Théorème des résidus : cours de maths en L3 en PDF.

Soit \(a \in \mathbb{C}\) et \(0 \leq\, r < R \leq\, +\infty\). La couronne de centre \(a\) est \(C(a, r, R) = \{ z \in \mathbb{C} : r < |z-a| < R \}\). Une série de Laurent centrée en \(a\) est une série de la forme \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n (z-a)^n\). Elle converge en \(z\) lorsque les deux séries \(\sum_{n \geq\, 0} a_n (z-a)^n\) et \(\sum_{n \geq\, 1} a_{-n} (z-a)^{-n}\) convergent.

(Théorème de Laurent.) Soit \(f\) holomorphe sur la couronne \(C(a, r, R)\). Il existe une unique suite \((a_n)_{n \in \mathbb{Z}}\) telle que, pour tout \(z\) de la couronne, \(f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n (z-a)^n\). La convergence est normale sur tout compact de la couronne. De plus, pour tout \(\rho \in \, ]r, R[\) et tout \(n \in \mathbb{Z}\) :

\[ a_n = \frac{1}{2i\pi} \int_{|z-a| = \rho} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} \, dz. \]

Fixons \(z\) dans la couronne, puis \(r < \rho_1 < |z-a| < \rho_2 < R\). D’abord, la formule de Cauchy appliquée au bord de la couronne \(C(a, \rho_1, \rho_2)\) donne

\[ f(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_{|w-a| = \rho_2} \frac{f(w)}{w-z} \, dw – \frac{1}{2i\pi} \int_{|w-a| = \rho_1} \frac{f(w)}{w-z} \, dw. \]

Sur le grand cercle, on a \(|z-a| < |w-a|\). Ainsi, \(\frac{1}{w-z} = \sum_{n \geq\, 0} \frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\), avec convergence normale en \(w\). Sur le petit cercle, on a au contraire \(|w-a| < |z-a|\), donc \(-\frac{1}{w-z} = \sum_{n \geq\, 1} \frac{(w-a)^{n-1}}{(z-a)^{n}}\). On intègre terme à terme, ce que permet la convergence normale. Enfin, le théorème de Cauchy montre que l’intégrale ne dépend pas du rayon choisi. Pour l’unicité, on intègre \(\sum a_n (z-a)^{n-k-1}\) terme à terme sur un cercle : seul le terme \(n = k\) donne une contribution non nulle, égale à \(2i\pi a_k\).

Sur \(0 < |z| < 1\), on écrit \(\frac{1}{z(z-1)} = -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-z} = -\sum_{n \geq\, -1} z^n\). Sur \(|z| > 1\), en revanche, on écrit \(\frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{1 – 1/z} = \sum_{n \geq\, 2} z^{-n}\). Les deux développements sont différents : un développement de Laurent dépend de la couronne.

Pour développer une fraction rationnelle en série de Laurent sur une couronne, on la décompose d’abord en éléments simples. Ensuite, pour chaque terme \(\frac{1}{z-b}\), on compare \(|z|\) et \(|b|\) sur la couronne. Si \(|z| < |b|\), on écrit \(\frac{1}{z-b} = -\frac{1}{b} \sum_{n \geq\, 0} (\frac{z}{b})^n\). Si \(|z| > |b|\), on écrit \(\frac{1}{z-b} = \sum_{n \geq\, 0} \frac{b^n}{z^{n+1}}\). Pour les autres fonctions, on combine les séries entières usuelles.

Soit \(f\) holomorphe sur \(D(a, r) \setminus \{a\}\), avec \(r > 0\). On dit que \(a\) est une singularité isolée de \(f\). Notons \(f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n (z-a)^n\) son développement de Laurent sur \(0 < |z-a| < r\). La partie principale de \(f\) en \(a\) est \(\sum_{n \geq\, 1} a_{-n} (z-a)^{-n}\). Alors :

• \(a\) est une singularité effaçable si \(a_n = 0\) pour tout \(n < 0\) ;
• \(a\) est un pôle d’ordre \(m \geq\, 1\) si \(a_{-m} \neq 0\) et \(a_n = 0\) pour tout \(n < -m\) ;
• \(a\) est une singularité essentielle si \(a_n \neq 0\) pour une infinité d’indices \(n < 0\).

(Critère de Riemann.) Si \(f\) est bornée au voisinage de la singularité isolée \(a\), alors \(a\) est une singularité effaçable.

