Corrigé bac 2025 : ce que contient la correction
D’abord, précisons que ce corrigé bac 2025 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en Nouvelle-Calédonie (jour 1), avec une rédaction complète des réponses. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction exponentielle, le calcul intégral, la fonction logarithme népérien et le dénombrement. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. La boule est tirée au hasard parmi 4 boules dont une seule porte la lettre A, donc \(P(A) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\) et \(P(\overline{A}) = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).
Si la boule porte la lettre A, on tire dans l’urne A qui contient 3 billets de 50 € sur 5 : \(P_A(C) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\) et \(P_A(\overline{C}) = 0{,}4\). Si la boule porte la lettre B, on tire dans l’urne B qui contient 1 billet de 50 € sur 4 : \(P_{\overline{A}}(C) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\) et \(P_{\overline{A}}(\overline{C}) = 0{,}75\).
2. L’évènement cherché est l’intersection \(A \cap C\). On multiplie les probabilités le long du chemin de l’arbre :
\[P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0{,}25 \times 0{,}6 = 0{,}15.\]
La probabilité que le joueur obtienne une boule A et un billet de 50 € est \(0{,}15\).
3. Les évènements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(C) = P(A \cap C) + P(\overline{A} \cap C) = 0{,}15 + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(C) = 0{,}15 + 0{,}75 \times 0{,}25.\]
Comme \(0{,}75 \times 0{,}25 = 0{,}1875\), on obtient \(P(C) = 0{,}15 + 0{,}1875 = 0{,}3375\).
4. Obtenir un billet de 10 euros, c’est réaliser \(\overline{C}\). La question porte donc sur la probabilité conditionnelle \(P_{\overline{C}}(\overline{A})\).
D’une part \(P(\overline{C}) = 1 – P(C) = 1 – 0{,}3375 = 0{,}6625\). D’autre part \(P(\overline{A} \cap \overline{C}) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(\overline{C}) = 0{,}75 \times 0{,}75 = 0{,}5625\).
\[P_{\overline{C}}(\overline{A}) = \dfrac{P(\overline{A} \cap \overline{C})}{P(\overline{C})} = \dfrac{0{,}5625}{0{,}6625} = \dfrac{45}{53} \approx 0{,}849.\]
Exercice 1 du corrigé bac 2025 : questions 5 à 6
Sachant que le joueur a eu un billet de 10 euros, il y a environ 84,9 % de chances qu’il ait tiré une boule B. Comme \(0{,}849 \gt 0{,}8\), l’affirmation est vraie.
5. La variable \(X_1\) ne prend que deux valeurs : 50 (évènement \(C\)) et 10 (évènement \(\overline{C}\)). Sa loi est :
| \(x_i\) | 10 | 50 |
|---|---|---|
| \(P(X_1 = x_i)\) | \(0{,}6625\) | \(0{,}3375\) |
Espérance :
\[E(X_1) = 10 \times 0{,}6625 + 50 \times 0{,}3375 = 6{,}625 + 16{,}875 = 23{,}5.\]
Variance, calculée comme moyenne des carrés des écarts à l’espérance :
\[V(X_1) = 0{,}6625 \times (10 – 23{,}5)^2 + 0{,}3375 \times (50 – 23{,}5)^2 = 0{,}6625 \times 182{,}25 + 0{,}3375 \times 702{,}25.\]
\[V(X_1) = 120{,}740625 + 237{,}009375 = 357{,}75.\]
On a bien \(E(X_1) = 23{,}50\) et \(V(X_1) = 357{,}75\). (On peut aussi utiliser \(V(X_1) = E(X_1^2) – E(X_1)^2 = 910 – 552{,}25 = 357{,}75\).)
