Cette série de 48 exercices de maths pour la classe de 1ère fait le tour des outils qui permettent d’étudier les variations de fonctions numériques. Les premiers énoncés s’appuient sur les fonctions composées, la parité et la comparaison de deux fonctions à l’aide d’une différence ou de carrés. Viennent ensuite les trinômes : forme canonique, forme factorisée, sommet de la parabole et position relative de deux courbes.
La seconde moitié mobilise la fonction dérivée : signe de \(f^{\prime}\), tableau de variation, extremums locaux, équation d’une tangente, lecture graphique d’une courbe ou d’un tableau de signes, encadrements et un problème d’aire à optimiser. On y rencontre aussi quelques fonctions rationnelles, une hyperbole et leurs asymptotes.
Cherche chaque exercice au brouillon en rédigeant la justification, puis compare ton travail avec le corrigé détaillé de ces exercices sur les fonctions, qui reprend toutes les questions pas à pas.
Exercice 1 – Sens de variation d’une fonction composée (variations de fonctions)
Donner une décomposition de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = (x-3)^2 +2\) qui permette d’en déduire son sens de variation sur l’intervalle \(I =] – \infty ; 3]\).
Exercice 2 – Sens de variation
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x(1-x)\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Démontrer que \(f(x)\leq\, \frac{1}{4}\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
2. En déduire que la fonction \(f\) admet un maximum en \(x=\frac{1}{2}.\)
3. Démontrer que \(f(x)=\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2\) .
4. En déduire que \(f\) est croissante sur l’intervalle \(]-\infty;\frac{1}{2}[\) et décroissante sur \(]\frac{1}{2};+\infty[\) .
Exercice 3 – Comparer deux fonctions (variations de fonctions)
Le but de cet exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=\frac{1}{1+x^4}\) et \(g(x)=\frac{1}{1+x^2}\)
1. Calculer \(f(x)-g(x)\) .
2. En déduire l’intervalle sur lequel on a \(f\geq\, g.\)
Exercice 4 – Comparaison de fonctions
Le but de cet exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies par :
\(f(x)=\sqrt{1+x}\) et \(g(x)=1+\frac{x}{2}\) sur l’intervalle \([-1;+\infty[\).
1. Montrer que \(f(x)\geq\, 0\) et \(g(x)\geq\, 0\) pour tout x appartenant à \([-1;+\infty[\).
2. Calculer \((f(x))^2\) et \((g(x))^2\).
3. Démontrer que \((f(x))^2\leq\, (g(x))^2\) pour tout x appartenant à \([-1;+\infty[\).
4. En déduire une comparaison de f et g sur l’intervalle \([-1;+\infty[\).
5. Tracer sur un même repère les représentations graphiques de f et g sur l’intervalle \([-1;+\infty[\).
Exercice 5 – Fonction composée (variations de fonctions)
On considère la fonction f définie par \(f(x) = x^2 – 1\) sur \(\mathbb{R}\).
Donner une formule explicite de la fonction \(f\circ g\) lorsque :
1. \(g(x)=\sqrt{x-1}\) sur \([1;+\infty[\).
2. \(g(x)=1-\frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
Exercice 6 – Parité
Etudier la parité de chacune des fonctions suivantes :
\(f(x)=x+\frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\)
\(g(x)=x^2+\frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\)
\(h(x)=x+\frac{1}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*\)
\(k(x)=x^2+\frac{1}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*\)
Exercice 7 – Etude de fonction numérique (variations de fonctions)
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2+6x+5\)
1. Etudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de \(f\) et la droite \(D\) d’équation \(y=\frac{1}{2}x-2\).
Exercice 8
Etudier les variations sur \(\mathbb{R}\) de la fonction f définie par \(f(x)=3x-4x^3\) .
Exercice 9 (variations de fonctions)
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}\).
1. Etudier les variations de f sur \(\mathbb{R}\) .
2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .
3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de \(f\) au point A.
Exercice 10
Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction \(f\) définie par :
\(f(x)=\frac{-5x^2+4x-8}{x^2+x-2}\) .
