Voici le corrigé des 16 exercices de 2de consacrés aux inéquations, avec des solutions rédigées étape par étape. De plus, dans chaque résolution, on regroupe les termes en \(x\) dans un membre et les constantes dans l’autre, puis on isole l’inconnue en expliquant pourquoi le sens de l’inégalité est conservé ou inversé. Ensuite, le résultat est donné sous forme d’intervalle, avec la demi-droite à tracer sur l’axe des réels.
Les problèmes montrent comment choisir l’inconnue, traduire l’énoncé par une inéquation, la résoudre puis interpréter la réponse : valeurs possibles d’une longueur, nombre d’entrées à partir duquel un abonnement devient avantageux, position d’un point pour comparer deux aires ou nombre maximal de trajets pour un budget fixé. Par ailleurs, les questions d’encadrement rappellent qu’on peut additionner deux inégalités de même sens, mais jamais les soustraire directement.
Pour progresser, tentez d’abord seul les exercices de la fiche d’énoncés, puis servez-vous de cette correction pour vérifier vos calculs et votre raisonnement.
L’essentiel : Voici les solutions rédigées des exercices de maths en Seconde sur « Inéquations ». On le consulte après avoir cherché seul ; corrigé gratuit à télécharger en PDF.
Exercice 1 (inéquations 2de corrigé)
Résoudre les inéquations suivantes :
a. \(2x-7> 2-x\)
\(2x+x> 7+2\)
\(3x> 9\)
\(x> \frac{9}{3}\)
\({\color{DarkRed} x>3}\)
b. \(5+y\geq\,\,\, 7+3y\)
\(y-3y\geq\,\,\, 7-5\)
\(-2y\geq\,\,\, 2\)
\(y\leq\,\,\, -\frac{2}{2}\)
\({\color{DarkRed} y\leq\,\,\, -1}\)
c. \(3t+2\leq\,\,\, 2(1+3t)\)
\(3t+2\leq\,\,\, 2+6t\)
\(2-2\leq\,\,\, 6t-3t\)
\(0\leq\,\,\, 3t\)
\({\color{DarkRed} 0\leq\,\,\, t}\)
Exercice 2 :
Résolvez les inéquations suivantes :
1) \(2x+2\geq\,\,\,\,4x+6\).
\(2x-4x\geq\,\,\,\,6-2\)
\(-2x\geq\,\,\,\,4\)
On divise par \(-2\), qui est négatif : le sens de l’inégalité change.
\(x\leq\,\,\,\,-\frac{4}{2}\)
\({\color{DarkRed}\,x\leq\,\,\,\,-2}\)
2) \(2(3x+3)>\,5(2x+3)\)
\(6x+6>\,10x+15\)
\(6x-10x>\,15-6\)
\(-4x>\,9\)
On divise par \(-4\), qui est négatif : le sens de l’inégalité change.
\({\color{DarkRed}\,x<-\frac{9}{4}\,}\)
3) \(3(2x-6)<\,2x+6\)
\(6x-18<\,2x+6\)
\(6x-2x<\,6+18\)
\(4x<\,24\)
\(x<\,\frac{24}{4}\)
\({\color{DarkRed}\,x<\,6}\)
4) \(\frac{x+3}{3}\geq\,\,\,\,2\)
\(x+3\geq\,\,\,\,6\)
\(x\geq\,\,\,\,6-3\)
\({\color{DarkRed}\,x\geq\,\,\,\,3}\)
5) \(\frac{2x-3}{3}\leq\,\,\,\,-5\)
\(2x-3\leq\,\,\,\,-15\)
\(2x\leq\,\,\,\,-15+3\)
\(2x\leq\,\,\,\,-12\)
\(x\leq\,\,\,\,-\frac{12}{2}\)
\({\color{DarkRed}\,x\leq\,\,\,\,-6}\)
6) \(\frac{3-4x}{5}>\,1\)
\(3-4x>\,5\)
\(-4x>\,5-3\)
\(-4x>2\)
On divise par \(-4\), qui est négatif : le sens de l’inégalité change.
