Exercice 1 :
1. D’après le tableau, \(f(2)=1\) et \(f(1)=-1\) : les propositions 1 et 3 sont fausses. En revanche \(f(3)=2\), donc 2 est l’image de 3 par \(f\) (proposition 2).
2. On cherche d’abord les nombres \(x\) tels que \(f(x)=2\). Dans le tableau, \(f(-1)=2\) et \(f(3)=2\). Les antécédents de 2 par \(f\) sont donc \(-1\) et \(3\) (proposition 3).
3. \(g(-1)=(-1)^2-5=1-5=-4\). La réponse exacte est donc \(-4\) (proposition 1).
4. On résout \(h(x)=2\) : \(x+4=2\), soit \(x=2-4=-2\). L’antécédent de 2 par \(h\) est donc \(-2\) (proposition 3).
5. La courbe est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses : aucune image n’est nulle ou négative, donc les propositions 1 et 2 sont fausses. La droite horizontale d’ordonnée 1 coupe la courbe aux points d’abscisses \(-2\) et \(3\) : les antécédents de 1 par \(f\) sont \(-2\) et \(3\) (proposition 3).
Exercice 2 :
1. 350 et 644 sont tous les deux pairs : ils admettent 2 comme diviseur commun, en plus de 1. Ils ne sont donc pas premiers entre eux.
2. On applique ensuite l’algorithme d’Euclide :
\[644=1\times 350+294\]\[350=1\times 294+56\]\[294=5\times 56+14\]\[56=4\times 14+0\]
Le PGCD est donc le dernier reste non nul : PGCD\((350\,;644)=14\).
3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : \(350: 14=25\) et \(644: 14=46\), donc
\[\frac{350}{644}=\frac{25\times 14}{46\times 14}=\frac{25}{46}.\]
La fraction irréductible est ainsi \(\dfrac{25}{46}\).
Exercice 3 :
1. On développe chaque terme, en utilisant l’identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) pour le second :
\[(2x+1)(2-5x)=4x-10x^2+2-5x=-10x^2-x+2\]\[(2-5x)^2=4-20x+25x^2\]
\[A=-10x^2-x+2+4-20x+25x^2\]
donc \(A=15x^2-21x+6\).
2. Ensuite, le facteur commun est \((2-5x)\) :
\[A=(2-5x)\big[(2x+1)+(2-5x)\big]=(2-5x)(3-3x)\]
soit \(A=(2-5x)(3-3x)=3(2-5x)(1-x)\).
3. Pour \(x=1\), avec la forme factorisée : \(A=(2-5)(3-3)=-3\times 0=0\). Donc \(A=0\).
Pour \(x=-2\) : \(A=\big(2-5\times (-2)\big)\big(3-3\times (-2)\big)=(2+10)(3+6)=12\times 9=108\). Donc \(A=108\).
Vérification avec la forme développée : \(15\times (-2)^2-21\times (-2)+6=60+42+6=108\).
Exercice 4 :
1. Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et \((MN)\,//\,(BC)\). D’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles à celles du triangle ABC :
\[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.\]
C’est la proposition 2.
2. Un agrandissement conserve les angles : les mesures des angles sont conservées (proposition 1).
3. a. On compare les côtés rangés dans l’ordre croissant : \(\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{6}{2}=3\), \(\dfrac{FG}{AC}=\dfrac{9}{3}=3\) et \(\dfrac{EG}{BC}=\dfrac{13{,}5}{4{,}5}=3\). Toutes les longueurs sont multipliées par 3 : EFG est un agrandissement de ABC de coefficient 3 (proposition 1).
b. Dans un agrandissement de coefficient \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). Ici \(3^2=9\) : l’aire de EFG est égale à neuf fois l’aire de ABC (proposition 3).
4. Le triangle ABC est rectangle en A, d’hypoténuse [BC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[BC^2=AB^2+AC^2\quad\text{donc}\quad AC^2=9^2-7{,}2^2=81-51{,}84=29{,}16\]
\[AC=\sqrt{29{,}16}=5{,}4.\]
La réponse est 5,4 (proposition 2). Attention : 29,16 est la valeur de \(AC^2\), pas celle de AC.