Exercice 11 – Forme canonique et factorisée (variations de fonctions)
Déterminer la forme canonique et factorisée de :
\(f:x \mapsto 2x^2-2(\sqrt{3}-\sqrt{5})x-2\sqrt{15}\)
Exercice 12 – Etude de fonctions du second degré
On note \(f\) et \(g\) deux fonctions polynômes du second degré, définies par :
\(f:x\mapsto 2x^2+2x-4\) et \(g:x\mapsto -(x+3)(x+2)\)
On note \(C_f\) et \(C_g\) leur représentation graphique respectives dans un repère orthogonal \((O,\vec{i},\vec{j})\).
1. Déterminer le domaine de définition de \(f\) puis celui de \(g\).
2. Déterminer la forme canonique puis factorisée de \(f(x)\).
3. Déterminer la forme développée puis canonique de \(g(x)\).
4. Déterminer les coordonées des points d’intersection entre \(C_f\) et les axes du repère.
5. Déterminer les coordonées des points d’intersection entre \(C_g\) et les axes du repère.
6. Dresser le tableau de variation de \(f\) puis celui de \(g\).
7. Décrire \(C_f\) puis \(C_g\).
8. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre \(C_f\) et \(C_g\).
9. Etudier la position relative entre les deux courbes \(C_f\) et \(C_g\).
Exercice 13 – Etude d’une fonction inverse et de l’hyperbole (variations de fonctions)
f est la fonction \(x \mapsto \frac{2}{x}\) définie sur \(\mathbb{R}^*\).
g est la fonction \(x \mapsto -x+3\) définie sur \(\mathbb{R}\).
Dans un repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j})\), C et D sont les courbes représentant f et g.
1. Tracer les courbes C et D.
2. Démontrer que le point d’abscisse 1 de D appartient à C.
Trouver le second point d’intersection de ces courbes.
indication : Vérifier que \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\)
3. Vérifier les coordonnées de ces points d’intersection sur le graphique.
4. Construire l’ensemble des points M(x; y) tels que \(x^2y^2=4\).
5. Un rectangle a pour aire 2 m² et pour périmètre 6m.
En utilisant le graphique précédent, trouver sa longueur et sa largeur.
Exercice 14 – Etude d’une fonction
On considère la fonction f définie par :
\(f(x)=\frac{(1-x^2)^2}{1+x^2}\)
1. Déterminer son ensemble de définition.
2. Démontrer que f est une fonction positive sur \(\mathbb{R}\).
3. Etudier la parité de la fonction f.
4. Tracer soigneusement la représentation graphique Cf de la fonction f.
On se limitera à l’intervalle [- 3 ; 3 ].
5. Donner, par lecture graphique, la valeur du maximum de la fonction f sur :
a. l’intervalle [-1;1].
b. l’intervalle [-2;1].
6. Résoudre l’inéquation \(f(x)\leq\, 1\).
Exercice 15 – Comparaison de fonctions (variations de fonctions)
Le but de cet exercice est de comparer les fonctions f et g définies par :
\(f(x)=\sqrt{1+x}\) et \(g(x)=1+\frac{x}{2}\) sur l’intervalle \([-1;+\infty[\).
1. Montrer que \(f(x)\geq\, 0\) et \(g(x)\geq\, 0\) pour tout \(x\in[-1;+\infty[\).
2. Calculer \((f(x))^2\) et \((g(x))^2\).
3. démontrer que \((f(x))^2\leq\, (g(x))^2\) pour tout \(x\in[-1;+\infty[\).
4. En déduire une comparaison de f et g sur l’intervalle \([-1;+\infty[\).
5. Tracer sur un même repère les représentation graphique de f et g sur l’intervalle \([-1;+\infty[\).
Exercice 16 – Parité
Etudier la parité des fonctions suivantes :
\(f(x)=x+\frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\)
\(g(x)=x+\frac{1}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*\)
Exercice 17 – Composée (variations de fonctions)
On considère la fonction f définie par \(f(x)=x^2-1\) sur \(\mathbb{R}\) .