\(x<-\frac{2}{4}\)
\({\color{DarkRed}\,x<-\frac{1}{2}}\)
Exercice 3 (inéquations 2de corrigé)
Soit L la longueur de ce rectangle.
L > 5,3 cm
Le périmètre de ce rectangle est égal à : 2L + 2 × 5,3 = 2L + 10,6
2L + 10,6 ≤ 37
Puis, 2L + 10,6 – 10,6 ≤ 37 – 10,6
2L ≤ 26,4
\(\frac{2L }{2}\leq\,\,\, \frac{26,4 }{2}\)
L ≤ 13,2
Conclusion : la longueur de ce rectangle est comprise entre 5,3 cm et 13,2 cm.
Exercice 4 :
Soit x le plus grand des trois entiers consécutifs.
Le précédent est égal à x – 1 et le plus petit est égal à x – 2.
La somme de ces trois entiers est égale à : x – 2 + x – 1 + x = 3x – 3
12 < 3x – 3< 27
12 + 3 < 3x – 3 + 3 < 27 + 3
15 < 3x < 30
\(\frac{15}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{30}{3}\)
5 < x < 10
Le plus grand de ces trois entiers est 6 , 7, 8 ou 9.
Exercice 5 (inéquations 2de corrigé)
Représenter sur une droite graduée les solutions de l’inéquation :
-2x+7 < 5x + 29.
\(-2x-5x< 29-7\)
\(-7x< 22\)
\(x> -\frac{22}{7}\)
Conclusion : \({\color{DarkRed} S=]-\frac{22}{7} ;+\infty[}\)
On divise par \(-7\), qui est négatif : c’est pourquoi le sens de l’inégalité a changé. Sur la droite graduée, on place \(-\dfrac{22}{7}\) (environ \(-3{,}14\), un peu à gauche de \(-3\)) et on colorie toute la partie située à sa droite, avec un crochet ouvert en \(-\dfrac{22}{7}\) car cette valeur n’est pas solution.
Exercice 6 :
Un parc de loisir propose deux formules d’abonnement :
Formule A : La carte à l’année coûte 55 € et le prix d’une entrée est de 20 € .
Formule B : La carte à l’année coûte 80 € et le prix d’une entrée est de 15 € .
On note y le nombre d’entrées .
1. De plus, exprimer, en fonction de y, le coût à l’année avec la formule A .
\(A=55+20y\)
2. Ensuite, exprimer, en fonction de y, le coût à l’année avec la formule B .
\(B=80+15y\)
3. A partir de combien d’entrées dans l’année, la formule B se révèle-t-elle
la plus intéressante ?
La formule B est la plus intéressante lorsqu’elle coûte moins cher que la formule A :
\(B< A\)
\(80+15y<55+20y\)
\(15y-20y<55-80\)
\(-5y<-25\)
On divise par \(-5\), qui est négatif : le sens de l’inégalité change.
\(y> \frac{-25}{-5}\)
\(y> 5\)
Pour 5 entrées, les deux formules coûtent 155 €. Par ailleurs, le nombre d’entrées étant un entier, la formule B est la plus intéressante à partir de 6 entrées dans l’année (par exemple, pour 6 entrées : 175 € avec A contre 170 € avec B).
Exercice 7 (inéquations 2de corrigé)
On considère l’inéquation :
\(x^2+3x\geq\,\,\,\,(x-1)(x+2)\)
1. Puis justifier que 0 est solution de cette inéquation .
\(0^2+3\times \,0=0\,et\,\,(0-1)(0+2)=-2\)
or \(0\geq\,\,\,-2\)
donc 0 est solution de cette inéquation.
2. \(-\frac{1}{2}\) est-il solution de cette inéquation ?
