Fonctions : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le corrigé des exercices de maths en 1ère sur les fonctions numériques. Calculs d’image et d’antécédent et créer le tableau de signes. Déterminer le sens de variation d’une fonction.

Exercice 1 :
Donner une décomposition de la fonction définie par

qui permette d’en déduire son sens de variation sur l’intervalle $I =] - \infty ; 3]$ .

Considérons les fonctions g et h définies par et

alors

or g et h sont deux fonctions croissantes sur I donc f est croissante sur I en tant que composée de

fonctions croissantes sur cet intervalle.

Exercice 2 :

On considère la fonction définie par $f(x)=x(1-x)\,sur\,\mathbb{R}.$

1. Démontrer que $f(x)\leq\, \frac{1}{4}\,,\gamma x\in\mathbb{R}.$

f est une fonction polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$f'(x)=1\times (1-x)+x\times (-1)=1-x-x=1-2x$

f’ est une fonction affine de coefficient directeir a = – 2 <0 donc f’ est décroissante sur R.

et s’annule en $x=\frac{1}{2}$ .

Conclusion : f’ est positive sur $]-\infty;\frac{1}{2}]$ donc f est croissante sur $]-\infty;\frac{1}{2}]$

et décroissante sur $[\frac{1}{2};+\infty[$ .

elle admet un maximum en $x=\frac{1}{2}$ .

$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

ainsi $f(x)\leq\, \frac{1}{4}\,,\gamma x\in\mathbb{R}.$

2. En déduire que la fonction admet un maximum en $x=\frac{1}{2}.$

Voir la réponse de la question 1.

3. Démontrer que $f(x)=\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2$ .

$\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2=(\frac{1}{2})^2-(x-\frac{1}{2})^2=(\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}-x+\frac{1}{2})=x(-x+1)=x(1-x)=f(x)$

4. En déduire que est croissante sur l’intervalle $]-\infty;\frac{1}{2}[$ et décroissante sur $]\frac{1}{2};+\infty[$ .

Voir la question 1…..

Exercice 3 :

Le but de cet exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{1}{1+x^4}\,et\,g(x)=\frac{1}{1+x^2}$

1. Calculer .

$f(x)-g(x)=\frac{1}{1+x^4}-\frac{1}{1+x^2}$

$f(x)-g(x)=\frac{(1+x^2)-(1+x^4)}{(1+x^4)(1+x^2)}$

$f(x)-g(x)=\frac{x^2-x^4}{(1+x^4)(1+x^2)}$

$f(x)-g(x)=\frac{x^2(1-x^2)}{(1+x^4)(1+x^2)}$

$f(x)-g(x)=\frac{x^2(1-x)(1+x)}{(1+x^4)(1+x^2)}$

2. En déduire l’intervalle sur lequel on a $f\geq\, g.$

le signe de est celui de car tous les autres termes sont positifs .

Conclusion : $f\geq\, g$ pour $x\in[-1;1]$

Exercice 4 :

1. La fonction f est définie sur tout l’intervalle [-1; +∞[, et il est connu que la racine carrée d’un nombre réel est toujours positive ou nulle.

Donc f(x) est positive ou nulle pour tout x dans l’intervalle [-1; +∞[.

De même, la fonction g(x) est de la forme 1 + x/2, et comme x est supérieur ou égal à -1, on a g(x) qui est positif ou nul.

2. On a :

$,(f(x),,)^2=(\sqrt{1+x})^2=1+x$

$,(g(x),,)^2=( 1+\frac{x}{2})^2=1+x+\frac{x^2}{4}$

3. Pour tout x dans l’intervalle [-1; +∞[, on a :

$,(f(x),,)^2=1+x\leq\, 1+x+\frac{x^2}{4}= (g(x) )^2$

4. Ainsi, on a $f(x)\leq\,,g(x)$ pour tout x dans l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

On peut dire que la fonction f(x) est inférieure ou égale à la fonction g(x), ce qui signifie que g(x) est toujours « au-dessus » ou « au moins égale » à f(x).

5. Voici le graphique demandé :

Exercice 5 :
On considère la fonction f définie par sur $\mathbb{R}$ .

