Ce QCM vérifie la maîtrise des suites et séries de fonctions en L2 : convergence simple et uniforme, convergence normale, théorèmes d’interversion (continuité, intégration, dérivation, double limite), approximation de Weierstrass et continuité uniforme. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Suites et séries de fonctions du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Suites et séries de fonctions - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Sur \([0, 1]\), la suite \(f_n(x) = x^n\) converge-t-elle uniformément ?
ANon : la limite simple est discontinue en \(1\), alors que les \(f_n\) sont continues.
BOui, vers la fonction qui vaut \(0\) sur \([0, 1[\) et \(1\) en \(1\).
COui, vers la fonction nulle.
DNon, car elle ne converge même pas simplement.
Question 2
Que signifie « \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\) » ?
APour tout \(x \in I\), \(|f_n(x) - f(x)| \to 0\).
B\(\int_I |f_n - f| \to 0\).
C\(\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|\) est fini pour tout \(n\).
Pour \(f_n(x) = x\,e^{-nx}\) sur \([0, +\infty[\) (\(n \geqslant 1\)), que vaut \(\|f_n\|_{\infty}\) ?
A\(\frac{1}{n}\)
B\(e^{-n}\)
C\(\frac{1}{ne}\)
D\(\frac{1}{e}\)
Question 4
Soit \(f_n(x) = n^2 x e^{-nx}\) sur \([0, 1]\). On a \(f_n \to 0\) simplement. Que vaut \(\lim \int_0^1 f_n(x)\,dx\) ?
A\(0\), par convergence simple vers \(0\)
B\(\frac{1}{e}\)
C\(+\infty\)
D\(1\)
Question 5
La série de fonctions \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{\sin(nx)}{n^2}\) converge-t-elle normalement sur \(\mathbb{R}\) ?
ASeulement sur les segments de \(\mathbb{R}\), où \(\sin(nx)\) est bornée.
BOui, car \(\left\|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right\|_{\infty} = \frac{1}{n^2}\), terme d’une série convergente.
CNon, car \(\mathbb{R}\) n’est pas borné et le sup est infini.
DNon, car \(\sin(nx)\) ne tend pas vers \(0\) quand \(n \to +\infty\).
Question 6
Si chaque \(f_n\) est continue sur \(I\) et si \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\), que peut-on affirmer ?
A\(f\) est continue sur \(I\) seulement si \(I\) est un segment.
B\(f\) est continue sur \(I\).
C\(f\) est uniformément continue sur \(I\).
D\(f\) est dérivable sur \(I\).
Question 7
Les \(f_n\) sont de classe \(C^1\) sur un intervalle \(I\). Quelles hypothèses permettent de dériver terme à terme \(\sum f_n\) ?
A\(\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\), sans condition sur les dérivées.
B\(\sum f_n\) et \(\sum f_n'\) convergent simplement sur \(I\).
C\(\sum f_n\) converge simplement sur \(I\) et \(\sum f_n'\) converge uniformément sur \(I\).
D\(\sum f_n\) converge normalement sur \(I\), sans condition sur les dérivées.
Question 8
Que dit le théorème d’approximation de Weierstrass ?
AToute fonction continue sur un segment \([a, b]\) est limite uniforme sur \([a, b]\) d’une suite de polynômes.
BToute fonction continue sur \([a, b]\) est égale à la somme de sa série de Taylor.
CToute fonction continue sur \(\mathbb{R}\) est limite uniforme sur \(\mathbb{R}\) d’une suite de polynômes.
DToute fonction de classe \(C^{\infty}\) sur \([a, b]\) est un polynôme.
Question 9
Laquelle de ces fonctions n’est pas uniformément continue sur son domaine ?
A\(x \mapsto \sqrt{x}\) sur \([0, +\infty[\)
B\(x \mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}\)
C\(x \mapsto \sin x\) sur \(\mathbb{R}\)
D\(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \([1, +\infty[\)
Question 10
La série \(\sum_{n \geqslant 0} x^n\) converge-t-elle uniformément sur \([0, 1[\) ?
AOui, car elle converge simplement sur \([0, 1[\).
BOui, car elle converge normalement sur \([0, 1[\).
COui, car \(\sup_{[0, 1[} x^n = 1\).
DNon, car le reste \(\frac{x^{n+1}}{1 - x}\) n’est pas borné sur \([0, 1[\).
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de suites et séries de fonctions en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la convergence simple et la convergence uniforme via \(\|f_n – f\|_{\infty}\) ;
la continuité d’une limite uniforme de fonctions continues ;
l’intégration et la dérivation terme à terme, avec leurs hypothèses ;
la convergence normale des séries de fonctions et le théorème de la double limite ;
le théorème de Weierstrass et la continuité uniforme (théorème de Heine).
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : intervertir limite et intégrale sous une simple convergence simple. Avec \(f_n(x) = n^2 x e^{-nx}\) sur \([0, 1]\), \(f_n \to 0\) simplement, mais \(\int_0^1 f_n \to 1\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour étudier la convergence uniforme, calculez ou majorez \(\sup |f_n – f|\) par une étude de fonction ; si le sup ne tend pas vers \(0\), trouvez une suite \(x_n\) avec \(|f_n(x_n) – f(x_n)|\) minorée, et restreignez-vous ensuite à des intervalles où la convergence devient uniforme. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
La convergence normale implique-t-elle toujours la convergence uniforme ?
Oui : si \(\sum \|f_n\|_{\infty}\) converge, le reste vérifie \(\sup_x |\sum_{k > n} f_k(x)| \leq\, \sum_{k > n} \|f_k\|_{\infty} \to 0\). La réciproque est fausse, par exemple pour certaines séries alternées.
Pourquoi la dérivation terme à terme demande-t-elle la convergence uniforme des dérivées ?
Parce que la convergence uniforme des \(f_n\) ne contrôle pas leurs pentes : \(\frac{\sin(nx)}{\sqrt n}\) converge uniformément vers \(0\) alors que les dérivées \(\sqrt n \cos(nx)\) explosent.
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