Formes quadratiques : QCM de maths en L2 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des formes quadratiques en L2 : matrice et forme polaire, réduction de Gauss, rang et signature, loi d’inertie de Sylvester, réduction en base orthonormée, classification des coniques et des quadriques. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Formes quadratiques, coniques et quadriques du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Formes quadratiques - QCM de maths en L2

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Quelle est la matrice dans la base canonique de \(q(x, y) = x^2 + 4xy - y^2\) ?

A \(\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)

B \(\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\)

C \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)

D \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\)

Question 2

Comment retrouve-t-on la forme polaire \(\varphi\) de la forme quadratique \(q\) ?

A \(\varphi(x, y) = \frac{1}{2}\left(q(x + y) - q(x) - q(y)\right)\)

B \(\varphi(x, y) = q(x + y) - q(x) - q(y)\)

C \(\varphi(x, y) = \frac{1}{2}\left(q(x + y) + q(x - y)\right)\)

D \(\varphi(x, y) = \sqrt{q(x)\,q(y)}\)

Question 3

Quelle est la signature de \(q(x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2\) ?

A \((2, 0)\)

B \((1, 0)\)

C \((1, 1)\)

D \((2, 1)\)

Question 4

Quelle est la signature de \(q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2\) ?

A \((2, 0)\)

B \((1, 0)\)

C \((1, 1)\)

D \((0, 2)\)

Question 5

Que dit la loi d’inertie de Sylvester pour une forme quadratique réelle ?

A Deux formes quadratiques réelles de même rang sont toujours équivalentes, quels que soient leurs signes.

B Les coefficients d’une réduction de Gauss sont toujours les valeurs propres de la matrice de la forme.

C Toute forme quadratique réelle admet une unique décomposition en carrés de formes linéaires indépendantes.

D Dans toute décomposition en carrés de formes linéaires indépendantes, les nombres de carrés positifs et négatifs sont les mêmes.

Question 6

Quel est le cône isotrope de \(q(x, y) = xy\) sur \(\mathbb{R}^2\) ?

A La réunion des deux axes de coordonnées

B Le singleton \(\{(0, 0)\}\)

C La réunion des droites \(y = x\) et \(y = -x\)

D La droite \(y = x\)

Question 7

Quelle est la nature de la conique d’équation \(x^2 + 4xy + y^2 = 1\) ?

A Une ellipse

B Une hyperbole

C Un cercle

D Une parabole

Question 8

Quelle est une équation réduite, en base orthonormée, de la conique \(5x^2 + 4xy + 2y^2 = 1\) ?

A \(5X^2 + 2Y^2 = 1\)

B \(3X^2 + 4Y^2 = 1\)

C \(6X^2 - Y^2 = 1\)

D \(X^2 + 6Y^2 = 1\)

Question 9

Quelle est la nature de la quadrique \(x^2 + y^2 - z^2 = 1\) ?

A Un paraboloïde hyperbolique

B Un hyperboloïde à deux nappes

C Un hyperboloïde à une nappe

D Un cône

Question 10

Quel est le rang de \(q(x, y, z) = (x + y)^2 + (y + z)^2 + (x - z)^2\) ?

A \(3\)

B \(2\)

C \(1\)

D \(0\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de formes quadratiques en L2

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la matrice d’une forme quadratique et sa forme polaire ;
la réduction de Gauss en somme de carrés de formes linéaires indépendantes ;
le rang, la signature et la loi d’inertie de Sylvester ;
le cône isotrope et l’orthogonalité relative à une forme ;
la réduction en base orthonormée et la classification des coniques et des quadriques.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : placer le coefficient du terme croisé tel quel dans la matrice. Pour \(q = x^2 + 4xy – y^2\), la matrice est \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\) : le coefficient \(4\) de \(xy\) est partagé en deux.

Comment réviser avant de refaire le test

Après une réduction de Gauss, vérifiez que les formes linéaires obtenues sont linéairement indépendantes : c’est seulement à cette condition que le nombre de carrés positifs et négatifs donne la signature. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Formes quadratiques, coniques et quadriques, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L2

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Isométries et théorème spectral, Séries de Fourier, Intégrales multiples, Variables aléatoires à densité. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L2 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

La réduction de Gauss est-elle unique ?

Non : les formes linéaires et les coefficients dépendent des choix faits. En revanche, la loi d’inertie de Sylvester assure que le nombre de carrés positifs et de carrés négatifs, donc la signature, ne dépend pas de la réduction.

Comment reconnaître une conique sans la réduire complètement ?

Le signe du déterminant de la matrice de la partie quadratique suffit dans les cas non dégénérés : positif pour une ellipse, négatif pour une hyperbole, nul pour une parabole.