\((-\frac{1}{2})^2+3\times \,(-\frac{1}{2})\,\,\,et\,\,\,((-\frac{1}{2})-1)((-\frac{1}{2})+2)\)
\(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\,\,\,et\,\,\,(-\frac{1}{2}-\frac{2}{2})(-\frac{1}{2}+\frac{4}{2})\)
\(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\,\,\,et\,\,\,-\frac{3}{2}\times \,\frac{3}{2}\)
\(-\frac{5}{4}\,\,\,et\,\,\,-\frac{9}{4}\)
or \(-\frac{5}{4}\,\geq\,\,\,\,-\frac{9}{4}\)
donc il est solution de cette inéquation.
3. Après avoir développé le second membre, résolvez cette inéquation.
\(x^2+3x\geq\,\,\,\,(x-1)(x+2)\)
\(x^2+3x\geq\,\,\,\,x^2+2x-x-2\)
\(x^2+3x\geq\,\,\,\,x^2+x-2\)
\(x^2+3x\,-x^2-x+2\geq\,\,\,\,0\)
\(2x+2\geq\,\,\,\,0\)
\(2x\geq\,\,\,-2\)
\({\color{DarkRed}\,x\geq\,\,\,-1}\)
Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à -1 : \(S=[-1;+\infty[\).
Remarque :
Nous vérifions bien que les deux valeurs
des premières questions sont bien dans l’ensemble solution.
Exercice 8 :
Pour isoler \(x\), on ajoute ou on retranche le même nombre aux deux membres : le sens de l’inégalité ne change pas.
a. \(x-4\gt 0\) donne \(x\gt 0+4\), soit \(x\gt 4\) : \(S=\,]4;+\infty[\).
b. \(x+7\gt 9\) donne \(x\gt 9-7\), soit \(x\gt 2\) : \(S=\,]2;+\infty[\).
c. \(x-3\lt 6\) donne \(x\lt 6+3\), soit \(x\lt 9\) : \(S=\,]-\infty;9[\).
d. \(x-8\lt -10\) donne \(x\lt -10+8\), soit \(x\lt -2\) : \(S=\,]-\infty;-2[\).
Exercice 9 (inéquations 2de corrigé)
On divise les deux membres par le coefficient de \(x\). Si ce coefficient est positif, le sens de l’inégalité est conservé ; s’il est négatif, le sens de l’inégalité change.
a. \(3x\lt 6\) : on divise par 3, qui est positif, donc \(x\lt \dfrac{6}{3}\), soit \(x\lt 2\) : \(S=\,]-\infty;2[\).
b. \(2x\gt 5\) : on divise par 2, qui est positif, donc \(x\gt \dfrac{5}{2}\) : \(S=\,]\dfrac{5}{2};+\infty[\).
c. \(-5x\lt 15\) : on divise par \(-5\), qui est négatif, donc le sens change : \(x\gt \dfrac{15}{-5}\), soit \(x\gt -3\) : \(S=\,]-3;+\infty[\).
d. \(-7x\gt 28\) : on divise par \(-7\), qui est négatif, donc le sens change : \(x\lt \dfrac{28}{-7}\), soit \(x\lt -4\) : \(S=\,]-\infty;-4[\).
Exercice 10 :
On sait que \(x\lt 5\) et \(y\lt 7\).
a. Ensuite, on multiplie \(x\lt 5\) par 5, qui est positif : \(5x\lt 25\).
b. Puis on multiplie \(x\lt 5\) par 2, qui est positif : \(2x\lt 10\). De plus, on additionne membre à membre avec \(y\lt 7\) (deux inégalités de même sens) : \(2x+y\lt 10+7\), soit \(2x+y\lt 17\).
c. Ensuite, on multiplie \(y\lt 7\) par 2 : \(2y\lt 14\). Par ailleurs, on additionne avec \(x\lt 5\) : \(x+2y\lt 5+14\), soit \(x+2y\lt 19\).
d. Puis on additionne \(x\lt 5\) et \(y\lt 7\) : \(x+y\lt 12\).
