Anneaux et idéaux : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Inversibles, diviseurs de zéro et nilpotents de Z/nZ

Soit \(n \geq\, 2\) un entier. Un élément \(x\) d’un anneau est un diviseur de zéro s’il est non nul et s’il existe \(y \neq 0\) tel que \(xy = 0\). Il est nilpotent s’il existe \(m \geq\, 1\) tel que \(x^{m} = 0\).

1. Montrer que \(\overline{k}\) est inversible dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(k, n) = 1\).
2. Montrer que tout élément non nul de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est soit inversible, soit diviseur de zéro.
3. Dresser la liste des inversibles et des diviseurs de zéro de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\). Donner l’inverse de \(\overline{5}\) et celui de \(\overline{7}\).
4. Déterminer les éléments nilpotents de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), puis ceux de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) en fonction des facteurs premiers de \(n\).

Exercice 2 : Morphismes d’anneaux issus de Z et de Z[i]

1. Soit \(A\) un anneau. Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneaux \(\mathbb{Z} \to A\).
2. En déduire qu’il existe un morphisme d’anneaux \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to A\) si et seulement si \(n \cdot 1_A = 0\), et qu’il est alors unique.
3. Combien y a-t-il de morphismes d’anneaux de \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) vers \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) ? de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) vers \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) ? de \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) vers \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) ?
4. Déterminer tous les morphismes d’anneaux \(\mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\).
5. Pour celui qui envoie \(i\) sur \(\overline{2}\), vérifier qu’il est surjectif et que \(2 – i\) appartient à son noyau.

Exercice 3 : Idéaux de Z/18Z

1. Soit \(n \geq\, 2\). Montrer que les idéaux de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) sont les \((\overline{d}) = d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), où \(d\) parcourt les diviseurs positifs de \(n\), et que \((\overline{d})\) a \(n/d\) éléments.
2. Dresser la liste des idéaux de \(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\) et les ranger par inclusion.
3. Lesquels sont premiers ? maximaux ? Identifier chaque quotient \((\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})/(\overline{d})\).
4. Déterminer les idéaux \((\overline{4})\), \((\overline{15})\), \((\overline{4}) + (\overline{15})\) et \((\overline{2}) \cap (\overline{3})\).

Exercice 4 : Idéaux d’un anneau produit

Soient \(A\) et \(B\) deux anneaux non nuls.

1. Montrer que les idéaux de \(A \times B\) sont exactement les \(I \times J\), avec \(I\) idéal de \(A\) et \(J\) idéal de \(B\).
2. Montrer que \((A \times B)/(I \times J) \simeq A/I \times B/J\).
3. Montrer que \(A \times B\) n’est jamais intègre. En déduire que les idéaux premiers de \(A \times B\) sont les \(P \times B\) et les \(A \times Q\), avec \(P\) premier dans \(A\) et \(Q\) premier dans \(B\).
4. Déterminer les idéaux premiers et les idéaux maximaux de \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\).

Exercice 5 : Idéaux maximaux des fonctions continues

On note \(C = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) l’anneau des fonctions continues, et, pour \(a \in [0,1]\), \(I_a = \{f \in C,\ f(a) = 0\}\). On considère aussi les fonctions \(f(x) = \max(0, x – \frac{1}{2})\) et \(g(x) = \max(0, \frac{1}{2} – x)\), représentées ci-dessous.

1. Montrer que \(C\) n’est pas intègre.
2. Montrer que \(I_a\) est un idéal maximal de \(C\).
3. Montrer que \(J = \{f \in C,\ f(0) = f(1) = 0\}\) est un idéal qui n’est pas premier.
4. Soit \(M\) un idéal maximal de \(C\). On suppose que \(M \neq I_a\) pour tout \(a\). Montrer que pour tout \(a\), il existe \(f_a \in M\) avec \(f_a(a) \neq 0\).
5. En utilisant la compacité de \([0,1]\), construire une fonction \(h \in M\) strictement positive sur \([0,1]\). Conclure que les idéaux maximaux de \(C\) sont exactement les \(I_a\).

