Contrôle de maths L3 : partiel d’algèbre : groupes, anneaux et corps

Exercice 1 : Questions de cours (4 points)

Calculatrice interdite.

Les anneaux sont commutatifs et unitaires.

1. Soit \(G\) un groupe fini agissant sur un ensemble \(X\), et \(x \in X\). Énoncez et démontrez la relation entre le cardinal de l’orbite de \(x\) et son stabilisateur. (1,5 point)
2. Démontrez qu’un anneau intègre fini est un corps. (1,5 point)
3. Soit \(K\) un corps fini. Montrez que sa caractéristique est un nombre premier \(p\), puis que son cardinal est une puissance de \(p\). (1 point)

Exercice 2 : Idéaux, nilpotents et inversibles de Z/45Z (5 points)

On note \(A = \mathbb{Z}/45\mathbb{Z}\). On admet que les idéaux de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) sont les idéaux \((\,\overline{d})\), où \(d\) décrit les diviseurs positifs de \(n\).

1. Montrez que \(\,\overline{k}\) est inversible dans \(A\) si et seulement si \(\operatorname{pgcd}(k, 45) = 1\). (1 point)
2. Par l’algorithme d’Euclide, déterminez l’inverse de \(\,\overline{7}\) dans \(A\). (1 point)
3. Donnez la liste des idéaux de \(A\) et précisez les idéaux maximaux. Déterminez ensuite l’ensemble des éléments nilpotents de \(A\). (1,5 point)
4. Calculez le cardinal du groupe \(A^{*}\) des inversibles. Montrez que \(x^{12} = \,\overline{1}\) pour tout \(x \in A^{*}\), et déduisez-en que \(A^{*}\) n’est pas cyclique. Donnez enfin un élément d’ordre 12. (1,5 point)

Exercice 3 : Action de S4 sur les appariements (4 points)

Il y a trois façons de répartir les éléments de \(\{1, 2, 3, 4\}\) en deux paires. On note \(X = \{x_1, x_2, x_3\}\) l’ensemble de ces appariements, représentés ci-dessous.

Pour \(\sigma \in \mathfrak{S}_4\), on pose \(\sigma \cdot \{\{a, b\}, \{c, d\}\} = \{\{\sigma(a), \sigma(b)\}, \{\sigma(c), \sigma(d)\}\}\).

1. Vérifiez que cette formule définit une action de \(\mathfrak{S}_4\) sur \(X\). (0,5 point)
2. Déterminez l’orbite de \(x_1\). Déduisez-en l’ordre de son stabilisateur, puis donnez la liste de ses éléments. (1 point)
3. L’action définit un morphisme \(\rho : \mathfrak{S}_4 \to \mathfrak{S}(X)\). Montrez que son noyau est le groupe \(V_4 = \{\operatorname{id}, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}\). (1,5 point)
4. Déduisez-en que \(V_4\) est distingué dans \(\mathfrak{S}_4\) et que \(\mathfrak{S}_4 / V_4\) est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\). (1 point)

Exercice 4 : Problème : polynômes irréductibles sur F3 et corps à 9 éléments (7 points)

On admet que le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique.

Partie A : un corps à 9 éléments

1. Montrez que \(X^2 + 1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_3[X]\). On pose \(K = \mathbb{F}_3[X]/(X^2 + 1)\) et on note \(i\) la classe de \(X\). Justifiez que \(K\) est un corps à 9 éléments. (1 point)
2. L’élément \(i\) engendre-t-il \(K^{*}\) ? Montrez que \(1 + i\) est un générateur de \(K^{*}\) et dressez le tableau de ses puissances. (1,5 point)
3. Déterminez le polynôme minimal de \(1 + i\) sur \(\mathbb{F}_3\). Déduisez-en que \(K\) est isomorphe à \(\mathbb{F}_3[X]/(X^2 + X + 2)\). (1 point)

Partie B : dénombrement de polynômes irréductibles

4. Déterminez tous les polynômes unitaires irréductibles de degré 2 de \(\mathbb{F}_3[X]\). (1 point)
5. Soit \(Q\) un polynôme unitaire irréductible de degré \(d\) de \(\mathbb{F}_3[X]\). Montrez que \(Q\) divise \(X^9 – X\) si et seulement si \(d \in \{1, 2\}\). Déduisez-en que \(X^9 – X\) est le produit des polynômes unitaires irréductibles de degré 1 ou 2, et contrôlez les degrés. (1,5 point)
6. En adaptant la méthode à \(X^{27} – X\), déterminez le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré 3 de \(\mathbb{F}_3[X]\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : partiel d’algèbre : groupes, anneaux et corps

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Groupes et actions » en L3 et « Anneaux et idéaux » en L3 et « Corps et extensions » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés groupes et actions, anneaux et idéaux, corps et extensions.

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