6. a. La deuxième partie se déroule exactement dans les mêmes conditions que la première (boule et billet ont été remis), donc \(X_2\) suit la même loi que \(X_1\) et \(E(X_2) = 23{,}5\). Par linéarité de l’espérance :
\[E(Y) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 23{,}5 + 23{,}5 = 47.\]
On obtient bien \(E(Y) = 47\).
b. Comme la boule et le billet sont remis avant la deuxième partie, le résultat de la première partie n’a aucune influence sur la seconde : les variables \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes. Or la variance d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances, d’où \(V(Y) = V(X_1) + V(X_2)\), soit ici \(V(Y) = 2 \times 357{,}75 = 715{,}5\).
Exercice 1 du corrigé bac 2025 : question 7
7. Les cent parties se jouent dans les mêmes conditions avec remise : les variables \(X_1, \ldots, X_{100}\) sont indépendantes et suivent toutes la loi de \(X_1\). Donc :
\[E(Z) = 100 \times 23{,}5 = 2\,350 \quad \text{et} \quad V(Z) = 100 \times 357{,}75 = 35\,775.\]
L’intervalle \(]1\,950 ; 2\,750[\) est centré sur \(E(Z) = 2\,350\) avec un demi-écart de 400 : dire que \(Z\) appartient à cet intervalle, c’est dire que \(|Z – 2\,350| \lt 400\).
D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel \(t \gt 0\), \(P(|Z – E(Z)| \geq\, t) \leq\, \dfrac{V(Z)}{t^2}\). En passant à l’évènement contraire avec \(t = 400\) :
\[P(|Z – 2\,350| \lt 400) \geq\, 1 – \dfrac{35\,775}{400^2} = 1 – \dfrac{35\,775}{160\,000} = 0{,}77640625.\]
Comme \(0{,}7764 \geq\, 0{,}75\), la probabilité que \(Z\) appartienne à \(]1\,950 ; 2\,750[\) est supérieure ou égale à \(0{,}75\).
Exercice 2 :
1. On calcule les coordonnées de deux vecteurs issus de B :
\[\vec{BA}\begin{pmatrix} 4-5 \\ -4-(-3) \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \vec{BC}\begin{pmatrix} 6-5 \\ -2-(-3) \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]
Dans un repère orthonormé, leur produit scalaire vaut \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-1) \times 1 + (-1) \times 1 + 2 \times 1 = -1 – 1 + 2 = 0\).
Les vecteurs \(\vec{BA}\) et \(\vec{BC}\) sont orthogonaux (et non nuls), donc le triangle ABC est rectangle en B.
2. Le triangle ABC étant rectangle en B, les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent bien un plan. Il suffit de vérifier que leurs coordonnées satisfont l’équation \(x – y – 8 = 0\) :
- pour A : \(4 – (-4) – 8 = 0\) ;
- pour B : \(5 – (-3) – 8 = 0\) ;
- pour C : \(6 – (-2) – 8 = 0\).
L’équation \(x – y – 8 = 0\) est celle d’un plan (les coefficients de \(x\), \(y\), \(z\) ne sont pas tous nuls) qui contient les trois points non alignés A, B, C : c’est donc une équation cartésienne du plan (ABC).
3. a. Les coefficients de \(x\), \(y\) et \(z\) dans l’équation de (ABC) donnent un vecteur normal au plan : \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). La droite \(d\) étant orthogonale à (ABC), \(\vec{n}\) est un vecteur directeur de \(d\). Comme \(d\) passe par \(\text{D}(5 ; 1 ; 1)\), une représentation paramétrique de \(d\) est :
\[\{\begin{array}{l} x = 5 + t \\ y = 1 – t \\ z = 1 \end{array}. \qquad t \in \mathbb{R}.\]
b. Le projeté orthogonal H de D sur (ABC) est le point d’intersection de la droite \(d\) (perpendiculaire au plan passant par D) avec ce plan. On injecte la représentation paramétrique dans l’équation du plan :
\[(5 + t) – (1 – t) – 8 = 0 \iff 2t – 4 = 0 \iff t = 2.\]
Exercice 2 : question 4
Pour \(t = 2\) : \(x = 7\), \(y = -1\), \(z = 1\). Donc \(\text{H}(7 ; -1 ; 1)\).
c. Dans le repère orthonormé :
\[\text{DH} = \sqrt{(7-5)^2 + (-1-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.\]
On a bien \(\text{DH} = 2\sqrt{2}\).