Exercice 11 (inéquations 2de corrigé)
On sait que \(x\lt 2\) et \(y\gt 1\).
a. Ensuite, on multiplie \(x\lt 2\) par 2, qui est positif : \(2x\lt 4\).
b. Puis on multiplie \(y\gt 1\) par \(-1\), qui est négatif : le sens change, donc \(-y\lt -1\).
c. De plus, on additionne \(2x\lt 4\) et \(-y\lt -1\), qui sont de même sens : \(2x-y\lt 4-1\), soit \(2x-y\lt 3\).
d. Ensuite, on additionne \(x\lt 2\) et \(-y\lt -1\) : \(x-y\lt 2-1\), soit \(x-y\lt 1\).
Remarque : on ne peut pas soustraire directement \(y\gt 1\) à \(x\lt 2\) ; il faut d’abord transformer \(y\gt 1\) en \(-y\lt -1\) pour obtenir deux inégalités de même sens.
Exercice 12 :
Méthode : on regroupe les termes en \(x\) dans un membre et les nombres dans l’autre, puis on divise par le coefficient de \(x\) en changeant le sens de l’inégalité s’il est négatif. Sur l’axe des réels, on colorie la partie de la droite qui contient les solutions ; le crochet est tourné vers les solutions si la borne est comprise (\(\leq\,\) ou \(\geq\,\)) et tourné vers l’extérieur si elle est exclue (\(\lt\) ou \(\gt\)).
Série 1
a. \(2x+5\gt 11\) ; \(2x\gt 6\) ; \(x\gt 3\). \(S=\,]3;+\infty[\) : on colorie à droite de 3, crochet ouvert en 3.
b. \(6x-5\geq\, 4x+2\) ; \(6x-4x\geq\, 2+5\) ; \(2x\geq\, 7\) ; \(x\geq\, \dfrac{7}{2}\). \(S=\,[\dfrac{7}{2};+\infty[\) : on colorie à droite de 3,5, crochet fermé en 3,5.
c. \(-3x+7\gt 10\) ; \(-3x\gt 3\) ; on divise par \(-3\lt 0\), le sens change : \(x\lt -1\). \(S=\,]-\infty;-1[\) : on colorie à gauche de \(-1\), crochet ouvert.
d. \(3x+4\leq\, 4x-4\) ; \(3x-4x\leq\, -4-4\) ; \(-x\leq\, -8\) ; on multiplie par \(-1\), le sens change : \(x\geq\, 8\). \(S=\,[8;+\infty[\) : on colorie à droite de 8, crochet fermé.
Série 2
a. \(4x-2\lt 7\) ; \(4x\lt 9\) ; \(x\lt \dfrac{9}{4}\). \(S=\,]-\infty;\dfrac{9}{4}[\) : on colorie à gauche de 2,25, crochet ouvert.
b. \(2x-5\gt 5x+2\) ; \(2x-5x\gt 2+5\) ; \(-3x\gt 7\) ; on divise par \(-3\lt 0\) : \(x\lt -\dfrac{7}{3}\). \(S=\,]-\infty;-\dfrac{7}{3}[\) : on colorie à gauche de \(-\dfrac{7}{3}\) (environ \(-2{,}33\)), crochet ouvert.
c. \(-5x+6\leq\, -3\) ; \(-5x\leq\, -9\) ; on divise par \(-5\lt 0\) : \(x\geq\, \dfrac{9}{5}\). \(S=\,[\dfrac{9}{5};+\infty[\) : on colorie à droite de 1,8, crochet fermé.
d. \(-6x+3\lt -x-2\) ; \(-6x+x\lt -2-3\) ; \(-5x\lt -5\) ; on divise par \(-5\lt 0\) : \(x\gt 1\). \(S=\,]1;+\infty[\) : on colorie à droite de 1, crochet ouvert.