Exercice 6 : Trois quotients de R[X]

1. Montrer que \(\mathbb{R}[X]/(X^{2} + 1)\) est isomorphe à \(\mathbb{C}\).
2. Montrer que dans \(\mathbb{R}[X]/(X^{2})\), la classe \(x\) de \(X\) est non nulle et nilpotente. L’idéal \((X^{2})\) est-il premier ?
3. Montrer que \(\varphi : P \mapsto (P(1), P(-1))\) induit un isomorphisme \(\mathbb{R}[X]/(X^{2} – 1) \simeq \mathbb{R} \times \mathbb{R}\).
4. Parmi ces trois quotients, lesquels sont des corps ? lesquels sont intègres ?

Exercice 7 : Quotients de l’anneau Z[i]

1. Montrer que \(P \mapsto P(i)\) induit un isomorphisme \(\mathbb{Z}[X]/(X^{2} + 1) \simeq \mathbb{Z}[i]\).
2. On considère \(\psi : \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), \(m + ni \mapsto \overline{m + 2n}\), dont on admet que c’est un morphisme d’anneaux. Montrer que \(\ker \psi = (2 – i)\). En déduire que \(\mathbb{Z}[i]/(2 – i) \simeq \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) et que \(2 – i\) est irréductible.
3. Montrer que \(\mathbb{Z}[i]/(5)\) n’est pas intègre, en exhibant deux diviseurs de zéro.
4. Montrer que \(\mathbb{Z}[i]/(3) \simeq \mathbb{F}_3[X]/(X^{2} + 1)\), puis que c’est un corps à \(9\) éléments.

Exercice 8 : Idéal non principal de Z[X] et anneaux A[X] principaux

1. Montrer que l’idéal \((X)\) de \(\mathbb{Z}[X]\) est premier mais n’est pas maximal.
2. Montrer que \((2, X) = \{P \in \mathbb{Z}[X],\ P(0) \text{ pair}\}\) et que c’est un idéal maximal.
3. Montrer que \((2, X)\) n’est pas un idéal principal.
4. Soit \(A\) un anneau intègre. Montrer que \(A[X]\) est principal si et seulement si \(A\) est un corps.
5. En déduire que \(\mathbb{Z}[X]\) et \(\mathbb{R}[X, Y]\) ne sont pas principaux.

Exercice 9 : Idéaux premiers de Z, C[X] et R[X]

1. Rappeler les idéaux premiers de \(\mathbb{Z}\).
2. Soit \(K\) un corps. Montrer que les idéaux premiers de \(K[X]\) sont \(\{0\}\) et les \((P)\) avec \(P\) irréductible, et que les non nuls sont maximaux.
3. Décrire les idéaux premiers de \(\mathbb{C}[X]\), puis ceux de \(\mathbb{R}[X]\).
4. L’idéal \((X^{2} + X + 1)\) est-il maximal dans \(\mathbb{R}[X]\) ? dans \(\mathbb{C}[X]\) ? L’idéal \((X^{2} – 2)\) est-il maximal dans \(\mathbb{Q}[X]\) ? dans \(\mathbb{R}[X]\) ?

Exercice 10 : Corps des fractions d’anneaux quadratiques

1. Montrer que \(\mathbb{Q}(i) = \{a + ib,\ a, b \in \mathbb{Q}\}\) est un sous-corps de \(\mathbb{C}\). Calculer l’inverse de \(3 + 4i\).
2. Montrer que tout élément de \(\mathbb{Q}(i)\) est un quotient de deux éléments de \(\mathbb{Z}[i]\). En déduire que \(\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[i]) \simeq \mathbb{Q}(i)\).
3. On pose \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2},\ a, b \in \mathbb{Z}\}\). Montrer de même que \(\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]) \simeq \mathbb{Q}(\sqrt{2})\).
4. Calculer l’inverse de \(1 + \sqrt{2}\) et celui de \(3 + \sqrt{2}\) dans \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\). Lequel est inversible dans \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) ?

Exercice 11 : Un anneau quadratique euclidien

On note \(A = \mathbb{Z}[i\sqrt{2}] = \{a + ib\sqrt{2},\ a, b \in \mathbb{Z}\}\) et \(N(z) = |z|^{2}\), de sorte que \(N(a + ib\sqrt{2}) = a^{2} + 2b^{2}\). La figure montre le réseau des points de \(A\) : ses mailles sont des rectangles de côtés \(1\) et \(\sqrt{2}\).