Donner une formule explicite de la fonction lorsque :

1. $g(x)=\sqrt{x-1}\,sur\,[1;+\infty[$

$fog(x)=(\sqrt{x-1})^2-1= | x-1 |-1=x-1-1=x-2$ car $x-1\geq\, 0\,sur\,[1;+\infty[$

2. $g(x)=1-\frac{1}{x}\,sur\,\mathbb{R}^*$

$fog(x)=(1-\frac{1}{x})^2-1$

Exercice 6 :
$f(x)=x+\frac{1}{x}\,sur\,\mathbb{R}^*\\g(x)=x^2+\frac{1}{x}\,sur\,\mathbb{R}^*\\h(x)=x+\frac{1}{x^2}\,sur\,\mathbb{R}^*\\k(x)=x^2+\frac{1}{x^2}\,sur\,\mathbb{R}^*$

Nous avons $f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-x-\frac{1}{x}=-f(x)$

donc la fonction f est impaire .

La fonction g n’est ni paire ni impaire.

La fonction h n’est ni paire ni impaire.

Nous avons :
$k(-x)=(-x)^2+\frac{1}{(-x)^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=k(x).$

donc la fonction k est paire.

Exercice 7 :
Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
1. sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction polynômiale.

$f'(x)\ge 0 \Leftrightarrow 2x+6\ge0\Leftrightarrow x\ge -3$
donc f est croissante sur $[-3;+\infty[$ et décroissante sur -\infty;3] » alt= » » />

2. Résolvons l’équation : .
$x^2+6x+5=\frac{1}{2}x-2$

$\Leftrightarrow x^2+\frac{11}{2}x+7=0$
$\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{121}{16}+7=0$
$\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{121}{16}+\frac{112}{16}=0$
$\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{121}{16}+\frac{112}{16}=0$
$\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{9}{16}=0$
$\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{3^2}{4^2}=0$
$\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4}-\frac{3}{4})(x+\frac{11}{4}+\frac{3}{4})=0$
$\Leftrightarrow (x+\frac{8}{4})(x+\frac{14}{4})=0$
Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
$\Leftrightarrow x=-\frac{8}{4}=-2\,ou\,x=-\frac{14}{4}=-3,5$
de plus les ordonnées des points d’intersection vérifient :
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}x-2=\frac{-2}{2}-2=-3\,et\,\frac{1}{2}x-2=\frac{-3,5}{2}-2=-3,75$
Donc les deux courbes se coupent aux points A(-2;-3) et B(-3,5;-3,75).

Exercice 8 :

Etudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction f définie par .

f est une fonction polynômiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ .

avec un tableau des signes, nous montrons que f ‘ est positive ou nulle sur $[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]$
donc f est croissante sur $[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]$

Exercice 9 :

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}$ .

1. f est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction rationnelle.
$f'(x)=\frac{-4\times (x^2+2x+5)-(-4x-4)\times (2x+2)}{(x^2+2x+5)^2}$
$f'(x)=\frac{-4x^2-8x-20-(-8x^2-8x-8x-8)}{(x^2+2x+5)^2}$
$f'(x)=\frac{-4x^2-8x-20+8x^2+16x+8)}{(x^2+2x+5)^2}$
$f'(x)=\frac{4x^2+8x-12}{(x^2+2x+5)^2}$
$f'(x)=\frac{4(x^2+2x-3)}{(x^2+2x+5)^2}$
$f'(x)=\frac{4(x-1)(x+3)}{(x^2+2x+5)^2}$
En effectuant un tableau des signes, nous obtenons :
f ‘ négative ou nulle sur donc f est décroissante sur .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .
$f(x)=0\Leftrightarrow -4x-4=0 \Longleftrightarrow x= -1$
Donc les coordonnées du point A(-1;0) .

3. $f(-1)=0 et f'(-1)=\frac{4(-1-1)(-1+3)}{(1-2+5)^2}=\frac{-16}{16}=-1$

L’équation de la tangente en A à la courbe de f est y = – x – 1 .

Exercice 10 :

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction définie par :
$f(x)=\frac{-5x^2+4x-8}{x^2+x-2}$ .
C’est le même principe que précédemment
Montrer que f est croissante sur $[0;\frac{28}{9}]\,donc\,sur\,[0;1[$ .

