Le caclul littéral : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF.

Mis à jour le 28 mai 2025

🔍Corrigés Détaillés

4eme • Scolaire

Le caclul littéral

🔎 Analyse : 19 min

🎯 Niveau : Scolaire

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Calcul littéral avec le corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF. Savoir développer une expression et double distributivité.

Exercice 1 :
Ecrire sans parenthèses les expressions données :
a. – (3+x)= – 3 – x
b. – (2a+4)= – 2a – 4
c. – (- 3+x)=3 – x
d. – (5 – x)= – 5+x
e. -(7-2y)= – 7+2y
f. – (-6-4x)= 6+4x

Exercice 2 :
Réduire chacune des expressions suivantes :

a. $2x \times 7=14x$
b. $-5y \times (-2)=10y$
c. $4x \times (-5)=-20x$
d. $-5 \times 9a =-45a$
e. $-3x \times x= - 3x^2$
f. $5b \times (- 2b)= - 10b^2$
g. $\frac{2}{3}a \times (- 6a)= - 4a^2$
h.
i.
j.

Exercice 3 :

Supprimer les parenthèses puis réduire chaque expression.
a.
b.
c.
d.
e.
f. $(3x^2-5x-4)-(-4x^2+7x+5)\\=3x^2-5x-4+4x^2-7x-5\\=7x^2-12x-9$
g. $(\frac{3}{4}a^2+ \frac{2}{3}a-4)-(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3}a+3)\\=\frac{3}{4}a^2+ \frac{2}{3}a-4-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{3}a-3\\=(\frac{3}{4}-\frac{1}{2})a^2+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3})a-4-3\\=\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{3}-7$

Exercice 4 :
Développer puis réduire les expressions.

a.
b.
c.
d.
e. $(x+\frac{1}{3})(x+2)=x^2+2x+\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}=x^2+\frac{6}{3}x +\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\\=x^2+\frac{7}{3}x +\frac{2}{3}$
f. $(\frac{1}{2}x+3)(x+2)=\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{2}x+3x+6=\frac{1}{2}x^2+4x+6$

Exercice 5 :
Développer puis réduire les expressions.

a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.

Exercice 6 :

Dans cet exercice désigne un nombre supérieur à 3.

On se propose d’exprimer l’aire de la surface coloriée en fonction de

1.a. Expliquer pourquoi l’aire :
• du rectangle ABCD peut s’écrire ;
• du rectangle AEFG peut s’écrire .

L’aire d’un rectangle correspond au produit de sa longueur par sa largeur….

b. Après avoir développé les expressions littérales précédentes, exprimer l’aire en fonction de .

$x(2x+1)=2x^2+x\,;\, x(x-3)=x^2-3x$

• Montrer que l’aire peut s’écrire aussi :

C’est la somme de l’aire du petit rectangle orange et du grand rectangle orange situé en bas.

ou encore :

$A=A_{ABCD}-A_{AEFG}=x(2x+1)-x(x-3)$

• Développer puis réduire cette expression.
.

3.Calculer alors la valeur de pour .

Lorsque x = 10, l’aire de est :

$A=10^2+4\times 10 = 100 +40= 140 .$

Exercice 7 :

A = x (x + 2) A=x²+2x

B = 5x (x +3) B=5x²+15x
C = 2x (3x – 5) C=6x²-10x
D = – 3x (1 – 4x) D=-3x+12x²
E = (x + 2) (-x + 3) E= -x²+3x-2x+6 E=-x²+x+6
F = (2x + 3) (4x – 1) F=8x²-2x+12x-3 F=8x²+10x-3
G = (5 – 3y) (6 – 2y) G=30-10y-18y+6y² G=6y²-28y+30

Exercice 8 :

Développer et réduire.