1. Montrer que \(A\) est un sous-anneau de \(\mathbb{C}\), que \(N\) est multiplicative et que \(A^{\times } = \{-1, 1\}\).
2. Montrer que pour tout \(z \in \mathbb{C}\) de la forme \(x + iy\sqrt{2}\) avec \(x, y\) réels, il existe \(q \in A\) tel que \(|z – q|^{2} \leq\, \frac{3}{4}\).
3. En déduire que \(A\) est euclidien pour \(N\), donc principal.
4. Effectuer la division euclidienne de \(5 + i\sqrt{2}\) par \(1 + i\sqrt{2}\). Que peut-on dire du PGCD de ces deux éléments ?
5. Décomposer \(3\) et \(11\) en produit d’irréductibles de \(A\).

Exercice 12 : Un anneau quadratique non factoriel

On note \(B = \mathbb{Z}[i\sqrt{5}] = \{a + ib\sqrt{5},\ a, b \in \mathbb{Z}\}\) et \(N(a + ib\sqrt{5}) = a^{2} + 5b^{2}\), qui est multiplicative.

1. Montrer que \(B^{\times } = \{-1, 1\}\) et qu’aucun élément de \(B\) n’a pour norme \(2\) ou \(3\).
2. Montrer que \(2\), \(3\), \(1 + i\sqrt{5}\) et \(1 – i\sqrt{5}\) sont irréductibles et deux à deux non associés.
3. En déduire que \(B\) n’est pas factoriel.
4. Montrer que \(2\) est irréductible mais n’est pas premier dans \(B\).
5. Montrer que l’idéal \(I = (2, 1 + i\sqrt{5})\) n’est pas principal. On pourra établir que tout élément \(a + ib\sqrt{5}\) de \(I\) vérifie \(a + b\) pair.

Exercice 13 : Anneaux intègres finis

1. Montrer qu’un anneau intègre fini est un corps.
2. En déduire que dans un anneau fini, tout idéal premier est maximal.
3. Retrouver que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.
4. On pose \(F = \mathbb{F}_2[X]/(X^{2} + X + 1)\) et \(x\) la classe de \(X\). Écrire la table de multiplication de \(F = \{0, 1, x, x + 1\}\) et vérifier que \(F\) est un corps.

Exercice 14 : Polynômes irréductibles sur le corps à deux éléments

On travaille dans \(\mathbb{F}_2[X]\), où \(\mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).

1. Déterminer les polynômes irréductibles de degré \(1\) et \(2\).
2. Déterminer les polynômes irréductibles unitaires de degré \(3\).
3. Montrer que \(X^{4} + X + 1\) est irréductible.
4. On pose \(K = \mathbb{F}_2[X]/(X^{3} + X + 1)\) et \(\alpha\) la classe de \(X\). Justifier que \(K\) est un corps à \(8\) éléments. Calculer \(\alpha^{-1}\), puis les puissances \(\alpha^{k}\) pour \(3 \leq\, k \leq\, 7\). Que peut-on dire du groupe \(K^{\times }\) ?

Exercice 15 : Critère d’Eisenstein

1. Montrer que \(X^{5} – 6X^{3} + 12X + 3\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).
2. Montrer que \(X^{n} – 2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\) pour tout \(n \geq\, 1\). En déduire que \(\sqrt[n]{2}\) est irrationnel pour \(n \geq\, 2\).
3. Montrer que \(P\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\) si et seulement si \(P(X + 1)\) l’est. En déduire que \(X^{4} + 1\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).
4. Soit \(p\) premier. Montrer que \(\Phi_p = X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X + 1\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).

Exercice 16 : Irréductibilité par réduction modulo p

1. Soit \(P \in \mathbb{Z}[X]\) de degré \(n \geq\, 1\) et \(p\) un premier qui ne divise pas le coefficient dominant de \(P\). Montrer que si la réduction \(\overline{P} \in \mathbb{F}_p[X]\) est irréductible, alors \(P\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).
2. Montrer que \(X^{3} + 4X^{2} + 3X + 5\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). Retrouver ce résultat en cherchant ses racines rationnelles.
3. Montrer que \(X^{4} + 5X + 7\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\) (on pourra utiliser l’exercice 14).
4. Montrer que la réciproque de la question 1 est fausse : factoriser \(X^{4} + 1\) dans \(\mathbb{F}_2[X]\) et dans \(\mathbb{F}_3[X]\), alors qu’il est irréductible sur \(\mathbb{Q}\).