Exercice 11 :

Pour trouver la forme canonique d’une fonction quadratique, on utilise la formule suivante:

$f(x)\,=\,a(x-h)^2\,+\,k$

où (h, k) sont les coordonnées du sommet de la parabole.

Dans notre cas, la fonction est $f(x)\,=\,2x^2\,-\,2(\sqrt{3}-\sqrt{5})x\,-\,2\sqrt{15}$ .

Pour simplifier les calculs, commençons par développer le terme au milieu:

$f(x)\,=\,2x^2\,-\,2\sqrt{3}x\,+\,2\sqrt{5}x\,-\,2\sqrt{15}$

Regroupons les termes de x:

$f(x)\,=\,2x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})x\,-\,2\sqrt{15}$

Maintenant, pour trouver la forme canonique, nous devons compléter le carré. Pour cela, nous devons trouver le nombre qui, une fois ajouté à notre expression, donnera un carré parfait. Le nombre que nous devons ajouter est $(\frac{b}{\,2a})^2$ , où b est le coefficient de x et a est le coefficient de x^2 .

Dans notre cas, a = 2 et $b\,=\,2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3}$ .

$(b/2a)^2\,=\,\frac{\,2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3}\,}{(2\,\times \,2)\,^2}\,=\,\frac{(\,\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3}\,)^2}{2\,^2}\,=\,\frac{(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})^2}{\,4}$

Maintenant, ajoutons et soustrayons ce terme à notre expression:

$f(x)\,=\,2x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})x\,-\,2\sqrt{15}\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})^2/4\,-\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})^2/4$

Regroupons les termes:

$f(x)\,=\,2x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})x\,-\,2\sqrt{15}\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})^2/4\,-\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})^2/4\,\\\\f(x)\,=\,2x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})x\,-\,2\sqrt{15}\,+\,(\sqrt{5}^2\,-\,2\sqrt{5}\sqrt{3}\,+\,\sqrt{3}^2)/4\,-\,(\sqrt{5}^2\,-\,2\sqrt{5}\sqrt{3}\,+\,\sqrt{3}^2)/4\,\\\\f(x)\,=\,2x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})x\,-\,2\sqrt{15}\,+\,(5\,-\,2\sqrt{15}\,+\,3)/4\,-\,(5\,-\,2\sqrt{15}\,+\,3)/4\,\\\\f(x)\,=\,2x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})x\,-\,2\sqrt{15}\,+\,8/4\,-\,8/4$

Simplifions davantage:

$f(x)\,=\,2x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})x\,-\,2\sqrt{15}\,+\,2\,-\,2\,\\\\f(x)\,=\,2x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})x\,-\,2\sqrt{15}$

Maintenant, nous pouvons réécrire la fonction en utilisant la forme canonique:

$f(x)\,=\,2(x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})/2x)\,-\,2\sqrt{15}\,\\\\f(x)\,=\,2(x^2\,+\,(2\sqrt{5}\,-\,2\sqrt{3})/2x\,+\,((\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})^2\,-\,8)/4)\,-\,2\sqrt{15}\,\\\\f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,2\sqrt{15}\,+\,2(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})^2\,-\,8)/4\,\\\\f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,2\sqrt{15}\,+\,(2\sqrt{5}^2\,-\,4\sqrt{5}\sqrt{3}\,+\,2\sqrt{3}^2\,-\,8)/4\,\\\\f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,(2\sqrt{15}\,-\,2\sqrt{5}^2\,+\,4\sqrt{5}\sqrt{3}\,-\,2\sqrt{3}^2\,+\,8)/4\,\\\\f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,(2\sqrt{15}\,-\,10\,-\,4\sqrt{15}\sqrt{3}\,+\,6\,+\,8)/4\,\\f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,(2\sqrt{15}\,-\,4\sqrt{15}\sqrt{3})/4\,\\f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,2(\sqrt{15}\,-\,2\sqrt{15}\sqrt{3})/4\,\\f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,2(\sqrt{15}(1\,-\,\sqrt{3}))/4$

Simplifions encore:

