Contrôle de maths L3 : groupes quotients et actions de groupes

Exercice 1 : Question de cours : premier théorème d’isomorphisme (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(G\) et \(G^{\prime}\) sont deux groupes notés multiplicativement, et \(f : G \to G^{\prime}\) est un morphisme de groupes.

1. Rappelez la définition d’un sous-groupe distingué de \(G\). Montrez ensuite que \(\operatorname{Ker} f\) est un sous-groupe distingué de \(G\). (1 point)
2. Énoncez le premier théorème d’isomorphisme, puis démontrez-le. Vous justifierez avec soin que l’application construite est bien définie. (2 points)

Exercice 2 : Sous-groupes distingués de S3 et du groupe diédral D4 (5 points)

On note \(\mathfrak{S}_3\) le groupe symétrique de \(\{1, 2, 3\}\) et \(\mathfrak{A}_3\) son groupe alterné.

1. Donnez la liste des sous-groupes de \(\mathfrak{S}_3\). Déterminez ensuite ceux qui sont distingués. (1,5 point)
2. À l’aide de la signature, montrez que \(\mathfrak{S}_3 / \mathfrak{A}_3\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). (1 point)

On considère maintenant un carré de centre \(O\), de sommets numérotés 1, 2, 3, 4 dans le sens direct. Le groupe \(D_4\) de ses isométries est engendré par la rotation \(r\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\) et par la symétrie \(s\) d’axe la diagonale passant par les sommets 1 et 3. On admet que \(D_4 = \{r^k, \; s\,r^k \;:\; 0 \leq\, k \leq\, 3\}\) est d’ordre 8, avec \(r^4 = s^2 = e\) et \(s\,r\,s = r^{-1}\).

3. Déterminez le centre \(Z(D_4)\). (1 point)
4. On pose \(H = \{e, r^2, s, s\,r^2\}\). Montrez que \(H\) est un sous-groupe distingué de \(D_4\), mais que \(K = \{e, s\}\) ne l’est pas. Montrez enfin que le groupe quotient \(D_4 / Z(D_4)\) est isomorphe à \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\). (1,5 point)

Exercice 3 : Action par conjugaison et formule des classes (4 points)

Soit \(G\) un groupe fini. Pour \(g, x \in G\), on pose \(g \cdot x = g\,x\,g^{-1}\).

1. Vérifiez que cette formule définit une action de \(G\) sur lui-même. Décrivez ses orbites et le stabilisateur d’un élément \(x\). Établissez ensuite la formule des classes, qui relie \(|G|\), \(|Z(G)|\) et les indices des centralisateurs. (1,5 point)
2. Soit \(p\) un nombre premier et \(G\) un groupe d’ordre \(p^n\), avec \(n \geq\, 1\). Montrez que le centre \(Z(G)\) n’est pas réduit à \(\{e\}\). (1,5 point)
3. Montrez que si \(G / Z(G)\) est cyclique, alors \(G\) est abélien. Déduisez-en que tout groupe d’ordre \(p^2\) est abélien. (1 point)

Exercice 4 : Dénombrement de colliers par les orbites (4 points)

Soit \(G\) un groupe fini agissant sur un ensemble fini \(X\). Pour \(g \in G\), on note \(\operatorname{Fix}(g) = \{x \in X \;:\; g \cdot x = x\}\).

1. Démontrez la formule de Burnside : le nombre d’orbites est égal à \(\dfrac{1}{|G|} \displaystyle\sum_{g \in G} |\operatorname{Fix}(g)|\). Vous pourrez compter de deux façons l’ensemble des couples \((g, x)\) tels que \(g \cdot x = x\). (1,5 point)
2. Un collier est formé de 4 perles placées aux sommets du carré de l’exercice 2. Chaque perle est rouge, verte ou bleue. Deux colliers sont considérés comme identiques lorsqu’on passe de l’un à l’autre par une isométrie de \(D_4\) (rotation ou retournement). Combien de colliers différents peut-on former ? Présentez les points fixes dans un tableau. (2,5 points)

Exercice 5 : Problème : les groupes d’ordre 15 (4 points)

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(15\).

1. Énoncez les théorèmes de Sylow : existence, conjugaison et conditions sur le nombre \(n_p\) de \(p\)-sous-groupes de Sylow. (1 point)
2. Montrez que \(G\) possède un unique sous-groupe \(P\) d’ordre \(3\) et un unique sous-groupe \(Q\) d’ordre \(5\). Justifiez qu’ils sont distingués. (1 point)
3. Montrez que \(P \cap Q = \{e\}\), puis que tout élément de \(P\) commute avec tout élément de \(Q\). On pourra étudier le commutateur \(x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\). (1 point)
4. Concluez : \(G\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : groupes quotients et actions de groupes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Groupes et actions » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés groupes et actions.

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