Contrôle de maths spé : intégrales généralisées et intégrabilité

Exercice 1 : Question de cours : intégrales de Riemann et comparaison (4 points)

Calculatrice interdite.

1. Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). Énoncez et démontrez une condition nécessaire et suffisante sur \(\alpha\) pour que \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}\) converge, puis pour que \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha}\) converge. (2 points)
2. Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux sur \([a,b[\), avec \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\), telles que \(0 \leq\, f \leq\, g\). Énoncez et démontrez le théorème de comparaison reliant l’intégrabilité de \(f\) à celle de \(g\). (1,5 point)
3. Énoncez la version de ce théorème utilisant un équivalent au voisinage de \(b\). (0,5 point)

Exercice 2 : Intégrabilité de x^a ln x sur ]0, 1] (4 points)

Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(f_a(x) = x^a \ln x\) pour \(x \in ]0,1]\).

1. Montrez que \(f_a\) est intégrable sur \(]0,1]\) si et seulement si \(a > -1\). (2 points)
2. Pour \(a > -1\), calculez \(\displaystyle\int_0^1 x^a \ln x\,dx\) par une intégration par parties sur \([\varepsilon, 1]\), avec \(\varepsilon \in ]0,1[\). (2 points)

Exercice 3 : Une intégrale convergente non absolument (4 points)

La figure ci-dessous représente la fonction \(x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}\) sur \([1, 40]\), encadrée par les courbes de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) et \(x \mapsto -\dfrac{1}{x}\).

1. À l’aide d’une intégration par parties sur \([1, X]\), montrez que l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx\) converge. (1,5 point)
2. Justifiez que \(|\sin x| \geq\, \sin^2 x = \dfrac{1 – \cos 2x}{2}\), puis montrez que la fonction \(x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}\) n’est pas intégrable sur \([1,+\infty[\). (2 points)
3. Pour \(X \geq\, 1\), on pose \(R(X) = \displaystyle\int_X^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\). Montrez que \(|R(X)| \leq\, \dfrac{2}{X}\). (0,5 point)

Exercice 4 : Intégration par parties et changement de variable (4 points)

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\,dt\).

1. Montrez que \(I_n\) est bien définie. (1 point)
2. Établissez une relation entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\), puis calculez \(I_n\). (1,5 point)
3. Par le changement de variable \(t = u^2\), dont vous justifierez la validité, calculez \(\displaystyle\int_0^{+\infty} u^{2n+1} e^{-u^2}\,du\). (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : équivalent d’un reste d’intégrale (4 points)

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(R(x) = \displaystyle\int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\).

1. Montrez que \(R(x)\) est bien défini, que \(R\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,+\infty[\) et calculez \(R^{\prime}(x)\). (1 point)
2. Pour \(x > 0\), montrez que \(R(x) = \dfrac{e^{-x^2}}{2x} – \displaystyle\int_x^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{2t^2}\,dt\). Déduisez-en que \(R(x) \sim \dfrac{e^{-x^2}}{2x}\) quand \(x \to +\infty\). (2 points)
3. Montrez que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} R(x)\,dx\) converge et calculez sa valeur. (1 point)

Réviser avant le contrôle : intégrales généralisées et intégrabilité

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégrales généralisées » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégrales généralisées.

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