Série 3
a. \(\dfrac{1}{3}x+2\gt x-5\) ; \(\dfrac{1}{3}x-x\gt -5-2\) ; \(-\dfrac{2}{3}x\gt -7\) ; on multiplie par \(-\dfrac{3}{2}\lt 0\), le sens change : \(x\lt \dfrac{21}{2}\). \(S=\,]-\infty;\dfrac{21}{2}[\) : on colorie à gauche de 10,5, crochet ouvert.
b. \(\dfrac{6}{5}x+\dfrac{2}{5}\geq\, x+\dfrac{7}{10}\) ; \(\dfrac{6}{5}x-x\geq\, \dfrac{7}{10}-\dfrac{4}{10}\) ; \(\dfrac{1}{5}x\geq\, \dfrac{3}{10}\) ; on multiplie par 5 : \(x\geq\, \dfrac{3}{2}\). \(S=\,[\dfrac{3}{2};+\infty[\) : on colorie à droite de 1,5, crochet fermé.
Exercice 12 : (suite)
c. \(\dfrac{2}{5}x+1\leq\, \dfrac{4}{5}x+3\) ; \(\dfrac{2}{5}x-\dfrac{4}{5}x\leq\, 3-1\) ; \(-\dfrac{2}{5}x\leq\, 2\) ; on multiplie par \(-\dfrac{5}{2}\lt 0\), le sens change : \(x\geq\, -5\). \(S=\,[-5;+\infty[\) : on colorie à droite de \(-5\), crochet fermé.
d. \(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}x\lt -\dfrac{1}{2}x+3\) ; en ajoutant \(\dfrac{1}{2}x\) aux deux membres, on obtient \(-\dfrac{3}{4}\lt 3\), ce qui est toujours vrai. Tous les réels sont solutions : \(S=\mathbb{R}\) : on colorie toute la droite.
Série 4
a. \(\dfrac{7}{2}x+\dfrac{7}{2}\gt \dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{3}\) ; \(\dfrac{7}{2}x-\dfrac{3}{2}x\gt -\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{2}\) ; \(2x\gt -\dfrac{2}{6}-\dfrac{21}{6}\) ; \(2x\gt -\dfrac{23}{6}\) ; \(x\gt -\dfrac{23}{12}\). \(S=\,]-\dfrac{23}{12};+\infty[\) : on colorie à droite de \(-\dfrac{23}{12}\) (environ \(-1{,}92\)), crochet ouvert.
b. \(-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{5}{9}\lt -\dfrac{7}{3}x+1\) ; \(-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{7}{3}x\lt 1-\dfrac{5}{9}\) ; \(-\dfrac{9}{21}x+\dfrac{49}{21}x\lt \dfrac{4}{9}\) ; \(\dfrac{40}{21}x\lt \dfrac{4}{9}\) ; on multiplie par \(\dfrac{21}{40}\gt 0\) : \(x\lt \dfrac{4\times 21}{9\times 40}=\dfrac{84}{360}=\dfrac{7}{30}\). \(S=\,]-\infty;\dfrac{7}{30}[\) : on colorie à gauche de \(\dfrac{7}{30}\) (environ 0,23), crochet ouvert.
c. \(-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{5}\leq\, \dfrac{7}{5}x+\dfrac{2}{7}\) ; \(-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{7}{5}x\leq\, \dfrac{2}{7}-\dfrac{1}{5}\) ; \(-\dfrac{10}{15}x-\dfrac{21}{15}x\leq\, \dfrac{10}{35}-\dfrac{7}{35}\) ; \(-\dfrac{31}{15}x\leq\, \dfrac{3}{35}\) ; on multiplie par \(-\dfrac{15}{31}\lt 0\), le sens change : \(x\geq\, -\dfrac{3\times 15}{35\times 31}=-\dfrac{45}{1085}=-\dfrac{9}{217}\). \(S=\,[-\dfrac{9}{217};+\infty[\) : on colorie à droite de \(-\dfrac{9}{217}\) (environ \(-0{,}04\), tout près de 0), crochet fermé.
d. \(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}\geq\, \dfrac{1}{2}x+2\) ; en retranchant \(\dfrac{1}{2}x\) aux deux membres, on obtient \(-\dfrac{1}{3}\geq\, 2\), ce qui est toujours faux. Aucun réel n’est solution : \(S=\varnothing\) : on ne colorie rien.
