Contrôle de maths L2 : séries numériques à termes positifs

Exercice 1 : Question de cours, le critère de Riemann (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 2 heures.

Soit \(\alpha\) un réel strictement positif. Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on note \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{\alpha}}\).

1. Montrez que, pour tout entier \(k \geq\, 2\), \(\dfrac{1}{k^{\alpha}} \leq\, \displaystyle\int_{k-1}^{k} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}} \leq\, \dfrac{1}{(k-1)^{\alpha}}\). (1 point)
2. On suppose \(\alpha > 1\). Montrez que la suite \((S_n)\) est majorée par \(\dfrac{\alpha}{\alpha – 1}\) et concluez sur la nature de la série \(\sum \frac{1}{n^{\alpha}}\). (1,5 point)
3. On suppose \(0 < \alpha \leq\, 1\). Montrez que \(S_{n-1} \geq\, \displaystyle\int_{1}^{n} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\) pour \(n \geq\, 2\) et concluez. Que dire enfin du cas \(\alpha \leq\, 0\) ? (1,5 point)

Exercice 2 : Nature de cinq séries (5 points)

Déterminez la nature de la série de terme général \(u_n\) (pour \(n \geq\, 1\)) dans chacun des cas suivants. Chaque réponse doit citer le critère utilisé et vérifier ses hypothèses.

1. \(u_n = \dfrac{n+1}{n^3 + 2}\) (1 point)
2. \(u_n = 1 – \cos(\dfrac{1}{n})\) (1 point)
3. \(u_n = \ln(1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}})\) (1 point)
4. \(u_n = \dfrac{n^2}{2^n}\) (1 point)
5. \(u_n = \dfrac{n!}{n^n}\) (1 point)

Exercice 3 : Deux séries à paramètre (3 points)

Dans cet exercice, \(a\) désigne un réel.

1. Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(u_n = n^{a}(e^{1/n} – 1 – \dfrac{1}{n})\). Justifiez que \(u_n > 0\), puis déterminez, selon \(a\), la nature de \(\sum u_n\). (1,5 point)
2. Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(w_n = (1 – \dfrac{a}{n})^{n^2}\). Déterminez, selon \(a\), la nature de \(\sum w_n\). On pourra utiliser la règle de Cauchy lorsque \(a > 0\). (1,5 point)

Exercice 4 : Encadrer deux sommes partielles (3 points)

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) et \(L_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \ln k = \ln(n!)\).

1. En comparant la série à une intégrale, montrez que \(\ln(n+1) \leq\, H_n \leq\, 1 + \ln n\), puis que \(H_n \sim \ln n\) quand \(n \to +\infty\). (1,5 point)
2. Montrez de même que \(n \ln n – n + 1 \leq\, L_n \leq\, (n+1)\ln(n+1) – n\), puis que \(\ln(n!) \sim n \ln n\). (1,5 point)

Exercice 5 : Problème, équivalent du reste d’une série de Riemann (5 points)

Soit \(\alpha > 1\). Pour \(n \geq\, 1\), on note \(R_n(\alpha) = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}\) le reste d’ordre \(n\) de la série de Riemann convergente \(\sum \frac{1}{k^{\alpha}}\).

1. Montrez que \(\dfrac{1}{(\alpha – 1)(n+1)^{\alpha – 1}} \leq\, R_n(\alpha) \leq\, \dfrac{1}{(\alpha – 1)n^{\alpha – 1}}\), puis que \(R_n(\alpha) \sim \dfrac{1}{(\alpha – 1)n^{\alpha – 1}}\). (2 points)
2. Pour quelles valeurs de \(\alpha\) la série \(\sum_{n \geq\, 1} R_n(\alpha)\) converge-t-elle ? (1 point)
3. On se place dans le cas \(\alpha = 2\). Vérifiez que, pour tout \(k \geq\, 2\), \(\dfrac{1}{k-1} – \dfrac{1}{k} – \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{1}{k^2(k-1)}\). (0,5 point)
4. En déduire que \(\dfrac{1}{n} – R_n(2) = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2(k-1)}\). (0,5 point)
5. À l’aide du théorème de sommation des relations de comparaison et de la question a), montrez que \(R_n(2) = \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{2n^2} + o(\dfrac{1}{n^2})\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : séries numériques à termes positifs

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Séries à termes positifs » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés séries à termes positifs.

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