Ce QCM vérifie la maîtrise du calcul différentiel dans les espaces normés en L3 : différentielle de Fréchet, règle de la chaîne, accroissements finis, théorème de Schwarz, formule de Taylor et convexité. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Calcul différentiel dans les espaces normés du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Calcul différentiel - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
\(f : U\subset E\to F\) (espaces normés) est différentiable en \(a\) s’il existe \(L\) telle que \(f(a+h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)\), avec :
A\(L\) linéaire et continue
B\(L\) continue, non nécessairement linéaire
C\(L\) linéaire, non nécessairement continue
D\(L\) linéaire, et le reste seulement \(O(\|h\|)\)
Question 2
Quelle est la différentielle de \(f : M\mapsto M^2\) sur \(M_n(\mathbb{R})\) en \(M\) ?
A\(H\mapsto 2HM\)
B\(H\mapsto H^2\)
C\(H\mapsto MH + HM\)
D\(H\mapsto 2MH\)
Question 3
Que vaut la différentielle de \(\det\) en \(I_n\), appliquée à \(H\in M_n(\mathbb{R})\) ?
A\(\det(I_n+H) - 1\)
B\(\det(H)\)
C\(n\,\mathrm{tr}(H)\)
D\(\mathrm{tr}(H)\)
Question 4
Quelle est la différentielle de \(M\mapsto M^{-1}\) sur \(GL_n(\mathbb{R})\), au point \(M\) ?
A\(H\mapsto -HM^{-2}\)
B\(H\mapsto -M^{-2}H\)
C\(H\mapsto M^{-1}HM^{-1}\)
D\(H\mapsto -M^{-1}HM^{-1}\)
Question 5
Soit \(f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\) pour \((x,y)\neq(0,0)\) et \(f(0,0) = 0\). Que peut-on dire en \((0,0)\) ?
A\(f\) est continue mais pas différentiable
B\(f\) admet des dérivées partielles nulles, mais n’est pas continue, donc pas différentiable
C\(f\) est différentiable, de différentielle nulle
D\(f\) n’admet pas de dérivées partielles
Question 6
Avec \(f(x,y) = (x^2, xy)\) et \(g(u,v) = u + v\), quel est le gradient de \(g\circ f\) en \((1,2)\) ?
A\((2, 1)\)
B\((3, 1)\)
C\((4, 2)\)
D\((4, 1)\)
Question 7
Soit \(f : U\to F\) de classe \(C^1\) et \([a,b]\subset U\). Quelle affirmation est vraie en général ?
AIl existe \(c\in\,]a,b[\) tel que \(f(b)-f(a) = df(c)(b-a)\)
Pour \(f(x,y) = \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\), \(f(0,0) = 0\), les dérivées croisées en \((0,0)\) valent \(1\) et \(-1\). Quelle hypothèse du théorème de Schwarz est en défaut ?
A\(f\) n’admet pas de dérivées partielles premières en \((0,0)\)
B\(f\) n’est pas de classe \(C^2\) au voisinage de \((0,0)\)
C\(f\) n’est pas continue en \((0,0)\)
D\(f\) n’est pas de classe \(C^1\) au voisinage de \((0,0)\)
Question 9
Quel est le développement de Taylor à l’ordre \(2\) en \((0,0)\) de \(f(x,y) = e^x\cos y\) ?
A\(1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2}\)
B\(1 + x - y + \frac{x^2 - y^2}{2}\)
C\(1 + x + \frac{x^2}{2} - y^2\)
D\(1 + x + \frac{x^2 + y^2}{2}\)
Question 10
Soit \(f : U\to\mathbb{R}\) différentiable sur un ouvert convexe \(U\). \(f\) est convexe si et seulement si, pour tous \(x, y\in U\) :
A\(f(y)\leqslant f(x) + df(x)(y-x)\)
B\(f(y)\geqslant f(x) + df(y)(y-x)\)
C\(f(y)\geqslant f(x) + df(x)(y-x)\)
D\(df(x)(y-x)\geqslant 0\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de calcul différentiel en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la définition de la différentielle de Fréchet et la continuité de l’application linéaire tangente ;
les dérivées partielles qui existent sans différentiabilité ;
les différentielles sur des espaces de matrices : carré, déterminant, inverse ;
la règle de la chaîne et l’inégalité des accroissements finis ;
le théorème de Schwarz et la formule de Taylor à l’ordre \(2\) ;
la caractérisation différentielle de la convexité.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : écrire \(d(M\mapsto M^2)(H) = 2MH\). Les matrices ne commutent pas : on développe \((M+H)^2 = M^2 + MH + HM + H^2\), et la différentielle est \(H\mapsto MH + HM\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour différentier une application sur un espace de matrices, développez \(f(M+H)\), isolez la partie linéaire en \(H\), et montrez que le reste est un \(o(\|H\|)\) grâce à une norme sous-multiplicative. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi exiger que la différentielle soit continue ?
En dimension infinie, une application linéaire peut ne pas être continue. Sans cette condition, une application différentiable ne serait pas forcément continue ; en dimension finie, la condition est automatique.
L’égalité des accroissements finis existe-t-elle pour une fonction vectorielle ?
Non. Pour \(f(t) = e^{it}\) sur \([0,2\pi]\), \(f(2\pi)-f(0) = 0\) alors que \(|f'(t)| = 1\) partout. Seule l’inégalité subsiste.
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