Série 5
a. \(2x+\dfrac{1}{3}\gt -\dfrac{1}{3}+\dfrac{x}{2}\) ; \(2x-\dfrac{1}{2}x\gt -\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\) ; \(\dfrac{3}{2}x\gt -\dfrac{2}{3}\) ; on multiplie par \(\dfrac{2}{3}\gt 0\) : \(x\gt -\dfrac{4}{9}\). \(S=\,]-\dfrac{4}{9};+\infty[\) : on colorie à droite de \(-\dfrac{4}{9}\) (environ \(-0{,}44\)), crochet ouvert.
b. \(-\dfrac{1}{13}x+3\leq\, \dfrac{11}{13}-x\) ; \(-\dfrac{1}{13}x+x\leq\, \dfrac{11}{13}-\dfrac{39}{13}\) ; \(\dfrac{12}{13}x\leq\, -\dfrac{28}{13}\) ; on multiplie par \(\dfrac{13}{12}\gt 0\) : \(x\leq\, -\dfrac{28}{12}=-\dfrac{7}{3}\). \(S=\,]-\infty;-\dfrac{7}{3}]\) : on colorie à gauche de \(-\dfrac{7}{3}\), crochet fermé.
c. \(\dfrac{99}{100}x+1\gt -\dfrac{x}{100}+\dfrac{1}{3}\) ; \(\dfrac{99}{100}x+\dfrac{1}{100}x\gt \dfrac{1}{3}-1\) ; \(x\gt -\dfrac{2}{3}\). \(S=\,]-\dfrac{2}{3};+\infty[\) : on colorie à droite de \(-\dfrac{2}{3}\), crochet ouvert.
d. \(-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{5}{8}\geq\, 2+\dfrac{1}{2}x\) ; \(-\dfrac{3}{7}x-\dfrac{1}{2}x\geq\, 2-\dfrac{5}{8}\) ; \(-\dfrac{6}{14}x-\dfrac{7}{14}x\geq\, \dfrac{11}{8}\) ; \(-\dfrac{13}{14}x\geq\, \dfrac{11}{8}\) ; on multiplie par \(-\dfrac{14}{13}\lt 0\), le sens change : \(x\leq\, -\dfrac{11\times 14}{8\times 13}=-\dfrac{154}{104}=-\dfrac{77}{52}\). \(S=\,]-\infty;-\dfrac{77}{52}]\) : on colorie à gauche de \(-\dfrac{77}{52}\) (environ \(-1{,}48\)), crochet fermé.
Exercice 13 (inéquations 2de corrigé)
On note \(x\) la distance AM. Comme \(AB=AC-CB=6-1=5\) et que M appartient au segment [AB], on a \(0\leq\, x\leq\, 5\).
Aire du triangle AMF, rectangle en A : \(\dfrac{AM\times AF}{2}=\dfrac{4x}{2}=2x\).
L’aire hachurée est celle du trapèze MCDE : ses côtés [MC] et [ED] sont parallèles, avec \(MC=6-x\) et \(ED=1\), et sa hauteur est \(CD=AF=4\). Son aire vaut donc \(\dfrac{(MC+ED)\times CD}{2}=\dfrac{(6-x+1)\times 4}{2}=2(7-x)=14-2x\).
Morgan doit donc poser l’inéquation \(14-2x\geq\, 2x\), avec \(0\leq\, x\leq\, 5\).
Résolution : \(14\geq\, 4x\), soit \(x\leq\, \dfrac{14}{4}=3{,}5\).
L’aire hachurée est supérieure ou égale à l’aire du triangle AMF lorsque AM est comprise entre 0 et 3,5 (\(0\leq\, x\leq\, 3{,}5\)). Vérification pour \(x=3{,}5\) : les deux aires valent 7.
