Corrigé du contrôle de maths L1 : intégrale de Riemann, primitives et IPP

Exercice 1 : Question de cours : positivité et inégalité de la moyenne (3 points)

1. Inégalité de la moyenne. Si \(m\) et \(M\) sont des réels tels que \(m \leq\, f(x) \leq\, M\) pour tout \(x \in [a, b]\), alors
   \[m\,(b – a) \leq\, \int_a^b f(x)\,dx \leq\, M\,(b – a).\]

   En particulier \(|\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx| \leq\, (b – a) \sup_{[a, b]} |f|\).

2. Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe \(x_0 \in [a, b]\) tel que \(f(x_0) > 0\). Posons \(\varepsilon = \dfrac{f(x_0)}{2} > 0\). Par continuité de \(f\) en \(x_0\), il existe \(\delta > 0\) tel que \(f(x) \geq\, f(x_0) – \varepsilon = \varepsilon\) pour tout \(x \in [a, b]\) vérifiant \(|x – x_0| \leq\, \delta\). L’ensemble de ces \(x\) est un segment \([c, d]\) contenant \(x_0\), avec \(c < d\) puisque \(a < b\).

   Par la relation de Chasles et la positivité de l’intégrale (car \(f \geq\, 0\)), puis par l’inégalité de la moyenne :

   \[\int_a^b f(x)\,dx \geq\, \int_c^d f(x)\,dx \geq\, \varepsilon\,(d – c) > 0,\]

   ce qui contredit l’hypothèse. Donc \(f\) est nulle sur \([a, b]\).

Barème : a) 1 point ; b) 2 points (0,5 pour le raisonnement par l’absurde, 0,75 pour l’usage de la continuité, 0,75 pour la minoration par Chasles et positivité).

Exercice 2 : Sommes de Riemann (4 points)

1. Pour \(1 \leq\, k \leq\, n\), \(\dfrac{n}{n^2 + k^2} = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{1}{1 + (k/n)^2} = \dfrac{1}{n}\,f(\dfrac{k}{n})\). Ainsi \(S_n\) est la somme de Riemann de \(f\) sur \([0, 1]\) associée à la subdivision régulière de pas \(\dfrac{1}{n}\), avec les extrémités droites. La fonction \(f\) est continue sur \([0, 1]\), donc
   \[\lim_{n \to +\infty} S_n = \int_0^1 \dfrac{dx}{1 + x^2} = [\arctan x]_0^1 = \dfrac{\pi}{4}.\]

   La suite \((S_n)\) converge vers \(\dfrac{\pi}{4}\).

2. La fonction \(f\) est décroissante sur \([0, 1]\). Pour \(x \in [\dfrac{k-1}{n}, \dfrac{k}{n}]\), on a donc \(f(\dfrac{k}{n}) \leq\, f(x) \leq\, f(\dfrac{k-1}{n})\). En intégrant sur cet intervalle de longueur \(\dfrac{1}{n}\), puis en sommant pour \(k\) de 1 à \(n\) (relation de Chasles) :
   \[S_n \leq\, \int_0^1 f(x)\,dx \leq\, \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(\dfrac{k}{n}) = S_n + \dfrac{f(0) – f(1)}{n}.\]

   Comme \(f(0) – f(1) = 1 – \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\), on obtient \(S_n \leq\, \dfrac{\pi}{4} \leq\, S_n + \dfrac{1}{2n}\). Sur la figure, les rectangles sont bien sous la courbe.

3. De même, \(u_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + k/n} = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} g(\dfrac{k}{n})\) avec \(g(x) = \dfrac{1}{1 + x}\), continue sur \([0, 1]\). Par le théorème sur les sommes de Riemann :
   \[\lim_{n \to +\infty} u_n = \int_0^1 \dfrac{dx}{1 + x} = [\ln(1 + x)]_0^1 = \ln 2.\]

   La suite \((u_n)\) converge vers \(\ln 2\).

Erreur fréquente : oublier de factoriser par \(n^2\) au dénominateur, ou oublier de citer la continuité de la fonction sur \([0, 1]\).

