Ce QCM vérifie la maîtrise des espaces de Hilbert en L3 : projection sur un convexe fermé, supplémentaire orthogonal, théorème de Riesz, bases hilbertiennes, égalité de Parseval, séries de Fourier et transformée de Fourier. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces de Hilbert et analyse de Fourier du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Espaces de Hilbert - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(C\) un convexe fermé non vide d’un espace de Hilbert réel \(H\), et \(x\in H\). Le projeté \(p\) de \(x\) sur \(C\) est caractérisé par \(p\in C\) et :
A\(\|p\|\leqslant\|y\|\) pour tout \(y\in C\)
B\(\langle x - p, y\rangle = 0\) pour tout \(y\in C\)
C\(\langle x - p, y - p\rangle\leqslant 0\) pour tout \(y\in C\)
D\(\langle x - p, y - p\rangle\geqslant 0\) pour tout \(y\in C\)
Question 2
Soit \(F\) un sous-espace dense de \(H\), distinct de \(H\). Que vaut \(F\oplus F^\perp\) ?
A\(F^\perp\), car \(F^\perp = H\)
B\(H\), car \(F^\perp\) est de dimension \(1\)
C\(F\), qui est différent de \(H\), car \(F^\perp = \{0\}\)
D\(H\), comme pour tout sous-espace
Question 3
Que dit le théorème de représentation de Riesz dans un espace de Hilbert \(H\) ?
AToute forme linéaire continue s’écrit \(\langle\cdot, a\rangle\), mais \(a\) n’est pas unique
BToute forme linéaire \(\varphi\), continue ou non, s’écrit \(\varphi = \langle\cdot, a\rangle\) pour un unique \(a\in H\)
CToute forme linéaire continue s’écrit \(\langle\cdot, a\rangle\) avec \(\|\varphi\| = \|a\|^2\)
DToute forme linéaire continue \(\varphi\) s’écrit \(\varphi = \langle\cdot, a\rangle\) pour un unique \(a\in H\), avec \(\|\varphi\| = \|a\|\)
Question 4
En appliquant Parseval à \(f(x) = x\) sur \(]-\pi,\pi[\), dont les coefficients de Fourier sont \(b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\) et \(a_n = 0\), on obtient \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^2} =\)
A\(\frac{\pi^2}{3}\)
B\(\frac{\pi^2}{12}\)
C\(\frac{\pi^2}{8}\)
D\(\frac{\pi^2}{6}\)
Question 5
Pour une famille orthonormale \((e_n)\) d’un espace de Hilbert et \(x\in H\), l’inégalité de Bessel affirme :
Une famille orthonormale \((e_n)\) d’un espace de Hilbert \(H\) est une base hilbertienne si et seulement si :
A\(\mathrm{Vect}(e_n)\) est dense dans \(H\)
B\(\mathrm{Vect}(e_n) = H\)
C\((e_n)\) est libre
D\((e_n)\) est dénombrable
Question 7
Dans \(L^2(0,1)\), quel est le projeté orthogonal de \(x\mapsto x^2\) sur le sous-espace des fonctions affines ?
A\(\frac13\)
B\(x - \frac16\)
C\(x - \frac13\)
D\(x + \frac16\)
Question 8
Quel est l’énoncé du théorème de Fejér pour \(f\) continue et \(2\pi\)-périodique ?
ALes moyennes de Cesàro des sommes partielles de Fourier convergent uniformément vers \(f\)
BLes moyennes de Cesàro convergent vers \(f\) seulement si \(f\) est de classe \(C^1\)
CLes sommes partielles de Fourier convergent simplement vers \(f\) en tout point
DLes sommes partielles de Fourier convergent uniformément vers \(f\)
Question 9
Avec la convention \(\hat f(\xi) = \int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi}\,dx\), que vaut la transformée de Fourier de \(f = \mathbf{1}_{[-1,1]}\) pour \(\xi\neq 0\) ?
A\(\frac{2\cos\xi}{\xi}\)
B\(\frac{2\sin\xi}{\xi}\)
C\(2\sin\xi\)
D\(\frac{\sin\xi}{\xi}\)
Question 10
Pour \(f\in L^1(\mathbb{R})\), que peut-on affirmer en général de sa transformée de Fourier \(\hat f\) ?
AElle est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\)
BElle est intégrable sur \(\mathbb{R}\)
CElle est à support compact
DElle est continue, bornée et tend vers \(0\) à l’infini
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de espaces de Hilbert en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le théorème de projection sur un convexe fermé et sa caractérisation angulaire ;
le supplémentaire orthogonal d’un sous-espace fermé ;
le théorème de représentation de Riesz ;
l’inégalité de Bessel, les bases hilbertiennes et l’égalité de Parseval ;
les séries de Fourier dans \(L^2\) et le théorème de Fejér ;
la transformée de Fourier d’une fonction de \(L^1\).
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : confondre base hilbertienne et base algébrique. Une base hilbertienne engendre un sous-espace seulement dense : les \(e^{inx}\) forment une base hilbertienne de \(L^2(0,2\pi)\), mais une fonction de \(L^2\) n’est presque jamais une combinaison linéaire finie de ces exponentielles.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour calculer une projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, écrivez les équations normales \(\langle x – p, e_i\rangle = 0\) pour chaque vecteur d’une base du sous-espace ; si la base est orthonormale, \(p = \sum\langle x, e_i\rangle e_i\) directement. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le théorème de projection repose sur une suite minimisante, qui est de Cauchy par l’identité du parallélogramme ; sans complétude, elle peut ne pas converger. Dans un préhilbertien non complet, même un sous-espace fermé peut ne pas avoir de supplémentaire orthogonal.
La série de Fourier d’une fonction continue converge-t-elle vers elle ?
En norme \(L^2\), toujours. Uniformément, et même simplement, pas toujours (il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en un point). Ce sont les moyennes de Cesàro qui convergent uniformément : c’est le théorème de Fejér.
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