Supposons \(|f| \leq\, M\) sur \(0 < |z-a| < \rho_0\). Soit \(n \geq\, 1\) et \(0 < \rho < \rho_0\). D’après la formule des coefficients, \(a_{-n} = \frac{1}{2i\pi} \int_{|z-a|=\rho} f(z) (z-a)^{n-1} \, dz\). Par conséquent, \(|a_{-n}| \leq\, \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi\rho \cdot M \rho^{n-1} = M \rho^n\). En faisant tendre \(\rho\) vers \(0\), on obtient \(a_{-n} = 0\).

Soit \(a\) une singularité isolée de \(f\). Alors \(a\) est un pôle si et seulement si \(|f(z)| \to +\infty\) quand \(z \to a\).

Si \(f(z) = g(z)/(z-a)^m\) avec \(g(a) \neq 0\) et \(m \geq\, 1\), il est clair que \(|f(z)| \to +\infty\). Réciproquement, supposons \(|f| \to +\infty\). Alors \(f\) ne s’annule pas près de \(a\), et \(h = 1/f\) est bornée près de \(a\). Ainsi, d’après le critère de Riemann, \(h\) se prolonge en une fonction holomorphe avec \(h(a) = 0\). Ce zéro est isolé et d’ordre fini \(m\) car \(h\) n’est pas nulle. On écrit donc \(h(z) = (z-a)^m k(z)\) avec \(k(a) \neq 0\). Finalement, \(f = \frac{1/k}{(z-a)^m}\) a un pôle d’ordre \(m\).

(Casorati-Weierstrass.) Si \(a\) est une singularité essentielle de \(f\), alors pour tout \(\rho > 0\) assez petit, l’image \(f(D(a, \rho) \setminus \{a\})\) est dense dans \(\mathbb{C}\).

Raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il existe \(w \in \mathbb{C}\) et \(\delta > 0\) tels que \(|f(z) – w| \geq\, \delta\) sur \(D(a, \rho) \setminus \{a\}\). Alors \(g = \frac{1}{f – w}\) est holomorphe et bornée par \(1/\delta\). D’après le critère de Riemann, \(g\) se prolonge en \(a\). Si \(g(a) \neq 0\), \(f = w + 1/g\) a une singularité effaçable en \(a\). Si \(g(a) = 0\), \(f\) a un pôle en \(a\). Dans les deux cas, on contredit le caractère essentiel de \(a\).

Pour classer une singularité isolée \(a\), on essaie d’abord d’écrire \(f(z) = g(z)/(z-a)^m\) avec \(g\) holomorphe et \(g(a) \neq 0\) : c’est un pôle d’ordre \(m\) si \(m \geq\, 1\). Pour un quotient \(g/h\), on compare les ordres des zéros de \(g\) et \(h\) en \(a\). Si \(f\) est bornée près de \(a\), la singularité est effaçable. Enfin, si \(|f|\) n’a pas de limite en \(a\) (ni finie, ni infinie), la singularité est essentielle.

La fonction \(\frac{\sin z}{z}\) a une singularité effaçable en \(0\), car \(\sin z = z – \frac{z^3}{6} + \cdots\). Ensuite, \(\frac{1}{z^2 \sin z}\) a un pôle d’ordre \(3\) en \(0\). Enfin, \(e^{1/z} = \sum_{n \geq\, 0} \frac{z^{-n}}{n!}\) a une singularité essentielle en \(0\) : en effet, \(e^{1/x} \to +\infty\) quand \(x \to 0^+\), alors que \(e^{1/x} \to 0\) quand \(x \to 0^-\).

Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{C}\). Une fonction \(f\) est méromorphe sur \(U\) s’il existe une partie \(P \subset U\) fermée dans \(U\) et sans point d’accumulation dans \(U\), telle que \(f\) soit holomorphe sur \(U \setminus P\) et ait un pôle en chaque point de \(P\).

Une fraction rationnelle \(P/Q\), avec \(P\) et \(Q\) premiers entre eux, est méromorphe sur \(\mathbb{C}\) ; ses pôles sont les racines de \(Q\). De même, \(\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}\) est méromorphe sur \(\mathbb{C}\), avec des pôles simples aux points \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\). Plus généralement, si \(g\) et \(h\) sont holomorphes sur un ouvert connexe et \(h \neq 0\), alors \(g/h\) est méromorphe.

Soit \(f\) méromorphe et non identiquement nulle au voisinage de \(a\). On écrit \(f(z) = (z-a)^k g(z)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\), \(g\) holomorphe près de \(a\) et \(g(a) \neq 0\). Alors la dérivée logarithmique \(f^{\prime}/f\) a en \(a\) au plus un pôle simple, de résidu \(k\). Ainsi, ce résidu vaut l’ordre du zéro si \(k > 0\), et l’opposé de l’ordre du pôle si \(k < 0\).