4. a. On prend pour base le triangle ABC. Puisque (DH) est perpendiculaire au plan (ABC) avec H dans ce plan, la hauteur correspondante est DH.
Le triangle ABC est rectangle en B, donc son aire vaut \(\dfrac{\text{BA} \times \text{BC}}{2}\) avec :
\[\text{BA} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6} \qquad \text{BC} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.\]
\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{18}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.\]
\[V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \times 2\sqrt{2} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3 \times 2 \times 2}{2} = 2.\]
Le volume de la pyramide ABCD est égal à 2.
b. On calcule maintenant ce même volume en prenant BCD pour base. La hauteur associée est la distance \(\delta\) du point A au plan (BCD). Ainsi :
\[\dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{42}}{2} \times \delta = 2 \iff \dfrac{\sqrt{42}}{6}\,\delta = 2 \iff \delta = \dfrac{12}{\sqrt{42}}.\]
En rendant le dénominateur rationnel : \(\delta = \dfrac{12\sqrt{42}}{42} = \dfrac{2\sqrt{42}}{7}\).
La distance du point A au plan (BCD) vaut \(\dfrac{2\sqrt{42}}{7}\) (environ 1,85).
Exercice 3 :
Partie A
1. La fonction \(f_1\) est le produit de \(u(x) = x\) et \(v(x) = \text{e}^{1-x}\), avec \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = -\text{e}^{1-x}\). D’où :
\[f^{\prime}_1(x) = 1 \times \text{e}^{1-x} + x \times (-\text{e}^{1-x}) = (1 – x)\,\text{e}^{1-x}.\]
Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(f^{\prime}_1(x)\) a le signe de \(1 – x\). Pour \(x \in [0 ; 1[\), on a \(x \lt 1\), donc \(1 – x \gt 0\). Ainsi \(f^{\prime}_1(x) \gt 0\) pour tout \(x \in [0 ; 1[\).
2. La dérivée est strictement positive sur \([0 ; 1[\) (et s’annule seulement en 1), donc \(f_1\) est strictement croissante sur \([0 ; 1]\). On calcule les valeurs aux bornes : \(f_1(0) = 0 \times \text{e}^{1} = 0\) et \(f_1(1) = 1 \times \text{e}^{0} = 1\).
| \(x\) | 0 | 1 | |
|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}_1(x)\) | + | 0 | |
| variations de \(f_1\) | 0 | croissante ↗ | 1 |
3. Sur \([0 ; 1]\), la fonction \(f_1\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. De plus \(f_1(0) = 0 \lt 0{,}1\) et \(f_1(1) = 1 \gt 0{,}1\) : le réel \(0{,}1\) est compris entre \(f_1(0)\) et \(f_1(1)\).
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l’équation \(f_1(x) = 0{,}1\) admet une unique solution dans \([0 ; 1]\). (À la calculatrice, elle vaut environ \(0{,}038\).)