Donner une formule explicite de la fonction \(f\circ g\) lorsque :
\(g(x)=\sqrt{1-x}\) sur \(]-\infty;1]\) puis \(g(x)=1-\frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
Exercice 18 – Composée de fonctions de référence
Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\sqrt{4x-1}\) sur \(I=[\frac{1}{4};+\infty[.\)
En considérant la fonction f comme la composée de fonctions de référence, préciser le sens de variations de f sur l’intervalle I.
Exercice 19 – Sens de variation d’une fonction composée (variations de fonctions)
On donne \(f(x)=-3x+1\) et \(g(x)=\frac{1}{x}\) .
On définit la fonction \(h\) définie sur \(I=]-\infty;\frac{1}{3}[\) par \(h=g\circ f\).
1. Donner l’expression de \(h(x)\) .
2. Déterminer le sens de variation de \(h\) sur I .
Exercice 20 – Ensemble de définition d’une fonction composée
On considère les fonctions f et g définies par :
\(f(x)=x^2-1\) et \(g(x)=\frac{x+1}{x}\).
1. Calculer \(g\circ f(x)\) .
2. Quel est l’ensemble de définition de \(g\circ f\) ?
Exercice 21 – Fonction majorée (variations de fonctions)
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac{2x^2}{x^2+3}\) .
1. Déterminer les réels a et b tels que \(f(x)=a+\frac{b}{x^2+3}\) .
2. Montrer que f est majorée par 2.
Exercice 22 – Forme canonique
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=3x^2-12x+21\)
1. Déterminer la forme canonique de \(f\).
2. Décrire la courbe de \(f\) .
Exercice 23 – Tracer la courbe de la somme de deux fonctions (variations de fonctions)
u et v sont représentées ci-dessous.
Tracer sur ce graphique la courbe représentative de la fonction u + v.
Exercice 24 – Exploitation d’un tableau de variation
Voici le tableau de variations d’une fonction \(f\) :
| \(x\) | \(-8\) | \(1\) | \(8\) | ||
| \(f(x)\) | ↗ | \(3\) | ↘ |
On donne f( – 2) = – 1 et f(2) = 0.
On définit les fonctions suivantes :
\(h:x \mapsto f(x)+2\) ; \(r:x \mapsto f(x+2)\) ; \(p:x \mapsto f(2x)\) ; \(g:x \mapsto 2f(x)\)
1. Donner les valeurs de g (1), h (2), p (1) et r ( – 1).
2. Etablir les tableaux de variations de h, r, p et g.
Exercice 25 – Fonction rationnelle (variations de fonctions)
Soit la fonction \(f\) définie par :
\(f(x)=\frac{2x+3}{3x+2}\)
1. Etudier les limites de f. Interpréter graphiquement.
2. Etudier les variations de f. Donner le tableau de variations complet.
3. Déterminer les éventuelles intersections de (Cf ) avec l’axe des abscisses.
Exercice 26 – Fonctions composées commutatives
Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=2x^2-1\) et \(g(x)=4x^3-3x.\)
Démontrer que \(f\circ g=g\circ f.\)
Exercice 27 – Comparaison de racines (variations de fonctions)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs ou nuls.
1. Développer \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2.\)
2. Démontrer que \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\, \sqrt{a+b}.\)
Exercice 28 :
1)Recopier et compléter les phrases suivantes.
a) » La parabole \(P\) et la droite d se coupent en … ».
b) » La parabole \(P\) est située strictement au-dessus de la droite d sur … ».
« La parabole \(P\) est située strictement en-dessous de la droite d sur … ».
2)En déduire les solutions des équations et inéquations.
a) f(x) = g(x). b) f(x)>g(x). c) f(x) < g(x).
Exercice 29 (variations de fonctions)
1)Etudier la position relative de la parabole \(P\) et de la droite \(d\).
2)En déduire les solutions des équations et des inéquations suivantes :
a) f(x) = g(x). b) f(x)>g(x). c) f(x) < g(x).
Exercice 30 :
Soient f et g deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) dont les courbes \(C_f\) et \(C_g\) sont représentées
ci-dessous dans un repère du plan.