$f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,\sqrt{15}(1\,-\,\sqrt{3})$

Donc, la forme canonique de la fonction est $f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,\sqrt{15}(1\,-\,\sqrt{3})$

Maintenant, pour trouver la forme factorisée de la fonction, nous pouvons utiliser la forme canonique:

$f(x)\,=\,2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,\sqrt{15}(1\,-\,\sqrt{3})$

Pour trouver les facteurs, nous devons annuler la fonction en posant f(x) égal à zéro:

$2(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,-\,\sqrt{15}(1\,-\,\sqrt{3})\,=\,0\,\\\\(x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)^2\,\\\\=\,\sqrt{15}(1\,-\,\sqrt{3})/2\,\\\\x\,+\,(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2\,\\\\=\,+\pm\,\sqrt{(\sqrt{15}(1\,-\,\sqrt{3})/2)}\,\\\\\,x\,=\,-(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2\,\pm\,\sqrt{\,(\sqrt{15}(1\,-\,\sqrt{3})/2)}\,\\\\\,x\,=\,(-\sqrt{5}\,+\,\sqrt{3})/2\,\pm\,\sqrt{(\sqrt{15}(1\,-\,\sqrt{3})/2)}$

Par conséquent, la forme factorisée de la fonction est $f(x)\,=\,2(x\,-\,(-\sqrt{5}\,+\,\sqrt{3})/2)(x\,-\,(-\sqrt{5}\,-\,\sqrt{3})/2)$

Exercice 12 :

1. Le domaine de définition de f est l’ensemble des réels, car la fonction polynôme du second degré est définie pour tous les x.

Le domaine de définition de g est également l’ensemble des réels, car la fonction polynôme du second degré est définie pour tous les x.

2. La forme canonique d’un polynôme du second degré est donnée par :

$f(x)\,=\,a(x\,-\,h)^2\,+\,k$

où (h, k) sont les coordonnées du sommet de la parabole.

Pour le polynôme $f(x)\,=\,2x^2\,+\,2x\,-\,4$ , nous devons d’abord compléter le carré :

$f(x)\,=\,2(x^2\,+\,x)\,-\,4\,\\\\f(x)\,=\,2(x^2\,+\,x\,+\,1/4\,-\,1/4)\,-\,4\,\\\\f(x)\,=\,2((x\,+\,1/2)^2\,-\,1/4)\,-\,4\,\\\\f(x)\,=\,2(x\,+\,1/2)^2\,-\,1/2\,-\,4$

Donc, la forme canonique de f(x) est $f(x)\,=\,2(x\,+\,1/2)^2\,-\,9/2$ .

La forme factorisée de f(x) est $f(x)\,=\,2(x\,+\,1)(x\,-\,2)$ .

3. La forme développée du polynôme g est :

$g(x)\,=\,-(x\,+\,3)(x\,+\,2)$

La forme canonique du polynôme g peut être obtenue en développant l’expression précédente :

$g(x)\,=\,-(x^2\,+\,2x\,+\,3x\,+\,6)\,\\g(x)\,=\,-(x^2\,+\,5x\,+\,6)$

Donc, la forme développée de g(x) est $g(x)\,=\,-x^2\,-\,5x\,-\,6$ .

4. Pour trouver les coordonnées des points d’intersection de f avec les axes du repère, nous devons mettre f(x) égal à zéro :

$2x^2\,+\,2x\,-\,4\,=\,0$

Nous pouvons résoudre cette équation en utilisant la factorisation :

$2(x\,+\,2)(x\,-\,1)\,=\,0$

Cela donne les solutions x = -2 et x = 1.

Donc, les coordonnées des points d’intersection de f avec les axes du repère sont (-2, 0) et (1, 0).

5. Pour trouver les coordonnées des points d’intersection de g avec les axes du repère, nous devons mettre g(x) égal à zéro :

$-(x\,+\,3)(x\,+\,2)\,=\,0$

Nous pouvons résoudre cette équation en utilisant la factorisation :

$(x\,+\,3)(x\,+\,2)\,=\,0$

Cela donne les solutions x = -3 et x = -2.

Donc, les coordonnées des points d’intersection de g avec les axes du repère sont (-3, 0) et (-2, 0).