On dérive le produit : \(f^{\prime}(z) = k (z-a)^{k-1} g(z) + (z-a)^k g^{\prime}(z)\). Donc \(\frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} = \frac{k}{z-a} + \frac{g^{\prime}(z)}{g(z)}\). Or \(g^{\prime}/g\) est holomorphe près de \(a\), car \(g(a) \neq 0\). Par conséquent, la partie principale de \(f^{\prime}/f\) en \(a\) est \(\frac{k}{z-a}\).

Soit \(\gamma : [0, 1] \to \mathbb{C}\) un lacet \(C^1\) par morceaux, d’image \(\gamma^*\). Pour \(a \notin \gamma^*\), l’indice de \(a\) par rapport à \(\gamma\) est

\[ \operatorname{Ind}_\gamma(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_\gamma \frac{dz}{z-a}. \]

L’indice \(\operatorname{Ind}_\gamma(a)\) est un entier relatif. La fonction \(a \mapsto \operatorname{Ind}_\gamma(a)\) est constante sur chaque composante connexe de \(\mathbb{C} \setminus \gamma^*\), et nulle sur la composante non bornée.

Posons \(\varphi(t) = \int_0^t \frac{\gamma^{\prime}(s)}{\gamma(s) – a} \, ds\) et \(\psi(t) = (\gamma(t) – a) e^{-\varphi(t)}\). Alors \(\psi^{\prime}(t) = \gamma^{\prime}(t) e^{-\varphi(t)} – (\gamma(t)-a)\varphi^{\prime}(t) e^{-\varphi(t)} = 0\), sauf en un nombre fini de points. Donc \(\psi\) est constante, et \(\psi(1) = \psi(0)\). Comme \(\gamma(1) = \gamma(0)\), on obtient \(e^{\varphi(1)} = 1\). Ainsi, \(\varphi(1) \in 2i\pi\mathbb{Z}\), c’est-à-dire \(\operatorname{Ind}_\gamma(a) \in \mathbb{Z}\). Ensuite, l’indice est continu en \(a\) (intégrale à paramètre) et à valeurs entières : il est donc constant sur toute partie connexe. Enfin, \(|\operatorname{Ind}_\gamma(a)| \leq\, \frac{L(\gamma)}{2\pi \, d(a, \gamma^*)}\), qui tend vers \(0\) quand \(|a| \to +\infty\).

Pour le cercle \(\gamma(t) = a + \rho e^{2i\pi k t}\) parcouru \(k\) fois, on trouve \(\operatorname{Ind}_\gamma(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_0^1 \frac{2i\pi k \rho e^{2i\pi k t}}{\rho e^{2i\pi k t}} \, dt = k\). Par conséquent, l’indice vaut \(k\) sur tout le disque ouvert, et \(0\) à l’extérieur.

Soit \(a\) une singularité isolée de \(f\), et \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n (z-a)^n\) son développement de Laurent près de \(a\). Le résidu de \(f\) en \(a\) est \(\operatorname{Res}(f, a) = a_{-1}\). D’après le théorème de Laurent, pour \(\rho\) assez petit, \(\operatorname{Res}(f, a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{|z-a|=\rho} f(z) \, dz\).

• Si \(a\) est un pôle simple, \(\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z-a) f(z)\).
• Si \(f = g/h\) avec \(g, h\) holomorphes, \(g(a) \neq 0\), \(h(a) = 0\) et \(h^{\prime}(a) \neq 0\), alors \(\operatorname{Res}(f, a) = \frac{g(a)}{h^{\prime}(a)}\).
• Si \(a\) est un pôle d’ordre au plus \(m\), alors \(\operatorname{Res}(f, a) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [ (z-a)^m f(z) ]\).

Pour un pôle d’ordre au plus \(m\), \((z-a)^m f(z) = \sum_{n \geq\, 0} a_{n-m} (z-a)^n\) est holomorphe. Le coefficient de \((z-a)^{m-1}\) de cette série entière est \(a_{-1}\). Or la formule de Taylor l’exprime par la dérivée d’ordre \(m-1\) divisée par \((m-1)!\). Le cas \(m = 1\) donne la première formule. Pour la deuxième, on écrit \((z-a)\frac{g(z)}{h(z)} = g(z) \cdot \frac{z-a}{h(z) – h(a)}\), qui tend vers \(g(a)/h^{\prime}(a)\).

La fonction \(f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 1}\) a des pôles simples en \(\pm i\). La deuxième formule donne \(\operatorname{Res}(f, i) = \frac{e^i}{2i}\). Par ailleurs, \(g(z) = \frac{e^z}{z^2}\) a un pôle double en \(0\). On calcule \(\frac{d}{dz}[z^2 g(z)] = e^z\), donc \(\operatorname{Res}(g, 0) = 1\).