1)Etudier la position relative des courbes \(C_f\) et \(C_g\) .
2) En déduire les solutions des équations et inéquations suivantes.
a) f(x) = g(x). b) f(x)>g(x). c) f(x) < g(x).
Exercice 31 (variations de fonctions)
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [- 5 ; 6 ].
La courbe représentative de f est tracée ci-dessous dans un repère du plan.
1)Décrire les variations de f sur [- 5 ; 6].
2) En déduire le tableau de signes de la fonction dérivée \(f^{\prime}\) sur [- 5 ; 6 ].
Exercice 32 :
Soit g une fonction dérivable sur \(]0;+\infty[\) et \(g^{\prime}\) sa dérivée.
On donne le tableau de signes de \(g^{\prime}\).
| \(x\) | \(0\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||
| Signe de \(g^{\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) |
La fonction g admet-elle un extremum local ?
Si oui, est-ce un maximum ?
Exercice 33 (variations de fonctions)
Soit g une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g^{\prime}\) sa dérivée.
On donne le tableau de signes de \(g^{\prime}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-8\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
| Signe de \(g^{\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
1)La fonction g admet-elle un minimum local ?
Si oui, en quelle valeur ?
2)La fonction g admet-elle un maximum local ?
Si oui, en quelle valeur?
Exercice 34 :
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac{3}{4}x^2-15x+100\).
1)Justifier que f est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel x.
2)Dresser le tableau de signes de \(f^{\prime}(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
3)En déduire que f admet un extremum local en une valeur que l’on déterminera.
Exercice 35 (variations de fonctions)
On a le tableau de variations d’une fonction g définie et dérivable sur [- 5 ; 8 ].
| \(x\) | \(-5\) | \(-2\) | \(3\) | \(8\) | |||
| Variations de \(g\) | \(1\) | ↗ | \(9\) | ↘ | \(-1\) | ↗ | \(0\) |
a)Donner un encadrement de g(x) lorsque \(3\leq\, x\leq\, 8\).
b)Donner un encadrement de g(x) lorsque \(-2\leq\, x\leq\, 3\).
c)Donner un encadrement de g(x) lorsque \(-5\leq\, x\leq\, 3\).
d) Soient a et b deux réels tels que \(-5\leq\, a\lt b\leq\, -2\). Comparer g(a) et g(b).
e) Soient a et b deux réels tels que \(-2\leq\, a\lt b\leq\, 3\).
Comparer g(a) et g(b).
f) Soit \(a\in[-5;-2]\) et \(b\in[3;8]\). Comparer g(a) et g(b).
Exercice 36 :
1. Etudier la position relative de la parabole \(P\) et de la droite d.
2. En déduire les solutions des équations et inéquations.
a) f(x) = g(x)
b) f(x) > g(x)
c) f(x) < g(x)
Exercice 37 (variations de fonctions)
1.Étudier la position relative de la parabole \(P\) et de la droite d.
2.En déduire les solutions des équations et inéquations suivantes :
a) f(x) = g(x)
b) f(x) > g(x)
c) f(x) < g(x)
Exercice 38 :
Soient f et g deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) dont les courbes \(C_f\) et \(C_g\) sont représentées ci-dessous dans un repère du plan.
1 . Étudier la position relative des courbes \(C_f\) et \(C_g\).
2. En déduire les solutions des équations et inéquations suivantes.
a) f(x) = g(x)
b) f(x) > g(x)
c) f(x)< g(x)
Exercice 39 (variations de fonctions)
Soit f et g deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-3x+7\) et \(g(x)=5x-9\).
1. Montrer, que pour tout réel x, \(f(x)-g(x)=x^2-8x+16\).
2. Étudier, selon les valeurs de x, le signe de f(x) — g(x).
3. En déduire la position relative des courbes \(C_f\) et \(C_g\).
Exercice 40 :
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [- 5 ; 6].
La courbe représentative de f est tracée ci-dessous dans un repère du plan.
1.Décrire les variations de f sur [- 5 ; 6].
2.En déduire le tableau de signes de la fonction dérivée \(f^{\prime}\) sur [-5 ; 6].
