Contrôle de maths L3 : normes équivalentes et norme subordonnée

Exercice 1 : Question de cours, applications linéaires continues (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 2 heures.

Dans tout le sujet, les espaces vectoriels sont réels. Soit \((E, \|\cdot\|_E)\) et \((F, \|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés et \(u : E \to F\) une application linéaire.

1. Démontrez l’équivalence des trois propriétés suivantes : (i) \(u\) est continue sur \(E\) ; (ii) \(u\) est continue en \(0\) ; (iii) il existe \(C \geq\, 0\) tel que \(\|u(x)\|_F \leq\, C\|x\|_E\) pour tout \(x \in E\). (2,5 points)
2. Lorsque \(u\) est continue, on pose \(|||u||| = \sup\{\dfrac{\|u(x)\|_F}{\|x\|_E} : x \neq 0\}\). Montrez que \(|||u||| = \sup\{\|u(x)\|_F : \|x\|_E = 1\}\) (si \(E \neq \{0\}\)), puis que \(|||v \circ u||| \leq\, |||v|||\,|||u|||\) pour toute application linéaire continue \(v\) de \(F\) dans un troisième espace normé \(G\). (1,5 point)

Exercice 2 : Trois normes sur C([0,1]) (4 points)

On note \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) et, pour \(f \in E\) :
\[N_1(f) = \int_0^1 |f(t)|\,\mathrm{d}t, \qquad N_2(f) = (\int_0^1 f(t)^2\,\mathrm{d}t)^{1/2}, \qquad N_\infty(f) = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|.\]
On admet que ce sont trois normes sur \(E\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(f_n(t) = t^n\).

1. Montrez que \(N_1(f) \leq\, N_2(f) \leq\, N_\infty(f)\) pour tout \(f \in E\). (1 point)
2. Calculez \(N_1(f_n)\), \(N_2(f_n)\) et \(N_\infty(f_n)\). (1 point)
3. Déduisez-en que deux quelconques de ces trois normes ne sont pas équivalentes. (1 point)
4. Montrez que la suite \((f_n)\) converge vers la fonction nulle pour \(N_1\) et pour \(N_2\), mais qu’elle ne converge vers aucune fonction de \(E\) pour \(N_\infty\). (1 point)

Exercice 3 : Calculs de normes subordonnées (4 points)

Partie A. On munit \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) de la norme \(N_\infty\). Pour \(g \in E\) fixée, on définit la forme linéaire \(\varphi_g : f \mapsto \displaystyle\int_0^1 f(t)g(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Montrez que \(\varphi_g\) est continue et que \(|||\varphi_g||| \leq\, N_1(g)\). En utilisant, pour \(\varepsilon > 0\), la fonction \(f_\varepsilon = \dfrac{g}{|g| + \varepsilon}\), montrez que \(|||\varphi_g||| = N_1(g)\). (1,5 point)
2. Dans le cas \(g(t) = t – \frac{1}{2}\), calculez \(|||\varphi_g|||\) et montrez qu’il n’existe aucune fonction \(f \in E\) telle que \(N_\infty(f) \leq\, 1\) et \(\varphi_g(f) = |||\varphi_g|||\). (1 point)

Partie B. On note \(\ell^1\) l’espace des suites réelles \(x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) telles que \(\|x\|_1 = \sum_{n=0}^{+\infty} |x_n| < +\infty\). Soit \(a = (a_n)\) une suite réelle bornée ; on note \(\|a\|_\infty = \sup_n |a_n|\).

3. Montrez que \(M_a : x \mapsto (a_n x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est un endomorphisme continu de \((\ell^1, \|\cdot\|_1)\) et que \(|||M_a||| = \|a\|_\infty\). (1,5 point)

Exercice 4 : Formes linéaires sur les polynômes (3 points)

Pour \(P = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k \in \mathbb{R}[X]\), on pose \(\|P\|_1 = \sum_{k=0}^{d} |a_k|\), qui définit une norme sur \(\mathbb{R}[X]\).

1. Montrez que la forme linéaire \(\varphi : P \mapsto P(1)\) est continue sur \((\mathbb{R}[X], \|\cdot\|_1)\) et calculez sa norme subordonnée. (1 point)
2. Montrez que la forme linéaire \(\psi : P \mapsto P^{\prime}(1)\) n’est pas continue sur \((\mathbb{R}[X], \|\cdot\|_1)\). (1 point)
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Justifiez que la restriction de \(\psi\) à \(\mathbb{R}_n[X]\) est continue quelle que soit la norme choisie sur \(\mathbb{R}_n[X]\), et calculez sa norme subordonnée lorsque \(\mathbb{R}_n[X]\) est muni de \(\|\cdot\|_1\). (1 point)

Exercice 5 : Problème, l’opérateur de Volterra (5 points)

On note toujours \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) et on définit, pour \(f \in E\), la fonction \(V(f)\) par \(V(f)(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\) pour \(x \in [0,1]\).

1. Justifiez que \(V\) est un endomorphisme de \(E\), continu pour \(N_\infty\), et que sa norme subordonnée pour \(N_\infty\) vaut \(1\). (1 point)
2. Montrez par récurrence que, pour tout \(n \geq\, 1\), tout \(f \in E\) et tout \(x \in [0,1]\), \(|V^n(f)(x)| \leq\, \dfrac{x^n}{n!}N_\infty(f)\). Déduisez-en la norme subordonnée de \(V^n\) pour \(N_\infty\). (1,5 point)
3. On munit maintenant \(E\) de la norme \(N_1\). À l’aide d’une intégration par parties, montrez que \(N_1(V(f)) \leq\, \displaystyle\int_0^1 (1 – t)|f(t)|\,\mathrm{d}t\), puis que \(V\) est continue pour \(N_1\) avec une norme subordonnée égale à \(1\). On pourra utiliser les fonctions \(h_k(t) = \max(0,\ 2k(1 – kt))\) pour \(k \geq\, 1\). (1,5 point)
4. On note \(C^1([0,1])\) le sous-espace des fonctions de classe \(C^1\), muni de \(N_\infty\). Montrez que l’application de dérivation \(D : f \mapsto f^{\prime}\), de \(C^1([0,1])\) dans \((E, N_\infty)\), n’est pas continue. (1 point)

Réviser avant le contrôle : normes équivalentes et norme subordonnée

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces vectoriels normés » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces vectoriels normés.

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