Exercice 14 :
On note \(n\) le nombre de trajets (aller simple) effectués par Lilia. Avec la carte, elle paie la carte (30 €) puis 9,10 € par trajet, soit \(30+9{,}1n\) euros. Son budget est d’au plus 140 €.
Elle doit résoudre l’inéquation \(30+9{,}1n\leq\, 140\).
\(9{,}1n\leq\, 110\), donc \(n\leq\, \dfrac{110}{9{,}1}\approx 12{,}09\).
Comme \(n\) est un nombre entier, Lilia peut faire au maximum 12 trajets. Vérification : \(30+9{,}1\times 12=139{,}2\) € (inférieur à 140 €), alors que 13 trajets coûteraient \(30+9{,}1\times 13=148{,}3\) €.
Exercice 15 :
3 h 30 min = 3,5 h. Par ailleurs, la distance parcourue est \(d=v\times 3{,}5\), où \(v\) est la vitesse en km/h, avec \(15\leq\, v\leq\, 17\).
On multiplie l’encadrement par 3,5, qui est positif : le sens des inégalités est conservé.
\(15\times 3{,}5\leq\, v\times 3{,}5\leq\, 17\times 3{,}5\), soit \(52{,}5\leq\, d\leq\, 59{,}5\).
Théo a parcouru entre 52,5 km et 59,5 km.
Exercice 16 :
On a \(190\leq\, x\leq\, 200\) et \(56\leq\, y\leq\, 60\). Puis L’an prochain, le bénéfice total sera \(1{,}3x+1{,}2y\).
On multiplie le premier encadrement par 1,3 (positif) : \(1{,}3\times 190\leq\, 1{,}3x\leq\, 1{,}3\times 200\), soit \(247\leq\, 1{,}3x\leq\, 260\).
Également, on multiplie le second par 1,2 (positif) : \(1{,}2\times 56\leq\, 1{,}2y\leq\, 1{,}2\times 60\), soit \(67{,}2\leq\, 1{,}2y\leq\, 72\).
On additionne membre à membre ces deux encadrements : \(247+67{,}2\leq\, 1{,}3x+1{,}2y\leq\, 260+72\).
Le bénéfice total de l’année prochaine sera compris entre 314,20 € et 332 € : \(314{,}2\leq\, 1{,}3x+1{,}2y\leq\, 332\).
Exercice 17 :
a. \(x+3=0\) pour \(x=-3\) et \(2x-4=0\) pour \(x=2\). Chaque facteur est une fonction affine croissante (coefficients 1 et 2 positifs) : négative avant sa racine, positive après.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
| \(x+3\) | − | 0 | + | + | |||
| \(2x-4\) | − | − | 0 | + | |||
| Signe de l’expression | + | 0 | − | 0 | + |
On cherche les valeurs de \(x\) pour lesquelles le produit est positif ou nul : \(S=]-\infty\,;\,-3]\cup[2\,;\,+\infty[\).
b. \(1-x=0\) pour \(x=1\) (coefficient \(-1\) : la fonction est décroissante, donc positive avant 1 et négative après) et \(x+5=0\) pour \(x=-5\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-5\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
| \(1-x\) | + | + | 0 | − | |||
| \(x+5\) | − | 0 | + | + | |||
| Signe de l’expression | − | 0 | + | 0 | − |
Le produit doit être strictement négatif : \(S=]-\infty\,;\,-5[\cup]1\,;\,+\infty[\) (les valeurs \(-5\) et 1 sont exclues, car le produit y est nul).
c. Le numérateur \(3x-6\) s’annule en 2. Le dénominateur \(x+1\) s’annule en \(-1\) : c’est la valeur interdite, notée par la double barre.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
| \(3x-6\) | − | − | 0 | + | |||
| \(x+1\) | − | 0 | + | + | |||
| Signe de l’expression | + | ‖ | − | 0 | + |
Le quotient doit être positif ou nul. Il est positif sur \(]-\infty\,;\,-1[\) et sur \(]2\,;\,+\infty[\) et il s’annule en 2 (qui convient, car l’inégalité est large). En \(-1\), le quotient n’existe pas : cette valeur est exclue. \(S=]-\infty\,;\,-1[\cup[2\,;\,+\infty[\).