Barème : a) 1,5 point (0,75 pour l’écriture en somme de Riemann, 0,75 pour la limite) ; b) 1 point ; c) 1,5 point (0,75 pour la reconnaissance, 0,75 pour la limite).

Exercice 3 : Intégration par parties et changement de variable (5 points)

1. On intègre par parties avec \(u(x) = x\) et \(v(x) = e^x\), de classe \(C^1\) sur \([0, 1]\) :
   \[I = [x\,e^x]_0^1 – \int_0^1 e^x\,dx = e – (e – 1) = 1.\]

   \(I = 1\).

2. On intègre par parties avec \(u(x) = \ln x\) et \(v(x) = \dfrac{x^2}{2}\), de classe \(C^1\) sur \([1, e]\), et \(u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\) :
   \[J = [\dfrac{x^2}{2}\ln x]_1^e – \int_1^e \dfrac{x}{2}\,dx = \dfrac{e^2}{2} – [\dfrac{x^2}{4}]_1^e = \dfrac{e^2}{2} – \dfrac{e^2}{4} + \dfrac{1}{4}.\]

   \(J = \dfrac{e^2 + 1}{4}\).

3. La fonction \(\varphi : t \mapsto t^2\) est de classe \(C^1\) sur \([0, 1]\), avec \(\varphi(0) = 0\), \(\varphi(1) = 1\) et \(\varphi^{\prime}(t) = 2t\). La fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{1 + \sqrt{x}}\) est continue sur \([0, 1]\), et \(\sqrt{t^2} = t\) pour \(t \geq\, 0\). Le théorème de changement de variable donne
   \[K = \int_0^1 \dfrac{2t}{1 + t}\,dt = 2\int_0^1 (1 – \dfrac{1}{1 + t})dt = 2[t – \ln(1 + t)]_0^1.\]

   \(K = 2 – 2\ln 2\) (environ 0,61, valeur cohérente puisque l’intégrande est compris entre \(\dfrac{1}{2}\) et 1).

4. On a \(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\). On cherche \(\dfrac{x + 3}{(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{\alpha}{x + 1} + \dfrac{\beta}{x + 2}\). En multipliant par \(x + 1\) puis en prenant \(x = -1\) : \(\alpha = \dfrac{2}{1} = 2\). En multipliant par \(x + 2\) puis en prenant \(x = -2\) : \(\beta = \dfrac{1}{-1} = -1\). Donc
   \[L = \int_0^1 (\dfrac{2}{x + 1} – \dfrac{1}{x + 2})dx = [2\ln(x + 1) – \ln(x + 2)]_0^1 = 2\ln 2 – \ln 3 + \ln 2.\]

   \(L = 3\ln 2 – \ln 3 = \ln\dfrac{8}{3}\).

Barème : a) 1 point ; b) 1,5 point (0,5 pour le choix de u et v, 1 pour le calcul) ; c) 1,5 point (0,5 pour les hypothèses et le changement, 1 pour le calcul) ; d) 1 point (0,5 pour la décomposition, 0,5 pour l’intégrale).

Exercice 4 : Problème : les intégrales de Wallis (8 points)

1. \(W_0 = \displaystyle\int_0^{\pi/2} dt = \dfrac{\pi}{2}\) et \(W_1 = [-\cos t]_0^{\pi/2} = 0 + 1 = 1\). \(W_0 = \dfrac{\pi}{2}\) et \(W_1 = 1\).
2. La fonction \(t \mapsto \sin^n t\) est continue et positive sur \([0, \dfrac{\pi}{2}]\), et elle n’est pas nulle (elle vaut 1 en \(\dfrac{\pi}{2}\)). D’après l’exercice 1, son intégrale est strictement positive : \(W_n > 0\).

   Pour \(t \in [0, \dfrac{\pi}{2}]\), \(0 \leq\, \sin t \leq\, 1\), donc \(\sin^{n+1} t \leq\, \sin^n t\). Par croissance de l’intégrale, \(W_{n+1} \leq\, W_n\). La suite \((W_n)\) est positive et décroissante.

