continuité absolue de l’intégrale

Soit \(f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(g_n = \min(|f|, n)\).

Montrer que \(\int_{\mathbb{R}} (|f| – g_n) \, d\lambda \to 0\).
En déduire que pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que, pour tout borélien \(A\), \(\lambda(A) < \delta \Rightarrow \int_A |f| \, d\lambda < \varepsilon\).
On pose \(F(x) = \int_{[0, x]} f \, d\lambda\) si \(x \geq\, 0\) et \(F(x) = -\int_{[x, 0]} f \, d\lambda\) si \(x < 0\). Montrer que \(F\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que la conclusion de la question 2 est fausse pour \(f(x) = \frac{1}{x}\) sur \(]0, 1]\).

Exercice 15 : Lemme de Scheffé

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions intégrables positives sur un espace mesuré \((X, \mathcal{A}, \mu)\), qui converge presque partout vers une fonction intégrable positive \(f\). On suppose que \(\int f_n \, d\mu \to \int f \, d\mu\).

Montrer que \(0 \leq\, (f – f_n)^+ \leq\, f\) et que \((f – f_n)^+ \to 0\) presque partout.
En déduire que \(\int (f – f_n)^+ \, d\mu \to 0\).
Vérifier que \(|a| = 2a^+ – a\) pour tout réel \(a\). En déduire que \(\int |f_n – f| \, d\mu \to 0\).
Montrer par un contre-exemple que l’hypothèse \(\int f_n \to \int f\) ne peut pas être supprimée.
Application : sur \([0, 1]\), on pose \(f_n(x) = (1 + \frac{1}{n}) x^{1/n}\). Montrer que \(\int_0^1 |f_n(x) – 1| \, dx \to 0\).

Exercice 16 : Transformée de Fourier d’une fonction intégrable

Pour \(f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})\), on pose \(\widehat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, e^{-ix\xi} \, dx\) pour \(\xi \in \mathbb{R}\).

Montrer que \(\widehat{f}\) est définie, bornée par \(\|f\|_1\) et continue sur \(\mathbb{R}\).
On suppose de plus que \(x \mapsto x f(x)\) est intégrable. Montrer que \(\widehat{f}\) est de classe \(C^1\) et exprimer \(\widehat{f}^{\prime}\).
Calculer \(\widehat{f}\) pour \(f = \mathbf{1}_{[-1, 1]}\), puis pour \(f(x) = e^{-|x|}\).
Pour \(f(x) = e^{-|x|}\), vérifier la formule de la question 2 en \(\xi = 0\).

Exercice 17 : Régularité de la fonction Gamma

On pose \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt\).

Montrer que \(t \mapsto t^{x-1} e^{-t}\) est intégrable sur \(]0, +\infty[\) si et seulement si \(x > 0\).
Montrer que \(\Gamma\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(]0, +\infty[\) et exprimer \(\Gamma^{(k)}(x)\) sous forme d’intégrale.
Montrer que \(\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)\) pour \(x > 0\), puis que \(\Gamma(n + 1) = n!\).
Montrer que \(\Gamma\) est convexe, puis que \(\Gamma(x) \sim \frac{1}{x}\) quand \(x \to 0^+\).

Exercice 18 : Une équation différentielle vérifiée par une intégrale

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1 + t^2} \, dt\).

Montrer que \(F\) est définie et continue sur \([0, +\infty[\), et calculer \(F(0)\).
Montrer que \(0 \leq\, F(x) \leq\, \frac{1}{x}\) pour \(x > 0\). En déduire \(\lim_{x \to +\infty} F(x)\).
Montrer que \(F\) est de classe \(C^2\) sur \(]0, +\infty[\) et que \(F^{\prime\prime}(x) + F(x) = \frac{1}{x}\).
Montrer que \(F^{\prime}(x) \to -\infty\) quand \(x \to 0^+\). La fonction \(F\) est-elle dérivable à droite en \(0\) ?

Exercice 19 : Intégrale de Gauss par une intégrale à paramètre

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose
\[F(x) = \int_0^1 \frac{e^{-x^2 (1 + t^2)}}{1 + t^2} \, dt \quad \text{et} \quad G(x) = (\int_0^x e^{-t^2} \, dt)^2.\]

Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et exprimer \(F^{\prime}(x)\).
Montrer que \(F^{\prime} + G^{\prime} = 0\) sur \(\mathbb{R}\).
En déduire que \(F + G = \frac{\pi}{4}\).
Montrer que \(0 \leq\, F(x) \leq\, \frac{\pi}{4} e^{-x^2}\). En déduire la valeur de \(\int_0^{+\infty} e^{-t^2} \, dt\).

Exercice 20 : Transformée de Fourier de la gaussienne

On admet que \(\int_0^{+\infty} e^{-t^2} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\) (voir l’exercice 19). Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos(xt) \, dt\).

Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(F^{\prime}(x) = -\frac{x}{2} F(x)\).
En déduire une expression de \(F(x)\).
En déduire \(\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2} e^{-ixt} \, dt\) pour tout réel \(x\).

Exercice 21 : Intégrale de Dirichlet régularisée

Pour \(x > 0\), on pose \(F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} \, \frac{\sin t}{t} \, dt\).

Montrer que \(F\) est définie sur \(]0, +\infty[\) et que \(|F(x)| \leq\, \frac{1}{x}\).
Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(]0, +\infty[\) et que \(F^{\prime}(x) = -\frac{1}{1 + x^2}\).
En déduire que \(F(x) = \frac{\pi}{2} – \arctan x\) pour tout \(x > 0\).
Expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer le théorème de continuité sous l’intégrale sur \([0, +\infty[\) pour en déduire la valeur de \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt\).

Exercice 22 : Problème : formule de Gauss pour la fonction Gamma

On fixe \(x > 0\) et on note \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt\) (voir l’exercice 17). Pour \(n \geq\, 1\) et \(t > 0\), on pose
\[f_n(t) = t^{x-1} (1 – \frac{t}{n})^n \mathbf{1}_{]0, n]}(t).\]

Soit \(t > 0\). En étudiant \(y \mapsto y \ln(1 – \frac{t}{y})\) sur \(]t, +\infty[\), montrer que \(0 \leq\, f_n(t) \leq\, f_{n+1}(t)\). Montrer aussi que \(f_n(t) \to t^{x-1} e^{-t}\).
En déduire que \(\Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty} \int_0^n t^{x-1} (1 – \frac{t}{n})^n dt\).
Montrer que \(\int_0^n t^{x-1} (1 – \frac{t}{n})^n dt = n^x J_n(x)\), où \(J_n(x) = \int_0^1 u^{x-1} (1 – u)^n \, du\).
Montrer que \(J_n(x) = \frac{n}{x} J_{n-1}(x + 1)\) pour \(n \geq\, 1\), puis que \(J_n(x) = \frac{n!}{x (x+1) \cdots (x+n)}\).
En déduire la formule de Gauss : \(\Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^x \, n!}{x (x+1) \cdots (x+n)}\). Vérifier le résultat pour \(x = 1\).
Montrer que \(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\) à l’aide de l’exercice 19. En déduire que
\[\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n} \, 2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)!} = \sqrt{\pi}.\]

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

Le cours : intégrale de Lebesgue, cours de maths en L3
À maîtriser avant : Tribus, mesures et fonctions mesurables
Chapitre précédent : Tribus, mesures et fonctions mesurables
Chapitre suivant : Mesure produit, Fubini et changement de variables
Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3

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