Exercice 41 :
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [- 2 ; 10].
Sa dérivée est la fonction \(f^{\prime}\) représentée par la courbe ci-dessous dans un repère du plan.
1 . Lire graphiquement le signe de \(f^{\prime}(x)\) selon les valeurs de x de l’intervalle [ – 2 ; 10].
Et présenter vos résultats dans un tableau de signes.
2. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [ – 2 ; 10].
Exercice 42 :
Soit f une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}\) sa dérivée. On donne le tableau de signes de \(f^{\prime}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(5\) | \(+\infty\) | ||
| Signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
La fonction f admet-elle un extremum local ? Si oui, est-ce un maximum ou un minimum ?
Exercice 43 :
Soit g une fonction dérivable sur \(]0;+\infty[\) et \(g^{\prime}\) sa dérivée.
On donne le tableau de signes de \(g^{\prime}\).
| \(x\) | \(0\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||
| Signe de \(g^{\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) |
La fonction g admet-elle un extremum local ? Si oui, est-ce un maximum ou un minimum ?
Exercice 44 :
Soit f une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}\) sa dérivée.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(-1\) | \(+\infty\) | |||
| Signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
On donne le tableau de signes de \(f^{\prime}\).
1. La fonction f admet-elle un minimum local ? Si oui, en quelle valeur ?
2. La fonction f admet-elle un maximum local ? Si oui, en quelle valeur ?
Exercice 45 :
Soit g une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g^{\prime}\) sa dérivée.
On donne le tableau de signes de \(g^{\prime}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-8\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
| Signe de \(g^{\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
1. La fonction g admet-elle un minimum local ? Si oui, en quelle valeur ?
2. La fonction g admet-elle un maximum local ? Si oui, en quelle valeur ?
Exercice 46 :
Soit un segment [AB] de longueur 10 et M un point de ce segment.
Du même côté de ce segment, on construit deux carrés AMNP et MBCD.
On pose AM = x et on étudie l’aire du domaine formé par ces deux carrés en fonction de x.
1.A quel intervalle I appartient le réel x ?
2. Soit f(x) l’aire du domaine.
Montrer que, pour tout réel x de I, on a:
\(f(x)=2x^2-20x+100.\)
3. Justifier que la fonction f est dérivable sur I et déterminer \(f^{\prime}(x)\) pour tout x de I.
4. En déduire les variations de f sur I et la valeur de x pour laquelle l’aire du domaine est minimale.
Exercice 47 :
Soit f une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac{1}{4}x-5\) et g une fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(g(x)=-\frac{7}{x}\).
a) Montrer que, pour tout réel x non nul :
\(f(x)-g(x)=\frac{\frac{1}{4}x^2-5x+7}{x}\).
b) Étudier, selon les valeurs de x, le signe de f(x) — g(x).
c) En déduire la position relative des courbes \(C_f\) et \(C_g\).
Exercice 48 :
On a le tableau de variations d’une fonction g définie et dérivable sur [ – 5 ; 8] :
| \(x\) | \(-5\) | \(-2\) | \(3\) | \(8\) | |||
| Variations de \(g\) | \(1\) | ↗ | \(9\) | ↘ | \(-1\) | ↗ | \(0\) |
a) Donner un encadrement de \(g(x)\) lorsque \(3\leq\, x\leq\, 8\).
b) Donner un encadrement de \(g(x)\) lorsque \(-2\leq\, x\leq\, 3\).
c) Donner un encadrement de \(g(x)\) lorsque \(-5\leq\, x\leq\, 3\).
d) Soient a et b deux réels tels que \(-5\leq\, a\lt b\leq\, -2.\)
Comparer g(a) et g(b).
e) Soient a et b deux réels tels que \(-2\leq\, a\lt b\leq\, 3.\)
Comparer g(a) et g(b).
f) Soit \(a\in[-5;-2]\) et \(b\in[3;8]\).
Comparer g(a) et g(b).
Variations de fonctions : méthode de travail
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Fonction (mathématiques) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec barycentre : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