Exercice 5 :
1. Les points M, B, A sont alignés, ainsi que N, C, A, et B appartient à [AM] ; donc \(AM=AB+BM=6+1=7\) cm.
Dans le triangle AMN, B appartient à [AM], C appartient à [AN] et les droites (BC) et (MN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}=\frac{BC}{MN}\quad\text{soit}\quad\frac{6}{7}=\frac{8{,}4}{AN}=\frac{BC}{4{,}2}.\]
\[BC=\frac{6\times 4{,}2}{7}=\frac{25{,}2}{7}=3{,}6\qquad AN=\frac{7\times 8{,}4}{6}=\frac{58{,}8}{6}=9{,}8\]
Donc BC = 3,6 cm et AN = 9,8 cm.
2. Les points C, A, F sont alignés dans cet ordre, donc \(AF=CF-AC=11{,}2-8{,}4=2{,}8\) cm.
On calcule séparément les deux rapports :
\[\frac{AE}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\qquad\frac{AF}{AC}=\frac{2{,}8}{8{,}4}=\frac{1}{3}\]
Les rapports sont égaux, et les points B, A, E d’une part, C, A, F d’autre part, sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
Exercice 6 :
Partie 1
1. a) Tarif A : \(6\times \) nombre d’attractions. Tarif B : \(25+3\times \) nombre d’attractions. Tarif C : 65 € quel que soit le nombre d’attractions.
| Nombre d’attractions | 5 | 9 | 12 |
|---|---|---|---|
| Dépense totale avec le tarif A | 30 € | 54 € | 72 € |
| Dépense totale avec le tarif B | 40 € | 52 € | 61 € |
| Dépense totale avec le tarif C | 65 € | 65 € | 65 € |
Détail pour le tarif B : \(25+3\times 5=40\) ; \(25+3\times 9=52\) ; \(25+3\times 12=61\).
b) Pour 12 attractions, les dépenses sont 72 €, 61 € et 65 €. Le tarif le plus intéressant est le tarif B (61 €).
2. a) \(D_A=6x\).
b) \(D_B=3x+25\).
c) \(D_C=65\).
Partie 2
1. et 2. b) Le graphique ci-dessous montre les trois représentations sur l’intervalle \([0\,;17]\), avec les traits de lecture des questions 3.
2. a) \(f(x)=6x\) est une fonction linéaire (sa représentation est une droite passant par l’origine) ; \(g(x)=3x+25\) est une fonction affine (droite d’ordonnée à l’origine 25) ; \(h(x)=65\) est une fonction constante (droite parallèle à l’axe des abscisses).
b) Pour tracer : la droite de \(f\) passe par \((0\,;0)\) et \((10\,;60)\) ; celle de \(g\) par \((0\,;25)\) et \((10\,;55)\) ; celle de \(h\) est horizontale à la hauteur 65. Avec les unités imposées, 10 € correspondent à 2 cm, donc 65 € se placent à 13 cm de l’origine.
3. a) On trace la verticale d’abscisse 12. Elle coupe d’abord la droite de \(g\) à l’ordonnée 61, puis celle de \(h\) (65), puis celle de \(f\) (72). La droite de \(g\) est la plus basse : le tarif B est bien le plus intéressant pour 12 attractions.
b) La droite de \(h\) est au-dessous des deux autres à droite du point d’intersection des droites de \(g\) et de \(h\), dont l’abscisse se lit entre 13 et 14. Par le calcul : \(3x+25=65\) donne \(x=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}3\). Le nombre d’attractions étant entier, le tarif C est le plus avantageux à partir de 14 attractions.
c) On trace la droite horizontale d’ordonnée 55. Elle coupe la droite de \(f\) vers \(x\approx 9{,}2\) et celle de \(g\) en \(x=10\) ; elle ne coupe pas celle de \(h\), car le tarif C coûte 65 €, plus que 55 €. Avec le tarif A, Carine ferait au plus 9 attractions (\(6\times 9=54\) €) ; avec le tarif B, elle en fait 10 (\(25+3\times 10=55\) €). Elle doit donc choisir le tarif B et fera alors 10 attractions.