(Théorème des résidus.) Soit \(U\) un ouvert simplement connexe de \(\mathbb{C}\), \(S\) une partie finie de \(U\) et \(f\) holomorphe sur \(U \setminus S\). Pour tout lacet \(\gamma\) \(C^1\) par morceaux dans \(U \setminus S\) :

\[ \int_\gamma f(z) \, dz = 2i\pi \sum_{a \in S} \operatorname{Ind}_\gamma(a) \operatorname{Res}(f, a). \]

Pour chaque \(a \in S\), notons \(P_a\) la partie principale de \(f\) en \(a\). Elle converge sur \(\mathbb{C} \setminus \{a\}\), car c’est une série entière en \(1/(z-a)\) qui converge près de \(a\). Ainsi, \(g = f – \sum_{a \in S} P_a\) n’a que des singularités effaçables : elle se prolonge en une fonction holomorphe sur \(U\). Par le théorème de Cauchy sur l’ouvert simplement connexe \(U\), on a \(\int_\gamma g = 0\). Ensuite, on intègre \(P_a\) terme à terme sur \(\gamma^*\), qui est compact. Pour \(k \geq\, 2\), \((z-a)^{-k}\) admet une primitive sur \(\mathbb{C} \setminus \{a\}\), donc son intégrale est nulle. Le terme \(a_{-1}(z-a)^{-1}\) donne \(2i\pi \operatorname{Ind}_\gamma(a) \operatorname{Res}(f, a)\).

Calculons \(\int_{|z|=2} \frac{e^z}{z(z-1)} \, dz\). Les deux pôles simples \(0\) et \(1\) sont dans le disque. Les résidus valent \(\frac{e^0}{0-1} = -1\) et \(\frac{e^1}{1} = e\). Donc l’intégrale vaut \(2i\pi(e – 1)\).

Pour \(I = \int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta) \, d\theta\), où \(R\) est une fraction rationnelle sans pôle sur le cercle, on pose \(z = e^{i\theta}\). Alors \(\cos\theta = \frac{1}{2}(z + \frac{1}{z})\), \(\sin\theta = \frac{1}{2i}(z – \frac{1}{z})\) et \(d\theta = \frac{dz}{iz}\). Ainsi, \(I\) devient l’intégrale d’une fraction rationnelle sur le cercle unité. Il reste à sommer les résidus des pôles de module strictement inférieur à \(1\).

Pour \(I = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{5 + 3\cos\theta}\), on obtient

\[ I = \int_{|z|=1} \frac{1}{5 + \frac{3}{2}(z + \frac{1}{z})} \, \frac{dz}{iz} = \int_{|z|=1} \frac{2 \, dz}{i(3z^2 + 10z + 3)} = \int_{|z|=1} \frac{2 \, dz}{3i(z+3)(z + \frac{1}{3})}. \]

Seul le pôle \(-\frac{1}{3}\) est dans le disque unité. Son résidu vaut \(\frac{2}{3i \cdot \frac{8}{3}} = \frac{1}{4i}\). Donc \(I = 2i\pi \cdot \frac{1}{4i} = \frac{\pi}{2}\).

Soit \(f\) continue sur \(\{\operatorname{Im} z \geq\, 0, |z| \geq\, R_0\}\) telle que \(z f(z) \to 0\) quand \(|z| \to +\infty\). Notons \(C_R\) le demi-cercle \(t \mapsto R e^{it}\), \(t \in [0, \pi]\). Alors \(\int_{C_R} f(z) \, dz \to 0\) quand \(R \to +\infty\).

Si \(F = P/Q\) est une fraction rationnelle sans pôle réel, avec \(\deg Q \geq\, \deg P + 2\), alors

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} F(x) \, dx = 2i\pi \sum_{\operatorname{Im} a > 0} \operatorname{Res}(F, a). \]

Pour \(F(x) = \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}\), les pôles du demi-plan supérieur sont \(i\) et \(2i\). On a \(\operatorname{Res}(F, i) = \frac{1}{2i \cdot 3} = \frac{1}{6i}\) et \(\operatorname{Res}(F, 2i) = \frac{1}{(-3) \cdot 4i} = -\frac{1}{12i}\). Donc \(\int_{-\infty}^{+\infty} F = 2i\pi \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}\).

(Lemme de Jordan.) Soit \(f\) continue sur le demi-plan fermé supérieur privé d’un disque, avec \(M(R) = \sup_{C_R} |f| \to 0\). Alors \(\int_{C_R} f(z) e^{iz} \, dz \to 0\) quand \(R \to +\infty\).

