Ce que vous trouverez dans ce livre
- Trois partiels de trois heures : topologie, algèbre, intégration et probabilités
- Toujours sur 20 points, avec la valeur de chaque question entre parenthèses
- Corrigés rédigés : tableau des points, raisonnement complet, notation détaillée
Le livre sépare nettement deux temps : d'abord les sujets, ensuite les corrections. En tête de chaque devoir, un cadre rappelle le chapitre, le temps accordé et les compétences évaluées (raisonner, calculer, communiquer…), avant une ligne Nom, Date, Note. Les thèmes balaient l'année entière : équation intégrale de Fredholm, groupes d'ordre 15, duplication du cube et trisection, folium de Descartes, pendule amorti, comptage de zéros par Rouché.
Côté corrections, un premier tableau indique combien vaut chaque exercice. Suit la solution complète, puis un barème qui dit où vont les demi-points. Des encadrés « Erreur fréquente » signalent ce qui fait perdre gros, comme une domination cherchée sur un intervalle trop large. Le devoir 25, partiel final d'intégration et de probabilités, se conclut par la méthode de Monte-Carlo et un intervalle de confiance.
Pour qui ?
Pour l'étudiant de troisième année de licence qui veut se mettre en situation d'épreuve, connaître sa note honnête et repérer sans hésiter la leçon à retravailler avant les partiels.
Les 25 devoirs, dans l'ordre de l'année
Chaque sujet a sa correction détaillée et son barème dans la seconde partie du livre.
| Devoir | Chapitre | Durée | Exercices |
|---|---|---|---|
| 1Espaces métriques, ouverts, fermés, continuité | Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité | 1 h 30 | 4 ex. |
| 2Normes équivalentes et norme subordonnée | Espaces normés et applications linéaires continues | 2 h | 5 ex. |
| 3Compacité, théorème de Heine et connexité | Compacité et connexité | 2 h | 5 ex. |
| 4Complétude, espaces de Banach et point fixe | Complétude, espaces de Banach et point fixe | 2 h | 4 ex. |
| 5Partiel de topologie des espaces normés | Espaces normés et applications linéaires continues + Compacité et connexité + Complétude, espaces de Banach et point fixe | 3 h | 3 ex. |
| 6Tribus, mesures et fonctions mesurables | Tribus, mesures et fonctions mesurables | 1 h 30 | 5 ex. |
| 7Convergence monotone et lemme de Fatou | Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence | 1 h 30 | 4 ex. |
| 8Convergence dominée et intégrales à paramètre | Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence | 2 h | 5 ex. |
| 9Fubini-Tonelli et changement de variables | Mesure produit, Fubini et changement de variables | 2 h | 5 ex. |
| 10Inégalités de Hölder et espaces Lp | Espaces L^p | 2 h | 4 ex. |
| 11Groupes quotients et actions de groupes | Groupes : quotients et actions de groupes | 2 h | 5 ex. |
| 12Anneaux, idéaux et polynômes irréductibles | Anneaux, idéaux et arithmétique | 2 h | 5 ex. |
| 13Extensions de corps et corps finis | Corps, extensions et corps finis | 2 h | 5 ex. |
| 14Réduction de Jordan et décomposition de Dunford | Réduction de Jordan et décomposition de Dunford | 2 h | 5 ex. |
| 15Partiel d'algèbre : groupes, anneaux et corps | Groupes : quotients et actions de groupes + Anneaux, idéaux et arithmétique + Corps, extensions et corps finis | 3 h | 4 ex. |
| 16Différentielle de Fréchet et formules de Taylor | Calcul différentiel dans les espaces normés | 2 h | 5 ex. |
| 17Inversion locale et fonctions implicites | Inversion locale, fonctions implicites et extrema liés | 2 h | 5 ex. |
| 18Extrema libres et multiplicateurs de Lagrange | Inversion locale, fonctions implicites et extrema liés | 2 h | 4 ex. |
| 19Cauchy-Lipschitz, Gronwall et portrait de phase | Équations différentielles et théorème de Cauchy-Lipschitz | 2 h | 5 ex. |
| 20Fonctions holomorphes et formule de Cauchy | Fonctions holomorphes et formule de Cauchy | 2 h | 5 ex. |
| 21Résidus et calcul d'intégrales réelles | Singularités et théorème des résidus | 3 h | 5 ex. |
| 22Espaces de Hilbert, projection et Parseval | Espaces de Hilbert et analyse de Fourier | 3 h | 5 ex. |
| 23Loi d'un vecteur aléatoire et indépendance | Espaces probabilisés, variables aléatoires et espérance | 2 h | 5 ex. |
| 24Modes de convergence, Borel-Cantelli et TCL | Convergences, grands nombres et central limite | 2 h | 5 ex. |
| 25Partiel final : intégration et probabilités | Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence + Espaces probabilisés, variables aléatoires et espérance + Convergences, grands nombres et central limite | 3 h | 5 ex. |
Feuilleter deux pages
Deux pages du livre, telles qu'elles s'impriment. Cliquez sur une page pour l'agrandir.
Un devoir, quatre étapes
Composer
Montre posée sur la table, traitez le sujet en entier dans la durée prévue, sans calculatrice ni notes.
Se noter
Rendez-vous à la page de correction indiquée sous l'énoncé et attribuez-vous chaque point selon le barème, sans indulgence.
Comprendre
Lisez les encadrés Erreur fréquente : ils expliquent souvent pourquoi une preuve presque juste perd des points.
Cibler
Chaque question manquée désigne un chapitre à revoir. Reprenez-le, puis tentez l'un des trois partiels de synthèse.
Questions des étudiants
Quels chapitres de L3 ces 25 devoirs couvrent-ils ?
Les 20 chapitres du cours de L3 Mathovore, de la topologie métrique jusqu'au théorème de Lévy et au TCL. Les devoirs 5, 15 et 25 sont des partiels qui mêlent plusieurs chapitres et obligent à faire des liens.
Où se trouvent les corrections dans le livre ?
Toutes dans la deuxième moitié, rangées par numéro de devoir, afin que la solution reste hors de vue pendant l'épreuve. Chaque énoncé porte le numéro de page de sa correction.
Puis-je utiliser ces devoirs pour préparer un partiel réel ?
C'est leur raison d'être. Comptez entre 90 minutes et 3 h selon le devoir, calculatrice toujours rangée ; tous enchaînent question de cours, exercices et problème.
Pourquoi chaque devoir de L3 commence-t-il par une question de cours ?
Parce qu'en licence, savoir redémontrer un théorème rapporte des points sûrs : lemme de Fatou, formule de Cauchy, lemme de Gronwall… Ces questions valent de 3 à 5 points selon le sujet.
Quand pourrai-je ouvrir le fichier ?
Dès que PayPal a validé le règlement : l'espace de téléchargement s'affiche aussitôt, et un courriel vous en donne l'adresse pour y revenir plus tard.
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