Exercice 17 : Contenu et lemme de Gauss

1. Calculer le contenu de \(P = 6X^{3} + 9X^{2} – 15\) et de \(Q = 10X^{2} – 4\), puis celui de \(PQ\). Vérifier la relation \(c(PQ) = c(P)\,c(Q)\).
2. Démontrer le lemme de Gauss dans \(\mathbb{Z}[X]\) : le produit de deux polynômes primitifs est primitif.
3. Soit \(P \in \mathbb{Z}[X]\) unitaire. On suppose \(P = QR\) avec \(Q, R \in \mathbb{Q}[X]\) unitaires. Montrer que \(Q, R \in \mathbb{Z}[X]\).
4. En déduire qu’une racine rationnelle d’un polynôme unitaire à coefficients entiers est un entier. Application : \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt[3]{5}\) sont irrationnels.
5. Le polynôme \(2X + 2\) est-il irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\) ? dans \(\mathbb{Z}[X]\) ? Décomposer \(6X^{2} + 12X + 6\) en produit d’irréductibles de \(\mathbb{Z}[X]\).

Exercice 18 : Division euclidienne et Bézout dans Z[i]

On pose \(a = 11 + 3i\) et \(b = 1 + 8i\).

1. Calculer \(N(a)\) et \(N(b)\).
2. Appliquer l’algorithme d’Euclide dans \(\mathbb{Z}[i]\) à \(a\) et \(b\). En déduire un PGCD \(d\) de \(a\) et \(b\).
3. Trouver \(u, v \in \mathbb{Z}[i]\) tels que \(au + bv = d\), et en déduire l’idéal \((a, b)\).
4. Décomposer \(a\) et \(b\) en produit d’irréductibles et retrouver le résultat.

Exercice 19 : Factorisation en irréductibles dans Z[i]

1. Montrer que si \(N(z)\) est un nombre premier, alors \(z\) est irréductible dans \(\mathbb{Z}[i]\).
2. Décomposer \(2\), \(5\), \(13\) et \(65\) en produit d’irréductibles de \(\mathbb{Z}[i]\).
3. Montrer qu’un nombre premier \(p \equiv 3 \ [4]\) est irréductible dans \(\mathbb{Z}[i]\).
4. Décomposer \(7 + i\) en produit d’irréductibles.
5. Déterminer le nombre de couples \((x, y) \in \mathbb{Z}^{2}\) tels que \(x^{2} + y^{2} = 65\).

Exercice 20 : Théorème des deux carrés

Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p \equiv 1 \ [4]\).

1. Montrer le théorème de Wilson : \((p-1)! \equiv -1 \ [p]\).
2. On pose \(x = (\frac{p-1}{2})!\). Montrer que \(x^{2} \equiv -1 \ [p]\).
3. Montrer que \(p\) n’est pas premier dans \(\mathbb{Z}[i]\), puis qu’il existe \(a, b \in \mathbb{Z}\) tels que \(p = a^{2} + b^{2}\).
4. Cas \(p = 13\) : calculer \(x\) modulo \(13\), puis un PGCD de \(13\) et \(x + i\) par l’algorithme d’Euclide. En déduire une écriture \(13 = a^{2} + b^{2}\).
5. Cas \(p = 29\) : sachant que \(12^{2} \equiv -1 \ [29]\), écrire \(29\) comme somme de deux carrés par la même méthode.

Exercice 21 : Problème : une équation diophantienne dans Z[i]

On cherche les couples \((x, y) \in \mathbb{Z}^{2}\) tels que \(x^{2} + 1 = y^{3}\).

1. Montrer que tout inversible de \(\mathbb{Z}[i]\) est un cube dans \(\mathbb{Z}[i]\).
2. Soit \((x, y)\) une solution. Montrer que \(x\) est pair et \(y\) impair.
3. Montrer que \(x + i\) et \(x – i\) sont premiers entre eux dans \(\mathbb{Z}[i]\).
4. Soit \(R\) un anneau factoriel et \(u, v, w \in R\) non nuls avec \(uv = w^{3}\), \(u\) et \(v\) premiers entre eux. Montrer que \(u\) est le produit d’un inversible et d’un cube.
5. En déduire qu’il existe \(a, b \in \mathbb{Z}\) tels que \(x + i = (a + ib)^{3}\), puis résoudre l’équation.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : anneaux et idéaux, cours de maths en L3
• À maîtriser avant : Groupes : quotients et actions de groupes
• Chapitre précédent : Groupes : quotients et actions de groupes
• Chapitre suivant : Corps, extensions et corps finis
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3