Contrôle de maths L2 : produit scalaire et espaces euclidiens

Exercice 1 : Question de cours : inégalité de Cauchy-Schwarz (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Soit \(E\) un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) et de la norme associée \(\| \cdot \|\).

1. Énoncez et démontrez l’inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tous \(x, y \in E\), \(|\langle x, y \rangle| \leq\, \|x\| \, \|y\|\). (2,5 points)
2. Démontrez qu’il y a égalité si et seulement si la famille \((x, y)\) est liée. (1,5 point)

Exercice 2 : Gram-Schmidt sur des polynômes (6 points)

On note \(E = \mathbb{R}_3[X]\) l’espace des polynômes réels de degré au plus \(3\) et, pour \(P, Q \in E\),
\[\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t) Q(t)\, dt.\]

1. Démontrez que \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est un produit scalaire sur \(E\). (1,5 point)
2. Appliquez le procédé de Gram-Schmidt à la famille \((1, X, X^2)\). Vous obtiendrez une base orthonormée \((e_0, e_1, e_2)\) de \(\mathbb{R}_2[X]\) et vous vérifierez que \(e_2 = \sqrt{5}(6X^2 – 6X + 1)\). (2,5 points)
3. Déterminez le projeté orthogonal \(p\) de \(X^3\) sur \(\mathbb{R}_2[X]\), puis la valeur de
   \[m = \min_{(a, b, c) \in \mathbb{R}^3} \int_0^1 (t^3 – a t^2 – b t – c)^2 dt.\] (2 points)

Exercice 3 : Projection orthogonale dans R4 (4 points)

On munit \(\mathbb{R}^4\) de son produit scalaire canonique et l’on considère le sous-espace
\[F = \{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \text{ et } x_1 – x_2 + x_3 – x_4 = 0 \}.\]

1. Déterminez la dimension de \(F\) et une base orthogonale de \(F^\perp\). (1 point)
2. Écrivez la matrice, dans la base canonique, de la projection orthogonale sur \(F^\perp\), puis celle de la projection orthogonale sur \(F\). (1,5 point)
3. Calculez la distance du vecteur \(w = (1, 2, 3, 4)\) au sous-espace \(F\). (1,5 point)

Exercice 4 : Problème : droite des moindres carrés (6 points)

Une expérience fournit les quatre mesures \((x_i, y_i)\) suivantes.

On cherche les réels \(a\) et \(b\) qui minimisent \(\displaystyle S(a, b) = \sum_{i=1}^{4} (y_i – a x_i – b)^2\). On note \(A = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 1 1 \\ 2 1 \\ 3 1 \end{pmatrix}\), \(Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(U = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\), de sorte que \(S(a, b) = \|Y – AU\|^2\) pour la norme euclidienne de \(\mathbb{R}^4\).

1. Démontrez que \(S\) admet un minimum, atteint en un unique \(U\), caractérisé par les équations normales \(A^{T} A\, U = A^{T} Y\). Vous utiliserez la projection orthogonale sur l’image de \(A\). (2 points)
2. Calculez \(A^{T} A\) et \(A^{T} Y\), puis les valeurs de \(a\) et \(b\). (2 points)
3. Calculez la valeur minimale de \(S\) et interprétez-la comme une distance. (1 point)
4. Vérifiez par le calcul que le vecteur des résidus \(Y – AU\) est orthogonal aux deux colonnes de \(A\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : produit scalaire et espaces euclidiens

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces euclidiens » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces euclidiens.

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