Ce QCM vérifie la maîtrise des polynômes et des fractions rationnelles en L1 : division euclidienne, racines et multiplicité, factorisation dans \(\mathbb{C}[X]\) et \(\mathbb{R}[X]\), éléments simples. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Polynômes et fractions rationnelles du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Polynômes - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de \(X^3 + 2X^2 - X + 3\) par \(X^2 + 1\) ?
AQuotient \(X + 2\), reste \(-2X + 1\)
BQuotient \(X + 2\), reste \(-X + 1\)
CQuotient \(X + 2\), reste \(1\)
DQuotient \(X + 1\), reste \(-2X + 2\)
Question 2
Quelle est la multiplicité de la racine \(1\) dans \(P = X^3 - 3X + 2\) ?
A\(3\)
B\(1\)
C\(0\)
D\(2\)
Question 3
Sur \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), quand \(a\) est-il racine de \(P\) de multiplicité au moins \(m \geqslant 1\) ?
ASi et seulement si \(P(a) = 0\) et \(P^{(m-1)}(a) \neq 0\)
BSi et seulement si \(P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0\)
CSi et seulement si \(P^{(m)}(a) = 0\)
DSi et seulement si \(P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m)}(a) = 0\)
Question 4
Quels sont les polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) ?
ACeux qui n’ont aucune racine réelle
BCeux de degré \(1\) uniquement
CCeux de degré \(1\) et ceux de degré \(2\) à discriminant strictement négatif
DCeux de degré \(1\) et tous ceux de degré \(2\)
Question 5
Quelle est la factorisation de \(X^4 + 1\) en produit d’irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) ?
A\((X^2 + 1)^2\)
B\(X^4 + 1\) est irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\)
C\((X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)\)
D\((X^2 + \sqrt{2}X + 1)(X^2 - \sqrt{2}X + 1)\)
Question 6
Soient \(a, b, c\) les racines complexes de \(X^3 - 2X^2 + 3X - 5\). Que vaut \(a^2 + b^2 + c^2\) ?
A\(4\)
B\(-2\)
C\(10\)
D\(-6\)
Question 7
Que dit le théorème de d’Alembert-Gauss ?
ATout polynôme non constant de \(\mathbb{R}[X]\) admet au moins une racine réelle
BTout polynôme de \(\mathbb{C}[X]\) est irréductible ou de degré \(2\)
CTout polynôme non constant de \(\mathbb{C}[X]\) admet au moins une racine dans \(\mathbb{C}\)
DTout polynôme de \(\mathbb{C}[X]\) de degré \(n\) a \(n\) racines distinctes
Question 8
Quelle est la décomposition en éléments simples de \(\dfrac{1}{X^2(X - 1)}\) ?
Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) de degré \(3\) tel que \(P(1 + i) = 0\). Laquelle de ces affirmations est vraie ?
A\(-1 - i\) est aussi racine de \(P\)
B\(P\) n’a aucune racine réelle
C\(1 + i\) est racine double de \(P\)
D\(1 - i\) est aussi racine de \(P\)
Question 10
Pour \(P\) et \(Q\) non nuls dans \(\mathbb{K}[X]\), laquelle de ces égalités est toujours vraie ?
A\(\deg(P') = \deg P - 1\)
B\(\deg(P + Q) = \max(\deg P, \deg Q)\)
C\(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\)
D\(\deg(P \circ Q) = \deg P + \deg Q\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de polynômes en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la division euclidienne dans \(\mathbb{K}[X]\) et les règles sur le degré ;
la multiplicité d’une racine caractérisée par les dérivées successives ;
le théorème de d’Alembert-Gauss et les irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) ;
les relations entre coefficients et racines ;
la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire qu’un polynôme réel sans racine réelle est irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\). \(X^4 + 1\) n’a aucune racine réelle mais se factorise en deux facteurs de degré \(2\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour décomposer en éléments simples, calculez d’abord les coefficients « faciles » par multiplication puis évaluation au pôle, et gardez une évaluation en un point simple (\(0\), \(1\)…) ou une limite en \(+\infty\) pour vérifier le résultat. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Pourquoi les racines complexes d’un polynôme réel vont-elles par paires ?
Si \(P \in \mathbb{R}[X]\) et \(P(z) = 0\), alors \(P(\overline{z}) = \overline{P(z)} = 0\), avec la même multiplicité. En regroupant \(z\) et \(\overline{z}\), on obtient les facteurs de degré \(2\) à discriminant négatif.
Quelle analogie entre \(\mathbb{K}[X]\) et \(\mathbb{Z}\) ?
Les deux anneaux ont une division euclidienne, donc un PGCD, une relation de Bézout, un lemme de Gauss et une décomposition unique en irréductibles ; le degré y joue le rôle de la valeur absolue.
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