A = (x + 3) (x – 2) + (2x + 4) (x + 5)

A=x²-2x+3x-6+2x²+10x+4x+20
A=3x²+15x+14

B = (2x – 1) ( 7x + 8) – (5 – 4x) (3x + 1)
B=14x²+16x-7x-8-(15x+5-12x²-4x)
B=14x²+16x-7x-8-15x-5+12x²+4x
B=26x²-2x-13

C = (3x + 4) ( 7x – 1) – (2x + 5) (3x – 2)
C=21x²-3x+28x-4-(6x²-4x+15x-10
C=21x²+25x-4-6x²+4x-15x+10
C=15x²+14x+6

Exercice 9 :
A = (x – 3) (3x – 1) – 2x² + 4

pour x = 2 :
On remplace x par 2 dans l’expression.
A=(2-3)(3×2-1)-2×2²+4
A=-1×5-8+4
A=-5-8+4
A=-13+4
A= – 9

Exercice 10 :

Pour la figure A :

Rappel : l’aire d’un rectangle est égal au produit de la longueur par la largeur.

A = (2x+1)(3x-2)
A = 6x²-4x+3x-2
A= 6x²-x-2

Pour la figure B :

Rappel : l’aire d’un triangle est égal à la moitié de la longueur de la base multiplié par la hauteur.
B= 0,5x4X(X+3)
B=2X(X+3)
B=2X²+6X

Exercice 11 :

Factoriser en recherchant un facteur commun.

A = 11n + 11
A= 11(n+1)

B = x ² + 5x
B= x(x+5)

C = 14t² – 21t
C=7t(2t-3)

D = (x + 5)(x + 8 ) + 2 (x + 5)
D= (x+5)(x+8+2)
D=(x+5)(x+10)

E = (2x – 9) (3x + 7) + (2x – 9) (6 – 2x)
E=(2x-9)(3x+7+6-2x)
E=(2x-9)(x+13)

F = (5x – 3) (7x – 9) – (3x + 4) (5x – 3)
F=(5x-3)[(7x-9)-(3x+4)]
F=(5x-3)(7x-9-3x-4)
F=(5x-3)(4x-13)

G = (7x + 1) ² + (7x + 1) (2x + 5)
G=(7x+1)(7x+1+2x+5)
G=(7x+1)(9x+6)

H = (2a +3) (5a – 1) – (2a +3)²
H= (2a+3) [(5a-1)-(2a+3)]
H=(2a+3)(5a-1-2a-3)
H=(2a+3)(3a-4)

Exercice 12 :

On représente par étape des maisons à l’aide d’allumettes comme cela est fait ci-dessous.

1. Combien faudra-t-il d’allumettes aux étapes n°4 et n°10 ? Répondre sans faire de dessin.

A l’étape 4, il faudra 17 allumettes ( 13 +4).

2. Vérifier si vous aviez trouvé le bon nombre

oui
3. Combien d’allumettes faudra-t-il à l’étape n° 2007 ?

$4\times 2007+1=8029$

Il faudra 8 029 allumettes à l’étape 2007.

4. Comment exprimer le nombre d’allumettes pour une étape quelconque ?
Considérons une étape n° avec un entier relatif positif.

Alors il y aura $4\times n+1=4n+1$ allumettes à l’étape .

Exercice 13 :

Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant :

Calculer

23 × 7 + 3 ;
23 × 8 + 3;
23 × 9 + 3;
23 × 10 +3
23 × 11 + 3;
23 × 12 + 3;
23 × 13 + 3;
23 × 14 + 3

Un camarade est absent.

Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs.

La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce qu’il doit faire.

Soit x un entier relatif
calcule l’expression littérale pour x allant de 7 à 14.

Exercice 14 :

1) Un randonneur parcourt 5 km en 1 heure et 15 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?
Justifier
$5kmrightarrow\,1h15min$

or
$60minrightarrow\, 1h$

$15minrightarrow\, 0,25h$

donc

$5kmrightarrow\, 1,25h$

$\frac{5}{1,25}kmrightarrow\, 1h$

$4kmrightarrow\, 1h$

Conclusion : la vitesse moyenne du randonneur est de $4\,km/h$ .

2) Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h.
En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ?
Donner le résultat en heures et minutes.

$110kmrightarrow x \,h$

donc

$x=\frac{110\times 1}{50}=2,2h$

or
$1hrightarrow 60min\\0,2\,hrightarrow x\,min$

donc $x=\frac{0,2\times 60}{1}=12\,min$

Le véhicule parcourt 110 kilomètres en 1 heure et 12 minutes .

