Ce contrôle de maths de L2 porte sur le thème suivant : partiel de S3, fonctions de deux variables.
Ce partiel de fin de semestre 3 de L2 réunit trois chapitres : la topologie de R^n, les limites et dérivées partielles, puis le calcul différentiel. Chaque exercice mêle au moins deux de ces chapitres. Vous démontrerez d’abord le théorème des bornes atteintes sur un fermé borné.
Ensuite, vous étudierez une norme, des limites en l’origine et une fonction qui admet des dérivées dans toutes les directions sans être différentiable. Les points critiques et la matrice hessienne servent enfin à chercher des extrema globaux. Le problème traite un disque fermé, avec l’étude du bord paramétré. Comptez 3 h, sans calculatrice.
- Niveau : licence L2
- Chapitres : Normes et topologie de R^n + Plusieurs variables : limites et dérivées partielles + Différentiabilité, formule de Taylor et extrema
- Durée conseillée : 3 h
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3,5 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 3,5 points ; exercice 5 : 5 points)
- Compétences évaluées :
- Raisonner : démontrer qu’une partie est ouverte, fermée ou compacte et utiliser le théorème des bornes atteintes
- Calculer : étudier limites, dérivées directionnelles et différentiabilité d’une fonction de deux variables
- Chercher : déterminer et classer les points critiques à l’aide de la matrice hessienne
- Modéliser : rechercher les extrema sur un domaine fermé en étudiant séparément l’intérieur et le bord paramétré
Exercice 1 : Question de cours : compacité et bornes atteintes (3,5 points)
Calculatrice interdite. Documents interdits.
On munit \(\mathbb{R}^n\) d’une norme \(\|\cdot\|\). On rappelle le théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée de \(\mathbb{R}^n\) admet une sous-suite convergente.
- Soit \(K\) une partie fermée et bornée non vide de \(\mathbb{R}^n\), et \(f : K \to \mathbb{R}\) une fonction continue. Démontrez que \(f\) est bornée sur \(K\) et atteint ses bornes. (2 points)
- Dans \(\mathbb{R}^2\) muni de la norme euclidienne, on pose \(D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq\, 1\}\) et \(U = \{(x,y) : x^2 + y^2 < 1\}\). Démontrez que \(D\) est compact, puis que \(U\) est ouvert. (1,5 point)
Exercice 2 : Normes, limites et continuité (4 points)
Pour \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(x,y) = \max(|x|,\, |x + y|)\) et \(\|(x,y)\|_\infty = \max(|x|, |y|)\).
- Démontrez que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\). (1,5 point)
- Démontrez que \(N \leq\, 2\|\cdot\|_\infty\) et \(\|\cdot\|_\infty \leq\, 2N\). Que peut-on en déduire ? (1 point)
- Soit \(f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}\) pour \((x,y) \neq (0,0)\). Démontrez que \(f\) n’a pas de limite en \((0,0)\). (1 point)
- Soit \(g(x,y) = \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) pour \((x,y) \neq (0,0)\) et \(g(0,0) = 0\). Démontrez que \(g\) est continue en \((0,0)\). (0,5 point)
Exercice 3 : Dérivées directionnelles et différentiabilité (4 points)
On définit \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(0,0) = 0\) et \(f(x,y) = \dfrac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\) pour \((x,y) \neq (0,0)\).
- Démontrez que \(\Omega = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\) est un ouvert de \(\mathbb{R}^2\), puis que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Omega\). (1 point)
- Démontrez que \(f\) est continue en \((0,0)\). (0,5 point)
- Soit \(v = (a,b) \neq (0,0)\). Démontrez que \(f\) admet en \((0,0)\) une dérivée selon le vecteur \(v\), et calculez-la. (1 point)
- Démontrez que \(f\) n’est pas différentiable en \((0,0)\). (1,5 point)
Exercice 4 : Points critiques et minimum global par compacité (3,5 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x,y) = x^4 + y^4 – 4xy\).
- Déterminez les points critiques de \(f\). (1 point)
- Précisez la nature de chacun d’eux à l’aide de la matrice hessienne. (1 point)
- On note \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\). Démontrez que \(f(x,y) \geq\, \frac{\rho^4}{2} – 2\rho^2\). Déduisez-en, à l’aide du disque fermé de centre \(O\) et de rayon \(2\), que \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^2\), et donnez sa valeur. (1,5 point)
Exercice 5 : Problème : extrema sur le disque unité fermé (5 points)
On reprend le disque fermé \(D\) de l’exercice 1 et la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x,y) = x^2 + 2y^2 – x\). La figure représente \(D\) et quelques lignes de niveau de \(f\).
- Justifiez que l’intérieur de \(D\) est le disque ouvert \(U\) et que la frontière de \(D\) est le cercle \(C\) d’équation \(x^2 + y^2 = 1\). (1 point)
- Justifiez que \(f\) admet un minimum et un maximum sur \(D\). (0,5 point)
- Déterminez les points critiques de \(f\) dans \(U\) et leur nature. (1 point)
- En paramétrant le cercle par \(\theta \mapsto (\cos\theta, \sin\theta)\), étudiez les extrema de \(f\) sur \(C\). (1,5 point)
- Déduisez-en le minimum et le maximum de \(f\) sur \(D\), ainsi que les points où ils sont atteints. Vérifiez la cohérence avec la figure. (1 point)
Réviser avant le contrôle : partiel de S3, fonctions de deux variables
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Topologie de R^n » en L2 et « Fonctions de plusieurs variables » en L2 et « Différentielle et extrema » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés topologie de r^n, fonctions de plusieurs variables, différentielle et extrema.
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