Partie B
1. a. Soit \(x \in [0 ; 1]\) et \(n \geq\, 1\). On part de \(0 \leq\, x \leq\, 1\) et on multiplie chaque membre par \(x^n\), qui est positif ou nul puisque \(x \geq\, 0\) ; le sens des inégalités est conservé :
\[0 \times x^n \leq\, x \times x^n \leq\, 1 \times x^n, \quad \text{c^{\prime}est-à-dire} \quad 0 \leq\, x^{n+1} \leq\, x^n.\]
b. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{1-x} \gt 0\). En multipliant l’encadrement précédent par ce nombre positif, on obtient pour tout \(x \in [0 ; 1]\) :
\[0 \leq\, x^{n+1}\text{e}^{1-x} \leq\, x^n\text{e}^{1-x}.\]
Les bornes d’intégration sont dans le bon ordre (\(0 \leq\, 1\)) ; par positivité et croissance de l’intégrale, on intègre de 0 à 1 :
\[0 \leq\, \int_0^1 x^{n+1}\text{e}^{1-x}\,\text{d}x \leq\, \int_0^1 x^n\text{e}^{1-x}\,\text{d}x, \quad \text{soit} \quad 0 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n.\]
c. D’après la question précédente, \(u_{n+1} \leq\, u_n\) pour tout \(n \geq\, 1\) : la suite \((u_n)\) est décroissante. Elle est aussi minorée par 0. Une suite décroissante et minorée converge (théorème de convergence monotone), donc la suite \((u_n)\) est convergente.
2. a. On part de \(u_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\text{e}^{1-x}\,\text{d}x\) et on pose :
- \(u(x) = x^{n+1}\), d’où \(u^{\prime}(x) = (n+1)x^n\) ;
- \(v^{\prime}(x) = \text{e}^{1-x}\), d’où \(v(x) = -\text{e}^{1-x}\).
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0 ; 1]\). La formule d’intégration par parties donne :
\[u_{n+1} = [-x^{n+1}\text{e}^{1-x}]_0^1 – \int_0^1 (n+1)x^n \times (-\text{e}^{1-x})\text{d}x = [-x^{n+1}\text{e}^{1-x}]_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^n\text{e}^{1-x}\,\text{d}x.\]
Exercice 3 du corrigé bac 2025, partie B : question 3
Le crochet vaut \((-1^{n+1}\text{e}^{0}) – (-0^{n+1}\text{e}^{1}) = -1 – 0 = -1\) (car \(n + 1 \geq\, 2\), donc \(0^{n+1} = 0\)). L’intégrale restante est \(u_n\). Donc, pour tout entier \(n \geq\, 1\) :
\[u_{n+1} = (n+1)u_n – 1.\]
b. On initialise \(u\) avec \(u_1 = \text{e} – 2\), qui s’écrit exp(1) - 2 en Python. À chaque passage dans la boucle, l’instruction u = (n+1)*u - 1 fait passer de \(u_n\) à \(u_{n+1}\). Pour atteindre \(u_8\), il faut faire 7 passages, avec \(n\) prenant les valeurs 1, 2, …, 7 : c’est range(1, 8). Enfin la fonction doit renvoyer u.
from math import exp
def suite():
u = exp(1) - 2
for n in range (1, 8):
u = (n + 1) * u - 1
return u
L’appel suite() renvoie environ \(0{,}1233\), valeur de \(\displaystyle\int_0^1 x^8\text{e}^{1-x}\,\text{d}x\).
3. a. Soit \(x \in [0 ; 1]\). Alors \(1 – x \leq\, 1\) et, la fonction exponentielle étant croissante, \(\text{e}^{1-x} \leq\, \text{e}^1 = \text{e}\). En multipliant par \(x^n \geq\, 0\) : \(x^n\text{e}^{1-x} \leq\, \text{e}\,x^n\).
Par croissance de l’intégrale (bornes \(0 \leq\, 1\)) :
\[u_n \leq\, \int_0^1 \text{e}\,x^n\,\text{d}x = \text{e}[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1 = \text{e} \times \dfrac{1}{n+1}.\]
On a bien \(u_n \leq\, \dfrac{\text{e}}{n+1}\) pour tout entier \(n \geq\, 1\).
b. D’après 1. b. et 3. a., pour tout \(n \geq\, 1\) : \(0 \leq\, u_n \leq\, \dfrac{\text{e}}{n+1}\). Or \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\text{e}}{n+1} = 0\) puisque le dénominateur tend vers \(+\infty\). D’après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).