Exercice 15 :
a désigne un nombre décimal non nul .
Donner une expression littérale de :
1) le double du carré de a .

2) le carré du double de a .

3) la moitié du carré de a :
$\frac{a^{2}}{2}$
4) le carré de la moitié de a .
$(\frac{a}{2})^2$
5) le carré de l’opposé de a .
$(-a)^2=(-a)\times (-a)=a^2$
6) l’opposé du carré de a .

7) le carré de l’inverse de a .
$(\frac{1}{a})^2=\frac{1}{a^2}$
8) l’inverse du carré de a .
$\frac{1}{a^2}$

Exercice 16 :

1. Simplifier les écritures suivantes :

2. développer et réduire les expressions suivantes :

Exercice 17 :

Une salle de concert peut contenir 600 places. Il y a x places assises et les autres sont debouts. Les places debout coûtent 15€ et les places assises 25€.

1°) Que représentent les expressions : a- 600 – x ? b- 25x ? c- 15 (600 – x) ?

600-x c’est le nombre de places debout

25x c’est le « prix » total que rapporte l’ensemble des places assises

15.(600-x) est le « prix » total que rapporte l’ensemble des places debouts.

2°) Exprime, en fonction de x la recette totale en euros si toutes les places sont occupées.

« prix » total de la salle = 25x+15(600-x)

3°) Calcule cette recette si x = 200.

25×200+15.(600-200) = 25*200 + 15 * 400 (ici ressort bien le fait qu’il y a 200 places assises et 400 places debouts)

Recette totale = 25*200 +30*200 ( puisque 15*400 = 15 *2 *200 ) = 55*200 = 110*100 = 11 000€

4°) Quel est le nombre de places assises si la salle est comble et si la recette est de 12 500 € ?

Pour répondre nous ne connaissons pas exactement le nombre de places assises, donc c’est notre inconnue x, et il nous reste à résoudre une équation à une inconnue.

25x+15(600-x) =12500, et x € N, x € [0,600] ( ce qui signifie x entier naturel : exemple {0;1;2;…200;….;599;600} )

<==>25x-15x+15*600=12500 <==>10x+45*200=12500 (car 15*600 =15*3*200) <==>10x+90*100=12500 (car 45*200 =45*2*100)

<==> 10x +9000 =12500 et c’est maintenant qu’on va soustraire de chaque côté du signe égal la valeur de l’entier « 9000 »

<==> 10x+9000 -9000 = 12500 -9000

<==>10x=3500 et c’est maintenant qu’on va divisier de chaque côté du signe égal par le multiple de x

<==> $\frac{10x}{{\color{Blue} 10}}=\frac{3500}{10}$

<==> x = 350, donc il y avait 350 places assises pour réaliser une telle recettte (12 500€)

Exercice 18 :

Développer les expressions suivantes :

A = 6 (2x + 8) =12x+48

B = 7 (5x − 1) =35x-7

C = -4x (x − 9)=-4x²+36x

D = (3x + 4) (2x + 3) =6x²+9x+8x+12=6x²+17x+12

E = (7x + 5) (5x + (-3)) =35x²-21x+25x-15=35x²+4x-15

F = (2x + 9) (7x − 1)=14x²-2x+63x-9=14x²+61x-9

Exercice 19 :

On donne un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Lui ajouter 2

Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi

Ajouter 1 à ce produit

Ecrire le résultat.

1) Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme avec le nombre – 1 , on obtient 0.

-1

-1+2=1

1x(-1)=-1

-1+1=0

0+1=1

2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est -6

-6

-6+2=-4

-4x(-6)=24

24+1=25

3) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 4

4+2=6

6×4=24

24+1=25

4) Ecrire l’expression obtenue pour un nombre a quelconque.

a+2

a(a+2)

a(a+2)+1=a²+2a+1=(a+1)²

Exercice 20 :
a) Supprimer les parenthèses puis réduire l’expression M

${\color{DarkRed} M=7x-11}$
b) Développer et réduire N et P.

${\color{DarkRed} N=19x-5}$

${\color{DarkRed} P=6x^2-x-15}$

c) Calculer N lorsque x est égal à 3.