6. Tableau de variation de f :

En utilisant la forme canonique de $f(x)\,=\,2(x\,+\,1/2)^2\,-\,9/2$ , nous voyons que le coefficient a (2) est positif. Cela signifie que la parabole ouverte vers le haut et que f atteint son minimum en son sommet.

On peut donc dire que f est strictement croissante sur son domaine de définition.

Tableau de variation de g :

En utilisant la forme développée de $g(x)\,=\,-x^2\,-\,5x\,-\,6$ , nous voyons que le coefficient a (-1) est négatif. Cela signifie que la parabole est ouverte vers le bas et que g atteint son maximum en son sommet.

On peut donc dire que g est strictement décroissante sur son domaine de définition.

7. C_f représente une parabole ouverte vers le haut, avec son sommet situé à (-1/2, -9/2).

La courbe s’étend à l’infini des deux côtés.

C_g représente une parabole ouverte vers le bas, avec son sommet situé à (-5/2, -19/4).

La courbe s’étend à l’infini des deux côtés.

8. Les coordonnées des points d’intersection entre C_f et C_g sont les solutions de l’équation f(x) = g(x) :

$2x^2\,+\,2x\,-\,4\,=\,-x^2\,-\,5x\,-\,6$

$3x^2\,+\,7x\,+\,2\,=\,0$

Nous pouvons résoudre cette équation en utilisant la factorisation ou la formule quadratique pour trouver les coordonnées des points d’intersection.

9. Pour étudier la position relative entre C_f et C_g , nous pouvons comparer les graphiques des deux fonctions polynômes du second degré.

Pour cela, il est utile de connaître les coordonnées des points d’intersection entre les deux courbes (réponse de la question précédente).

En comparant les graphiques, nous pouvons dire que C_f est située au-dessus de C_g .

Donc, la parabole représentant f(x) est au-dessus de la parabole représentant g(x).

Exercice 13 :

f est la fonction $x \mapsto \frac{2}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ .

g est la fonction $x \mapsto -x+3$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Dans un repère orthonormal (O,i,j) , C et D sont les courbes représentant f et g.

1. Tracer les courbes C et D.

2. Démontrer que le point d’abscisse 1 de D appartient à C.

$f(1)=\frac{2}{1}=2$

Trouver le second point d’intersection de ces courbes.

$\frac{2}{x}=-x+3$

Un produit de facteur est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

x= 1 ou x=2 sont les abscisses des deux points d’intersection.

D’ailleurs, on le vérifie aisément sur la courbe.

indication : Vérifier que $x^2\,-\,3x\,+\,2\,=\,(x\,-\,1)(x\,-\,2)$

3. Vérifier les coordonnées de ces points d’intersection sur le graphique.

Voir le graphique

Exercice 14 :

1) f est définie sur $\mathbb{R}$ car son dénominateur ne s’annule jamais .

2) f est le quotient de deux nombres positifs donc f est positive sur $\mathbb{R}$ .

3) $f(-x)=\frac{(1-(-x)^2)^2}{1+(-x)^2}$

$f(-x)=\frac{(1-x^2)^2}{1+x^2}=f(x)$

Conclusion : f est paire sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 15 :

1. Comme f(x) et g(x) contiennent des racines carrées et des divisions, il est important de vérifier que ces fonctions sont bien définies pour tout x de l’intervalle [-1;+∞[.

On remarque que :

– Pour f(x), le radicande est 1+x, qui est positif ou nul pour tout x de l’intervalle [-1;+∞[.

Il s’ensuit que f(x) est également positif ou nul pour tout x de cet intervalle.
– Pour g(x), le dénominateur est 2, qui est non nul.

Il s’ensuit que g(x) est également positif ou nul pour tout x de l’intervalle [-1;+∞[.

2. Calculons maintenant les carrés de f(x) et g(x) :

$(f(x))^2\,=\,(\sqrt{\,1+x}\,)^2\,=\,1+x$
$(g(x))^2\,=\,(1+\frac{x}{2})^2\,=\,1\,+\,x\,+\,\frac{x^2}{4}$

3. On doit démontrer que $(f(x))^2\,\leq\,\,(g(x))^2$ pour tout x de l’intervalle [-1;+∞[. C’est-à-dire :

$1+x\,\leq\,\,1\,+\,x\,+\,\frac{x^2}{\,4}$ ce qui est vrai pour tout x.

