Contrôle de maths L2 : formes quadratiques, coniques et quadriques

Exercice 1 : Question de cours : loi d’inertie de Sylvester (3,5 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n \geq\, 1\) et \(q\) une forme quadratique sur \(E\).

1. Rappelez la définition d’une base \(q\)-orthogonale. Ensuite, énoncez la loi d’inertie de Sylvester et définissez la signature \((p, s)\) de \(q\) ainsi que son rang. (1 point)
2. Soit \((e_1, \ldots, e_n)\) et \((e_1^{\prime}, \ldots, e_n^{\prime})\) deux bases \(q\)-orthogonales. On note \(p\) (respectivement \(p^{\prime}\)) le nombre de vecteurs \(e_i\) (respectivement \(e_i^{\prime}\)) tels que \(q(e_i) > 0\) (respectivement \(q(e_i^{\prime}) > 0\)). En considérant le sous-espace \(F\) engendré par les \(e_i\) tels que \(q(e_i) > 0\) et le sous-espace \(G^{\prime}\) engendré par les \(e_i^{\prime}\) tels que \(q(e_i^{\prime}) \leq\, 0\), démontrez que \(p \leq\, p^{\prime}\). Concluez. (2,5 points)

Exercice 2 : Réduction de Gauss, rang et signature (4,5 points)

On considère les formes quadratiques sur \(\mathbb{R}^3\) définies par

\[q_1(x, y, z) = x^2 + 3y^2 + 2z^2 + 2xy – 2xz + 6yz, \qquad q_2(x, y, z) = xy + yz + zx.\]

1. Écrivez la matrice \(A_1\) de \(q_1\) dans la base canonique, puis sa forme polaire \(\varphi_1\). (0,5 point)
2. Réduisez \(q_1\) par la méthode de Gauss. Vérifiez votre résultat à l’aide du déterminant de \(A_1\). (1,5 point)
3. Donnez le rang et la signature de \(q_1\). La forme \(q_1\) est-elle positive ? (0,5 point)
4. Réduisez \(q_2\) par la méthode de Gauss (on pourra poser \(x = u + v\) et \(y = u – v\)), puis donnez son rang et sa signature. (1,5 point)
5. Trouvez un vecteur non nul du cône isotrope de \(q_2\). (0,5 point)

Exercice 3 : La forme quadratique trace du carré (3,5 points)

Soit \(n \geq\, 2\). Sur \(E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on pose \(\varphi(A, B) = \operatorname{tr}(AB)\) et \(q(A) = \operatorname{tr}(A^2)\). On note \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques.

1. Montrez que \(\varphi\) est une forme bilinéaire symétrique. (0,5 point)
2. Calculez \(q(S)\) pour \(S \in \mathcal{S}_n\) et \(q(A)\) pour \(A \in \mathcal{A}_n\) en fonction de leurs coefficients. (1 point)
3. Montrez que \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) sont \(\varphi\)-orthogonaux. (0,5 point)
4. Déduisez-en le rang et la signature de \(q\), en exhibant une base \(q\)-orthogonale de \(E\). (1,5 point)

Exercice 4 : Réduction orthogonale d’une conique (4 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})\). On considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation

\[5x^2 – 6xy + 5y^2 – 4x – 4y – 4 = 0.\]

1. Écrivez la matrice symétrique \(M\) de la partie quadratique \(5x^2 – 6xy + 5y^2\). Déterminez ses valeurs propres et une base orthonormée de vecteurs propres. (1,5 point)
2. Montrez que \(\mathcal{C}\) admet un unique centre \(\Omega\) et calculez ses coordonnées. (1 point)
3. Écrivez l’équation de \(\mathcal{C}\) dans un repère orthonormé d’origine \(\Omega\) dirigé par les vecteurs propres. Déduisez-en la nature de \(\mathcal{C}\), ses demi-axes, son excentricité et les coordonnées de ses sommets dans le repère initial. Tracez l’allure de \(\mathcal{C}\). (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : une famille de quadriques de révolution (4,5 points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé. Pour un réel \(a\), on considère la forme quadratique

\[q_a(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2a(xy + yz + zx)\]

et la quadrique \(\mathcal{Q}_a\) d’équation \(q_a(x, y, z) = 1\).

1. Écrivez la matrice \(M_a\) de \(q_a\). Déterminez ses valeurs propres et une base orthonormée de vecteurs propres, en remarquant que \(M_a = (1 – a) I_3 + a J\), où \(J\) est la matrice dont tous les coefficients valent \(1\). (1 point)
2. Donnez la signature de \(q_a\) selon les valeurs de \(a\). (1 point)
3. Déduisez-en la nature de \(\mathcal{Q}_a\) selon les valeurs de \(a\). Précisez son axe de révolution quand il existe. (1,5 point)
4. On prend \(a = 2\). Déterminez les points de \(\mathcal{Q}_2\) situés sur la droite dirigée par \((1, 1, 1)\), puis montrez que \(\mathcal{Q}_2\) ne rencontre pas le plan d’équation \(x + y + z = 0\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : formes quadratiques, coniques et quadriques

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Formes quadratiques » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés formes quadratiques.

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