$N=19\times 3-5$
${\color{DarkRed} N=52}$

Exercice 21 :

M. Hamraoui : Tu avais donc choisi 5 au départ .

Quel est le truc de Mr Hamraoui ?

Mr Hamraoui a résoud une équation.

En posant le nombre recherché,

Nous obtenons pour le programme :

– Choisis un nombre :

– Multiplie le par -11 :

– Ajoute 8 :

– Multiplie le résultat par -9 :

– Ajoute le nombre choisi au départ :

– Ajoute -28 :

Anna: Je trouve 400 .

Nous obtenons l’équation :

$x=\frac{500}{100}$

${\color{DarkRed} x=5}$

Donc le nombre choisi était bien 5 .

Exercice 22 :

Une piscine rectangulaire mesure 10 m sur 5 m.

On désire aménager tout autour une plage.

Cependant cette plage ne doit pas avoir une superficie trop importante pour ne pas coûter trop cher à la collectivité, mais ne doit pas être trop petite pour ne pas pénaliser les non baigneurs.

On estime que la superficie de la plage doit être comprise entre 110 et 120 .

On décide alors de faire un avant-projet de piscine, en notant le nombre désignant la largeur de la plage.

Le nombre devient alors ce que l’on appelle une inconnue .

1. Calculer l’aire de cette plage dans le cas où , puis dans le cas où , et enfin

Pour l=1 :

$A=(10+2)(5+2)-5\times 10=34m^2$

Pour l=2 :

$A=(10+4)(5+4)-5\times 10=76m^2$

Pour l=3 :

$A=(10+6)(5+6)-5\times 10=126m^2$

2. Dans chacun des cas précédents, peut-on lancer le projet de construction ? Pourquoi ?

Non, l’aire doit être comprise entre 110 et 120 .Nous pouvons affirmer que .

3. Quelle méthode pouvez-vous proposer pour trouver une largeur de plage satisfaisante ?

Pour accélérer la recherche de cette largeur idéale, on essaie d’exprimer en fonction du nombre , l’aire de cette plage.

Deux équipes vont y travailler :

– Calculer l’aire du rectangle ABCD, à laquelle on retranche l’aire de la piscine.

– Assembler les éléments de la plage comme indiqué sur le croquis ci-dessous.

4. Retrouver les expressions obtenues par chacune des deux équipes.

$A=(5+2l)(10+2l)-5\times 10=50+10l+20l+4l^2-50\\A=4l^2+30l=l(4l+30)$

5. Proposer une largeur possible de plage pour lancer le projet.

prenons

ainsi $A=2,7(4\times 2,7+30)=110,16\,m^2$

et nous avons bien $110\,m^2\leq\, A\leq\, 120\,m^2$ .

Exercice 23 :

Développer et réduire les expressions suivantes :

${\color{DarkRed},A=x^2+5x+4}$

${\color{DarkRed},B=-x^2+3x+4}$

${\color{DarkRed},C=x^2+3x-4}$

${\color{DarkRed},D=x^2-5x+4}$

Exercice 24 :

Supprimer les parenthèses puis réduire les expressions :

${\color{DarkRed},E=-x-4}$

${\color{DarkRed},F=12x+3}$

Exercice 25 :

En se rappelant que $a^2=a\times ,a$ .

développer et réduire les expressions suivantes :

$A=(x+4)\times ,(x+4)$

${\color{DarkRed},A=x^2+8x+16}$

$B=(2x-3)\times ,(2x-3)$

${\color{DarkRed},B=4x^2-12x+9}$

Exercice 26 :

Réduire les expressions suivantes :

${\color{DarkRed},D=-3x^2-14x+3}$

${\color{DarkRed},E=4x^2+7x-1}$

${\color{DarkRed},F=-9a+2}$

Exercice 27 :

1) -2

-2-3=-5

-5x(-5)=25

25:4=6,25

-2+6,25=4,25

Le résultat pour -2 est 4,25.