Exercice 18 :
1. Les deux droites se coupent au point de coordonnées (2 ; 1) : on a bien \(f(2)=2\times 2-3=1\) et \(g(2)=-2+3=1\).
2. \(f(x)\geq\, g(x)\) signifie que la droite bleue est au-dessus de la droite rouge, ou qu’elles se croisent. C’est le cas pour les abscisses supérieures ou égales à 2 (en vert sur l’axe) : \(S=[2\,;\,+\infty[\).
3. On résout : \(2x-3\geq\, -x+3\). On ajoute \(x\) puis 3 aux deux membres : \(2x+x\geq\, 3+3\), soit \(3x\geq\, 6\). On divise par 3 (nombre positif, le sens ne change pas) : \(x\geq\, 2\). \(S=[2\,;\,+\infty[\), comme sur le graphique.
4. Graphiquement, la droite bleue est strictement sous l’axe des abscisses pour \(x\) inférieur à 1,5 (elle coupe l’axe en 1,5, point creux sur le graphique). Par le calcul : \(2x-3\lt 0\iff 2x\lt 3\iff x\lt\dfrac{3}{2}\). \(S=]-\infty\,;\,\dfrac{3}{2}[\).
Exercice 19 :
1. \(|x-2|\lt 3\) signifie que la distance entre \(x\) et 2 est strictement inférieure à 3 : \(x\) est situé strictement entre \(2-3=-1\) et \(2+3=5\). On peut aussi écrire \(-3\lt x-2\lt 3\), puis ajouter 2 : \(-1\lt x\lt 5\). \(S=]-1\,;\,5[\)
2. \(|x+1|=|x-(-1)|\) est la distance entre \(x\) et \(-1\). Cette distance est supérieure ou égale à 4 lorsque \(x\leq\, -1-4=-5\) ou \(x\geq\, -1+4=3\). \(S=]-\infty\,;\,-5]\cup[3\,;\,+\infty[\)
3. \(|2x-1|\leq\, 5\iff -5\leq\, 2x-1\leq\, 5\). On ajoute 1 : \(-4\leq\, 2x\leq\, 6\). On divise par 2 (positif) : \(-2\leq\, x\leq\, 3\). \(S=[-2\,;\,3]\)
Vérification : pour \(x=0\), \(|2\times 0-1|=1\leq\, 5\) : 0 appartient bien à \([-2\,;\,3]\). Pour \(x=4\), \(|2\times 4-1|=7\gt 5\) : 4 n’est pas solution.
Exercice 20 :
1. La moyenne pondérée est la somme des notes multipliées par leurs coefficients, divisée par la somme des coefficients (\(1+1+1+2=5\)) :
\[m=\dfrac{11+14+12+2x}{5}=\dfrac{37+2x}{5}\]
2. Il faut \(m\geq\, 13\) :
\[\dfrac{37+2x}{5}\geq\, 13\iff 37+2x\geq\, 65\iff 2x\geq\, 28\iff x\geq\, 14\]
La note \(x\) est au plus égale à 20. Sophie doit obtenir une note comprise entre 14 et 20 : \(x\in[14\,;\,20]\). Vérification avec \(x=14\) : \(\dfrac{37+28}{5}=\dfrac{65}{5}=13\).
3. Il faut maintenant \(m\geq\, 14\) :
\[\dfrac{37+2x}{5}\geq\, 14\iff 37+2x\geq\, 70\iff 2x\geq\, 33\iff x\geq\, 16{,}5\]
Comme \(16{,}5\leq\, 20\), c’est encore possible : il faut au minimum 16,5 sur 20 au quatrième devoir (on obtient alors \(\dfrac{37+33}{5}=14\)).
Inéquations 2de corrigé : méthode de travail
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Puis en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Inéquation sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec systèmes équations : corrigé des exercices de maths en 2de.
