Contrôle de maths L2 : espaces probabilisés et conditionnement

Exercice 1 : Question de cours : tribus, continuité monotone et Bayes (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans tout l’exercice, \(\Omega\) est un ensemble non vide.

1. Donnez la définition d’une tribu \(\mathcal{A}\) sur \(\Omega\), puis celle d’une probabilité \(P\) sur \((\Omega, \mathcal{A})\). (1 point)
2. Soit \((A_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite croissante d’événements. Énoncez puis démontrez la propriété de continuité croissante de \(P\). (1,5 point)
3. Soit \((A_i)_{i \in I}\) un système complet d’événements, avec \(I\) fini ou dénombrable et \(P(A_i) > 0\) pour tout \(i\). Énoncez la formule des probabilités totales. Démontrez ensuite la formule de Bayes : pour tout événement \(B\) tel que \(P(B) > 0\) et tout \(j \in I\), exprimez \(P_B(A_j)\). (1,5 point)

Exercice 2 : Lancers infinis et lemme de Borel-Cantelli (4 points)

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. On admet l’existence d’un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) modélisant l’expérience, dans lequel les lancers sont mutuellement indépendants. Pour \(n \geq\, 1\), on note \(A_n\) l’événement « les \(n\) premiers lancers donnent tous pile ».

1. Calculez \(P(A_n)\). (0,5 point)
2. Exprimez l’événement « on n’obtient que des piles » à l’aide des \(A_n\), puis calculez sa probabilité en justifiant le théorème utilisé. (1 point)
3. Déduisez-en la probabilité d’obtenir au moins une fois face. (0,5 point)
4. Soit \((E_n)_{n \geq\, 1}\) une suite d’événements telle que la série \(\sum P(E_n)\) converge. On pose \(L = \bigcap_{n \geq\, 1} \bigcup_{k \geq\, n} E_k\). Démontrez que \(P(L) = 0\) (lemme de Borel-Cantelli). Appliquez ce résultat aux événements \(E_n\) : « les lancers numéros \(n, n+1, \ldots, 2n\) donnent tous pile ». Interprétez. (2 points)

Exercice 3 : Test de dépistage et formule de Bayes (4 points)

Une maladie touche \(2\,\%\) d’une population. Un test de dépistage est positif chez \(95\,\%\) des malades et négatif chez \(90\,\%\) des personnes saines. On choisit une personne au hasard et on note \(M\) l’événement « la personne est malade » et \(T\) l’événement « le test est positif ». Les résultats peuvent rester sous forme de fractions.

1. Représentez la situation par un arbre pondéré, puis calculez \(P(T)\). (1 point)
2. Calculez \(P_T(M)\) et vérifiez que cette probabilité est inférieure à \(\frac{1}{6}\). (1 point)
3. On fait passer à la personne un second test, de mêmes caractéristiques, dont le résultat positif est noté \(T_2\) (le premier est noté \(T_1 = T\)). On suppose que, sachant \(M\), les événements \(T_1\) et \(T_2\) sont indépendants, et qu’il en est de même sachant \(\overline{M}\). Calculez la probabilité que la personne soit malade sachant que les deux tests sont positifs, et montrez qu’elle dépasse \(\frac{1}{2}\). (1,5 point)
4. Les événements \(T_1\) et \(T_2\) sont-ils indépendants ? (0,5 point)

Exercice 4 : Indépendance deux à deux et mutuelle (3 points)

On lance deux dés équilibrés à six faces, discernables. On considère les événements \(A\) : « le premier dé donne un nombre pair », \(B\) : « le second dé donne un nombre pair » et \(C\) : « la somme des deux dés est paire ».

1. Décrivez un espace probabilisé fini adapté à l’expérience. (0,5 point)
2. Calculez \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(C)\), puis montrez que \(A\), \(B\), \(C\) sont indépendants deux à deux. (1 point)
3. Les événements \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils mutuellement indépendants ? (0,5 point)
4. Dans un espace probabilisé quelconque, démontrez que si deux événements \(E\) et \(F\) sont indépendants, alors \(E\) et \(\overline{F}\) le sont aussi. (1 point)

Exercice 5 : Problème : une chaîne d’urnes (5 points)

L’urne \(U_1\) contient une boule blanche et une boule noire. Pour \(k \geq\, 2\), l’urne \(U_k\) contient deux boules blanches et trois boules noires. On tire une boule au hasard dans \(U_1\) et on la place dans \(U_2\). On tire ensuite une boule au hasard dans \(U_2\) et on la place dans \(U_3\), et ainsi de suite indéfiniment.

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(B_n\) l’événement « la boule tirée dans \(U_n\) est blanche », \(N_n = \overline{B_n}\) et \(p_n = P(B_n)\). On admet que, sachant la couleur de la boule tirée dans \(U_n\), le tirage dans \(U_{n+1}\) ne dépend pas des tirages précédents.

1. Donnez \(P_{B_1}(B_2)\) et \(P_{N_1}(B_2)\). Construisez l’arbre des deux premiers tirages, puis calculez \(p_2\). (1 point)
2. Démontrez que, pour tout \(n \geq\, 1\), \(p_{n+1} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} p_n\). (1 point)
3. Déterminez \(p_n\) en fonction de \(n\), puis la limite de la suite \((p_n)\). (1,5 point)
4. La deuxième boule tirée est blanche. Quelle est la probabilité que la première l’ait été aussi ? (0,5 point)
5. Calculez \(P(B_1 \cap B_2 \cap \cdots \cap B_n)\), puis la probabilité que toutes les boules tirées soient blanches. (1 point)

Réviser avant le contrôle : espaces probabilisés et conditionnement

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces probabilisés » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces probabilisés.

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