7-3=4

4x(-5)=-20

-20:4=-5

-5+7=2

Le résultat obtenu pour 7 est 2

2) x

x-3

-5(x-3)

-5(x-3) :4

$\frac{-5(x-3)}{4} +x$

$\frac{-5}{4}(x-3)\,+x$

$-1,25(x-3)\,+x$

$-1,25x-3\times \,(-1,25)\,+x$

$-1,25x+3,75\,+x$

Exercice 28 :

$c)\frac{1}{3}x-5$

Exercice 29 :

A = x-6-5x²-30-x

A=-5x²-36

B=12x-x²-10+x-3-8x²+1-2x

B=-9x²+11x-12

C= -3-a+b+5a-9+(-3a-5b)

C=-3-a+b+5a-9-3a-5b

C=a-4b-12

D= x²-(3x²-15x+4)+(15x²-12x-3)

D=x²-3x²+15x-4+15x²-12x-3

D=13x²+3x-7

Exercice 30 :

Exercice 31 :

$A=3x\,,\,B=3x^2\,,\,C=3x\,,\,D=3x+2\,,\,E=2x^2\,,\,F=x^2+x$

$G=0\,,\,H=1+2x\,,\,I=x\,,\,J=30x^2\,,\,K=30x\,,\,L=x^2+x$

Le calcul littéral en classe de 4ème est très important pour la progression de l’élève. En outre, ce calcul littéral permet de développer des compétences nouvelles et de découvrir une nouvelle méthode de calculs en 4ème.

Exercice 34 :

Ecrire de la façon la plus simple les expressions suivantes :

$a. 2\times 3x=6x\\ b. -3\times 7x=-21x \\ c. 2\times (5x)=10x \\ d. x\times 7=7x \\ e. x\times (-3) =-3x\\ f. 3x\times (2x)=6x^2 \\ g. -7x\times (2x) =-14x^2\\ h. -6x\times (-4x)=24x^2$

Exercice 35 :

Développer et réduire les expressions suivantes :

a .(4a + 3)(3a + 5)=12a²+29a+15 b. (3a – 2)(4a – 7) =12a²-29a+14

c. (5a + 7)(4a + 1)=20a²+33a+7 d. (- 3a + 2)(5a – 4) =-15a²+22a-8

e. (2b – 3)(2b – 7) =4b²-20b+21 f. (3a – 4)(4a – 11)=12a²-49a+44

g. (5b – 2)(- 3b + 2) =-15b²+16b-4 h. (3x – 4)(5x + 2) =15x²-14x-8

i. (- 4x + 17)(- 3x – 21)=12x²+33x-357 j. (5a – 3b)(4b + 3a) =20ab+15a²-12b²-9ab=15a²-12b²+11ab

k. (- a + 5b)(4b + 3a) = -4ab-3a²+20b²+15ab=-3a²+20b²+11ab

l. (2a – b)(- 7b + 4a) = -14ab+8a²+7b²-4ab = 8a²+7b²-18ab

Exercice 36 :

Déterminer le périmètre de la figure ci-dessous en fonction de x.

P=3+3+2x+2x+2x=6x+6.

Exercice 37 :

En utilisant la propriété de la double distributivité, développer et réduire les expressions littérales suivantes :

A = ( x + 3 ) × (x + 1 )=x²+4x+3 B = ( x + 7 ) × ( x + 2 ) =x²+9x+14

C = ( x + 2 ) ( x – 5 )=x²-3x-10

D = ( x + 3 ) ( x – 6 )=x²-3x-18 E = ( x + 6 ) ( x – 8 )=x²-2x-48

F = ( x – 3 ) ( x + 4 )=x²+x-12

G = ( x – 7 ) ( x – 4 ) =x²-11x+28 H = ( x – 1 ) ( x + 7 ) =x²+6x-7

I = ( 2 x + 7 ) ( 3 x + 8 )=6x²+16x+21x+56=6x²+37x+56

Exercice 38 :

On souhaite exprimer l’aire de la figure ci-dessous, en fonction de a.

1.Voici deux propositions. Indiquer le découpage utilisé pour obtenir l’expression donnée.

2.Proposer une autre expression. a²+a²+ax1+1×1=2a²+a+1.

3.Montrer que les différentes expressions peuvent s’écrire 2a²+a+1.

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