Ce QCM vérifie la maîtrise de la compacité et de la connexité en L3 : Borel-Lebesgue, compacité séquentielle, théorèmes de Heine et de Riesz, parties connexes et connexes par arcs. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Compacité et connexité du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Compacité et connexité - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Une partie \(K\) d’un espace métrique vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si :
Ade tout recouvrement de \(K\) par des fermés, on peut extraire un sous-recouvrement fini
Bde tout recouvrement de \(K\) par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini
Cil existe un recouvrement fini de \(K\) par des ouverts
Dde tout recouvrement de \(K\) par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement dénombrable
Question 2
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. La boule unité fermée de \(E\) est compacte si et seulement si :
A\(E\) est complet
B\(E\) est un espace de Hilbert
Cla boule unité fermée est fermée et bornée
D\(E\) est de dimension finie
Question 3
Laquelle de ces parties de \(\mathbb{R}^2\) est compacte ?
A\(\{(x,y) : x^2 + y^4\leqslant 1\}\)
B\(\{(x,y) : x^2 + y^2 < 1\}\)
C\(\{(x,y) : |x|\leqslant 1\}\)
D\(\{(x,y) : xy = 1\}\)
Question 4
Soit \(f : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) continue telle que \(f(x)\to+\infty\) quand \(\|x\|\to+\infty\). Que peut-on affirmer ?
A\(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}^n\)
B\(f\) atteint un minimum sur \(\mathbb{R}^n\)
C\(f\) atteint un maximum sur \(\mathbb{R}^n\)
D\(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}^n\)
Question 5
Quel est l’énoncé du théorème de Heine ?
AToute application continue sur un fermé borné d’un espace normé est uniformément continue
BToute application continue d’un espace métrique compact dans un espace métrique est uniformément continue
CToute application continue d’un espace métrique complet dans un espace métrique est uniformément continue
DToute application continue d’un espace métrique compact dans un espace métrique est lipschitzienne
Question 6
Laquelle de ces parties de \(\mathbb{R}\) est connexe ?
A\(\mathbb{Q}\cap[0,1]\)
B\(\{x\in\mathbb{R} : x^2\geqslant 1\}\)
C\(\{x\in\mathbb{R} : x^2\leqslant 2\}\)
D\(\mathbb{R}^*\)
Question 7
Pourquoi \(GL_n(\mathbb{R})\) n’est-il pas connexe ?
ASon image par l’application continue \(\det\) est \(\mathbb{R}^*\), qui n’est pas connexe
BParce qu’il est ouvert dans \(M_n(\mathbb{R})\)
CParce qu’il n’est pas fermé dans \(M_n(\mathbb{R})\)
DParce qu’il n’est pas borné dans \(M_n(\mathbb{R})\)
Question 8
Quelle affirmation sur les parties d’un espace métrique est exacte ?
AToute partie connexe est connexe par arcs, mais la réciproque est fausse en général
BConnexité et connexité par arcs sont équivalentes dans tout espace métrique
CToute partie connexe par arcs est connexe, mais la réciproque est fausse en général
DConnexité et connexité par arcs sont équivalentes pour toute partie de \(\mathbb{R}^2\)
Question 9
Soit \(f : [0,1]\to\mathbb{R}\) continue telle que \(f(x)^2 = 1\) pour tout \(x\). Que peut-on conclure ?
A\(f\) peut changer de signe une seule fois
B\(f\) peut prendre les deux valeurs \(1\) et \(-1\)
C\(f\) est constante, égale à \(1\) ou à \(-1\)
D\(f\) est nécessairement constante égale à \(1\)
Question 10
Soit \((x_n)\) une suite d’un espace métrique compact \(K\) qui admet une unique valeur d’adhérence \(a\). Alors :
A\((x_n)\) peut diverger, comme \(((-1)^n)\) dans \([-1,1]\)
B\((x_n)\) converge, mais pas forcément vers \(a\)
C\((x_n)\) est stationnaire à partir d’un certain rang
D\((x_n)\) converge vers \(a\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de compacité et connexité en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la propriété de Borel-Lebesgue et son équivalence avec la compacité séquentielle en métrique ;
les compacts de la dimension finie (fermés bornés) et le théorème de Riesz ;
les bornes atteintes et le théorème de Heine ;
les parties connexes de \(\mathbb{R}\) et l’image continue d’un connexe ;
la connexité par arcs et ses liens avec la connexité.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : utiliser « fermé borné donc compact » dans un espace de dimension infinie. Dans \(\ell^\infty\) ou \(C([0,1])\), la boule unité fermée est fermée et bornée, mais pas compacte : c’est exactement le théorème de Riesz.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour prouver qu’une application continue est constante, pensez au schéma connexité + valeurs discrètes : l’image d’un connexe par une application continue est un connexe, donc un intervalle, et un intervalle inclus dans \(\{-1,1\}\) ou dans \(\mathbb{Z}\) est un singleton. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Faut-il retenir la définition par recouvrements ou par suites ?
Les deux. Dans un espace métrique elles sont équivalentes ; les suites servent pour les calculs concrets, et Borel-Lebesgue pour les preuves « locales vers globales » (Heine, Dini, recouvrements finis).
Un connexe est-il toujours connexe par arcs ?
Non. L’adhérence du graphe de \(x\mapsto \sin\frac1x\) sur \(]0,1]\) est connexe mais pas connexe par arcs. En revanche, un ouvert connexe d’un espace normé est connexe par arcs.
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