   

3. On écrit \(W_{n+2} = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{n+1} t \times \sin t\,dt\) et on intègre par parties avec \(u(t) = \sin^{n+1} t\) et \(v(t) = -\cos t\), de classe \(C^1\), \(u^{\prime}(t) = (n+1)\cos t\,\sin^n t\) :
   \[W_{n+2} = [-\cos t\,\sin^{n+1} t]_0^{\pi/2} + (n + 1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,dt.\]

   Le crochet est nul (car \(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\) et \(\sin 0 = 0\)). Avec \(\cos^2 t = 1 – \sin^2 t\) et la linéarité :

   \[W_{n+2} = (n + 1)(W_n – W_{n+2}), \qquad \text{donc} \qquad (n + 2)\,W_{n+2} = (n + 1)\,W_n.\]

   La relation de récurrence est démontrée.

4. Notons \(\mathcal{P}(p)\) la formule annoncée. Pour \(p = 0\), \(\dfrac{0!}{1 \times 1} \times \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} = W_0\). Supposons \(\mathcal{P}(p)\) vraie. D’après c) avec \(n = 2p\) :
   \[W_{2p+2} = \dfrac{2p + 1}{2p + 2}\,W_{2p} = \dfrac{(2p+2)(2p+1)}{(2p+2)^2} \times \dfrac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2} \times \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{(2p+2)!}{4(p+1)^2\,2^{2p}(p!)^2} \times \dfrac{\pi}{2}.\]

   Comme \(4(p+1)^2\,2^{2p}(p!)^2 = 2^{2p+2}((p+1)!)^2\), \(\mathcal{P}(p+1)\) est vraie. Par récurrence, \(W_{2p} = \dfrac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2} \times \dfrac{\pi}{2}\) pour tout \(p\). Contrôle : \(W_2 = \dfrac{2}{4} \times \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{4}\), en accord avec \(W_2 = \dfrac{1}{2}W_0\).

5. Posons \(v_n = (n + 1)\,W_{n+1}\,W_n\). Avec c) appliquée au rang \(n\) :
   \[v_{n+1} = (n + 2)\,W_{n+2}\,W_{n+1} = (n + 1)\,W_n\,W_{n+1} = v_n.\]

   La suite est constante, égale à \(v_0 = W_1\,W_0 = \dfrac{\pi}{2}\). Pour tout \(n\), \((n + 1)\,W_{n+1}\,W_n = \dfrac{\pi}{2}\).

6. Par décroissance et positivité, \(W_{n+2} \leq\, W_{n+1} \leq\, W_n\). En divisant par \(W_n > 0\) et avec c) :
   \[\dfrac{n + 1}{n + 2} = \dfrac{W_{n+2}}{W_n} \leq\, \dfrac{W_{n+1}}{W_n} \leq\, 1.\]

   Par le théorème des gendarmes, \(\dfrac{W_{n+1}}{W_n} \to 1\), c’est-à-dire \(W_{n+1} \sim W_n\). Alors, d’après e),

   \[W_n^2 \sim W_n\,W_{n+1} = \dfrac{\pi}{2(n + 1)} \sim \dfrac{\pi}{2n}.\]

   Comme \(W_n > 0\), on peut passer à la racine carrée dans l’équivalent : \(W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\).

Erreur fréquente : déduire \(W_{n+1} \sim W_n\) de la seule décroissance ; il faut l’encadrement obtenu grâce à la relation de récurrence.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point (0,5 pour la positivité stricte, 0,5 pour la décroissance) ; c) 2 points (1 pour l’intégration par parties, 1 pour la relation) ; d) 1,5 point (0,5 pour l’initialisation, 1 pour l’hérédité) ; e) 1,5 point ; f) 1,5 point (0,75 pour la limite du quotient, 0,75 pour l’équivalent).

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Après le corrigé du contrôle : intégrale de Riemann, primitives et IPP

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