On remarque que les deux termes de l’inégalité sont positifs ou nuls pour tout x de l’intervalle, donc il est possible d’élever au carré les deux membres sans changer le sens de l’inégalité.

4. On vient de démontrer que pour tout x de l’intervalle [-1;+∞[, $(f(x))^2\,\leq\,\,(g(x))^2$ .

Comme les fonctions f et g sont positives sur cet intervalle, on peut en prendre la racine carrée des deux membres de cette inégalité :

$f(x)\,\leq\,\,g(x)$

donc, pour tout x de l’intervalle, on a f(x) ≤ g(x).

5. Voici un graphique des fonctions f et g sur l’intervalle [-1;+∞[ :

On voit que la fonction f est toujours en dessous de la fonction g, ce qui confirme la conclusion de la question 4.

Exercice 16 :

Etudier la parité des fonctions suivantes :

$f(x)=x+\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$

$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-x-\frac{1}{x}=-f(x)$

donc f est une fonction impaire .

$g(x)=x+\frac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}^*$

$g(-x)=-x+\frac{1}{(-x)^2}$

$g(-x)=-x+\frac{1}{x^2}$

donc g n’est ni paire ni impaire .

Exercice 17:

$fog(x)=\sqrt{1-(1-\frac{1}{x}})$

$fog(x)=\sqrt{\frac{1}{x}}$

${\color{DarkRed},fog(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}}$

Exercice 18 :

Soit la fonction définie par $f(x)=\sqrt{4x-1}$ sur $I=[\frac{1}{4};+\infty[.$
En considérant la fonction f comme la composée de fonctions de référence, préciser le sens de variations de f sur l’intervalle I.

soit et $g(x)=\sqrt{x}$

Nous avons f=goh or g et h sont croissante sur I

donc f est croissante sur I d’après le théorème du cours sur le sens de variation d’une fonction composée.

Exercice 19 :

On donne et $g(x)=\frac{1}{x}$ .

On définit la fonction définie sur $I=]-\infty;\frac{1}{3}[$ par h=gof. .

1. Donner l’expression de h(x) .

$h(x)=gof(x)=\frac{1}{-3x+1}$

2. Déterminer le sens de variation de sur I .

f et g sont décroissante sur cet intervalle

donc d’après le théorème de composition, la fonction h est croissante sur $I=]-\infty;\frac{1}{3}[$ .

La courbe de la fonction h :

Exercice 20 :

On considère les fonctions f et g définies par :

$f(x)=x^2-1\,et\,g(x)=\frac{x+1}{x}$ .

1. Calculer gof(x) .

$gof(x)=\frac{x^2-1+1}{x^2-1}=\frac{x^2}{x^2-1}$

$gof(x)=\frac{x^2-1+1}{x^2-1}=1+\frac{1}{x^2-1}$

2. Quel est l’ensemble de définition de gof ?

Il faut que $x^2-1\neq0$ , c’est à dire $x\neq1\,et\,x\neq-1$ .

Voir Corrigés 11 à 20...

Exercice 21 :

Soit la fonction définie par $f(x)=\frac{2x^2}{x^2+3}$ .

1. Déterminer les réels a et b tels que $f(x)=a+\frac{b}{x^2+3}$ .

$a+\frac{b}{x^2+3}=\frac{a(x^2+3)+b}{x^2+3}=\frac{ax^2+3a+b}{x^2+3}$

par identification, nous obtenons le système de deux équations à deux inconnues suivant :

$\{ a=2\\3a+b=0 .$

$\{ a=2\\6+b=0 .$

$\{ a=2\\b=-6 .$

Conclusion : ${\color{DarkRed} f(x)=2-\frac{6}{x^2+3}}$

2. Montrer que f est majorée par 2.

f est dérivable sur $\mathbb{R}.$

$f'(x)=\frac{6\times 2x}{x^2+3}$

$f'(x)=\frac{12x}{x^2+3}$

donc le signe de f ‘ est celui de 12 x car le dénominateur est toujours strictement positif.