Sur \(C_R\), \(|e^{iz}| = e^{-R\sin t}\). Donc \(|\int_{C_R} f(z) e^{iz} dz| \leq\, M(R) R \int_0^\pi e^{-R \sin t} dt = 2 M(R) R \int_0^{\pi/2} e^{-R\sin t} dt\). Or \(\sin t \geq\, \frac{2t}{\pi}\) sur \([0, \frac{\pi}{2}]\), par concavité. Ainsi, l’intégrale est majorée par \(2M(R)R \int_0^{\pi/2} e^{-2Rt/\pi} dt \leq\, \pi M(R)\), qui tend vers \(0\).

(Petit arc.) Si \(a\) est un pôle simple de \(f\) et \(\gamma_\varepsilon\) l’arc \(t \mapsto a + \varepsilon e^{it}\), \(t \in [\alpha, \alpha + \theta]\), alors \(\int_{\gamma_\varepsilon} f(z) \, dz \to i\theta \operatorname{Res}(f, a)\) quand \(\varepsilon \to 0\).

(Principe de l’argument.) Soit \(f\) méromorphe sur un ouvert contenant le disque fermé \(\overline{D}(a, \rho)\), sans zéro ni pôle sur le cercle \(|z-a| = \rho\). Notons \(Z\) le nombre de zéros et \(P\) le nombre de pôles de \(f\) dans le disque ouvert, comptés avec multiplicité. Alors

\[ \frac{1}{2i\pi} \int_{|z-a|=\rho} \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \, dz = Z – P. \]

Les zéros et les pôles de \(f\) dans le disque fermé sont isolés, donc en nombre fini par compacité. D’après le lemme de la partie III, \(f^{\prime}/f\) a en chaque zéro un pôle simple de résidu égal à sa multiplicité. De même, en chaque pôle, le résidu est l’opposé de l’ordre. Ailleurs, \(f^{\prime}/f\) est holomorphe. Le théorème des résidus, sur un disque un peu plus grand, donne alors le résultat.

(Théorème de Rouché.) Soit \(f\) et \(g\) holomorphes sur un ouvert contenant \(\overline{D}(a, \rho)\). On suppose \(|g(z)| < |f(z)|\) pour tout \(z\) du cercle \(|z-a| = \rho\). Alors \(f\) et \(f + g\) ont le même nombre de zéros dans \(D(a, \rho)\), comptés avec multiplicité.

Sur le cercle, \(f\) ne s’annule pas, et \(|f + g| \geq\, |f| – |g| > 0\). Posons \(h = 1 + g/f\), méromorphe près du disque fermé. Sur le cercle, \(|h(z) – 1| < 1\) : la courbe \(h \circ \gamma\) reste dans le disque \(D(1, 1)\), qui ne contient pas \(0\). Sur ce disque, \(w \mapsto 1/w\) admet une primitive (une détermination du logarithme). Donc \(\operatorname{Ind}_{h \circ \gamma}(0) = 0\). Or \(\frac{h^{\prime}}{h} = \frac{(f+g)^{\prime}}{f+g} – \frac{f^{\prime}}{f}\). Par le principe de l’argument appliqué à \(f + g\) et à \(f\), la différence des nombres de zéros est nulle.

Pour dénombrer les zéros d’une fonction \(F\) dans un disque, on écrit \(F = f + g\), où \(f\) est un terme dominant dont on connaît les zéros (souvent un monôme \(c z^k\)). Ensuite, on majore \(|g|\) sur le cercle par l’inégalité triangulaire et on vérifie \(|g| < |f|\). Le théorème de Rouché donne alors autant de zéros pour \(F\) que pour \(f\). Pour une couronne, on fait la différence entre deux disques.

Soit \(F(z) = z^4 – 6z + 3\). Sur \(|z| = 1\), on a \(|z^4 + 3| \leq\, 4 < 6 = |-6z|\) : donc \(F\) a un seul zéro dans le disque unité, comme \(-6z\). Sur \(|z| = 2\), en revanche, \(|-6z + 3| \leq\, 15 < 16 = |z^4|\) : donc \(F\) a quatre zéros dans \(D(0, 2)\). Par conséquent, trois zéros sont dans la couronne \(1 < |z| < 2\), puisqu’aucun n’est sur le cercle unité.

Le théorème de Rouché redonne le théorème de d’Alembert-Gauss. De plus, il montre que les zéros d’une fonction holomorphe dépendent continûment de la fonction : une petite perturbation ne change pas le nombre de zéros dans un disque.