Exercice 4 :
1. Affirmation 1 : vraie.
La somme \(\ln(x) – x^2\) donne la forme indéterminée « \(+\infty – \infty\) ». Pour \(x \gt 0\), on factorise par \(x^2\) : \(f(x) = x^2(\dfrac{\ln(x)}{x^2} – 1)\).
Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\) ; et comme \(\dfrac{\ln(x)}{x^2} = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{1}{x}\), on a aussi \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} = 0\). La parenthèse tend donc vers \(-1\), et \(x^2\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).
2. Affirmation 2 : vraie.
On a \(f^{\prime}(x) = -2\sin x – \cos x\). On calcule le membre de gauche de \((E)\) avec \(y = f\) :
\[-2f^{\prime}(x) + 3f(x) = 4\sin x + 2\cos x + 6\cos x – 3\sin x = \sin x + 8\cos x.\]
L’égalité est vérifiée pour tout réel \(x\) : \(f\) est bien solution de \((E)\).
3. Affirmation 3 : vraie.
On calcule \(u_1 = \ln(3 \times 25 + 1) + 8 = \ln(76) + 8 \approx 12{,}33\), donc \(u_1 \lt u_0\). On montre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} \lt u_n\).
- Initialisation : \(u_1 \lt u_0\), la propriété est vraie au rang 0.
- Hérédité : supposons \(u_{n+1} \lt u_n\) pour un certain \(n\). La fonction \(g\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\) car \(g^{\prime}(x) = \dfrac{3}{3x+1} \gt 0\). Les termes étant strictement positifs, on peut appliquer \(g\) : \(g(u_{n+1}) \lt g(u_n)\), c’est-à-dire \(u_{n+2} \lt u_{n+1}\).
- Conclusion : par récurrence, \(u_{n+1} \lt u_n\) pour tout \(n\).
La suite \((u_n)\) est donc décroissante.
Exercice 4 : questions 4 à 5
4. Affirmation 4 : vraie.
La fonction \(h\) est affine : \(h(x) = ax + b\) avec \(a\) et \(b\) réels. Alors \(k(x) = x^4 + x^2 + ax + b\) est un polynôme, deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), avec \(k^{\prime}(x) = 4x^3 + 2x + a\) et \(k^{\prime\prime}(x) = 12x^2 + 2\).
Pour tout réel \(x\), \(12x^2 \geq\, 0\), donc \(k^{\prime\prime}(x) \geq\, 2 \gt 0\). La dérivée seconde étant positive sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(k\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), quelle que soit la fonction affine \(h\) (sa dérivée seconde est nulle).
5. Affirmation 5 : fausse.
Le mot EULER a 5 lettres, mais la lettre E y figure deux fois. Si les 5 lettres étaient distinctes, on aurait \(5! = 120\) permutations. Or échanger les deux E ne crée pas de nouveau mot : chaque anagramme est comptée deux fois dans ces 120 permutations. Le nombre d’anagrammes est donc \(\dfrac{5!}{2!} = \dfrac{120}{2} = 60\), et non 120.
Corrigé bac 2025 : méthode pour bien s’entraîner
D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, comparez votre copie avec la correction ligne par ligne : au-delà du résultat final, regardez surtout la justification attendue. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la fonction exponentielle et le calcul intégral. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article fonction exponentielle de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Les erreurs qui coûtent des points
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- Une intégrale ne mesure une aire que si la fonction est positive sur l’intervalle : vérifiez le signe avant de conclure en unités d’aire.
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
Questions fréquentes sur ce corrigé bac 2025
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la fonction exponentielle, le calcul intégral et la fonction logarithme népérien, mais aussi le dénombrement.
Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.
Ensuite, Retour à l’énoncé : Bac de maths 2025 en Nouvelle-Calédonie (jour 1) : sujet et corrigé.