Conclusion : est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$

or $\lim_{x \mapsto - \infty} f(x)= \lim_{x \mapsto -\infty }2-\frac{6}{x^2+3}=2$

et $\lim_{x \mapsto + \infty} f(x)= \lim_{x \mapsto +\infty }2-\frac{6}{x^2+3}=2$

Conclusion : f est majorée par 2

Exercice 22 :

1. La forme canonique d’un trinôme du second degré de la forme $ax^2\,+\,bx\,+\,c$ est donnée par :

$f(x)\,=\,a(x-x_0)^2\,+\,y_0$

où x₀ et y₀ sont les coordonnées du sommet du parabole. Pour trouver ces coordonnées, on peut utiliser la formule x₀ = -b / (2a) et y₀ = f(x₀).

Dans le cas de la fonction $f(x)\,=\,3x^2\,-\,12x\,+\,21$ , on a a = 3 et b = -12. On a donc :

x₀ = -b / (2a) = -(-12) / (2*3) = 2

f(x₀) = f(2) = 3(2)² – 12(2) + 21 = 3

Donc la forme canonique de f(x) est f(x) = 3(x – 2)² + 3.

2. La courbe de la fonction f est une parabole de sommet S(2,3), car sa forme canonique est f(x) = 3(x – 2)² + 3. Cette parabole est tournée vers le haut, car le coefficient devant le carré de x est positif. De plus, elle coupe l’axe des ordonnées en y = 3.

On peut tracer cette courbe sur un graphique :

Exercice 23 :

u et v sont représentées ci-dessous.

Tracer sur ce graphique la courbe représentative de la fonction u + v.

A vous de tracer cette courbe, il suffit d’additionner les deux ordonnées d’une même abscisse

et de tracer la courbe somme point par point .

Exercice 24 :

Voici le tableau de variations d’une fonction définie sur $\mathbb{R}$ :

On donne f( – 2) = – 1 et f(2) = 0.

On définit les fonctions suivantes :

$h:x \mapsto f(x)+2;r:x \mapsto f(x+2);p:x \mapsto f(2x);g:x \mapsto 2f(x)$

1. Donner les valeurs de g (1), h (2), p (1) et r ( – 1).

$g(1)=2f(1)=2\times 3=6$

$p(1)=f(2\times 1)=f(2)=0$

Exercice 25 :

Soit la fonction définie par :

$f(x)=\frac{2x+3}{3x+2}$

1. Etudier les limites de f. Interpréter graphiquement.

$\lim_{x \mapsto -\infty }f(x)=\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)=\frac{2}{3}$

donc C_f admet la droite d’équation $y=\frac{2}{3}$ comme asymptote horizontal en l’infini.

2. Etudier les variations de f. Donner le tableau de variations complet.

3. Déterminer les éventuelles intersections de (Cf ) avec l’axe des abscisses.

$f(x)=0\Leftrightarrow 2x+3=0\Leftrightarrow x=-1,5$

Donc (Cf ) coupe l’axe des abscisses en x = – 1,5 .

Exercice 26 :

Soient et les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

Démontrer que

$fog(x)=2(4x^3-3x)^2-1\\=2(16x^6-24x^4+9x^2)-1\\=32x^6-48x^4+18x^2-1$

$gof(x)=4(2x^2-1)^3-3(2x^2-1)\\=4(8x^6-3\times 4x^4\times 1+3\times 2x^2\times 1^2-1^3)-6x^2+3\\=32x^6-48x^4+24x^2-4-6x^2+3\\=32x^6-48x^4+18x^2-1$

Conclusion : $\forall x\in\mathbb{R}\,,\,fog(x)=gof(x).$

Remarque : on dit que les fonctions f et g sont commutatives .

Exercice 27 :

Soient a,b dans $\mathbb{R}$ .

1. Développer $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2.$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+b$

2. Démontrer que $\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq\, \sqrt{a+b}.$

élevons au carré

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+b})^2$

$=a-2\sqrt{ab}+b-a-b=-2\sqrt{ab}\leq\, 0$

Voir Corrigés 21 à 27...

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