Nombres complexes : exercices de maths en L1 corrigés

Sommaire

Ces exercices complexes L1 couvrent tout le chapitre, du calcul sous forme algébrique jusqu’aux problèmes de synthèse. Vous passerez de la forme algébrique à la forme exponentielle, vous utiliserez l’inégalité triangulaire et vous linéariserez des puissances de cosinus et de sinus. Plusieurs énoncés demandent aussi de résoudre des équations du second degré à coefficients complexes et de calculer des racines n-ièmes.

La difficulté progresse : les premiers exercices sont des applications directes du cours, puis viennent des démonstrations et des études géométriques de rotations et d’homothéties. Enfin, deux problèmes longs, sur le pentagone régulier et sur un produit de sinus, préparent aux partiels. Cherchez chaque exercice au brouillon avant de lire le corrigé : c’est en butant sur une question que l’on retient vraiment une méthode.

Avant de commencer, relisez le cours de maths en L1 sur nombres complexes.

Exercice 1 : Calculs sous forme algébrique

Dans cet exercice, tous les résultats sont demandés sous forme algébrique \(a + ib\) avec \(a, b\) réels.

Calculer \((2 + 3i)(1 – i)\), puis son module.
Calculer \(\dfrac{1 + 2i}{3 – 4i}\) et en déduire son module.
Calculer \((1 + i)^4\) et \(i^{2026}\).
Déterminer le complexe \(z\) tel que \(z + 2\overline{z} = 3 – i\).

Exercice 2 : Construction de C à partir de R²

On munit \(\mathbb{R}^2\) de l’addition usuelle et de la multiplication définie par \((a, b) \times (c, d) = (ac – bd,\, ad + bc)\).

Montrer que cette multiplication est commutative et que \((1, 0)\) en est l’élément neutre.
Calculer \((0, 1) \times (0, 1)\).
Soit \((a, b) \neq (0, 0)\). Déterminer l’inverse de \((a, b)\) et vérifier le résultat.
On suppose qu’il existe sur \(\mathbb{C}\) une relation d’ordre total \(\preceq\) telle que : si \(0 \preceq x\) et \(0 \preceq y\), alors \(0 \preceq xy\) ; et si \(x \preceq y\), alors \(x + z \preceq y + z\). Montrer que tout carré vérifie \(0 \preceq x^2\), puis aboutir à une contradiction.

Exercice 3 : Module et inégalité triangulaire

Montrer que pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\), \(|z + w|^2 + |z – w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2)\). Interpréter géométriquement cette égalité.
Montrer que pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\), \(\big||z| – |w|\big| \leq\, |z – w|\).
Soit \(z\) un complexe tel que \(|z| \leq\, 1\). Montrer que \(1 \leq\, |z^3 – 2z + 4| \leq\, 7\).
Soient \(z, w\) non nuls tels que \(|z + w| = |z| + |w|\). Montrer que \(z / w\) est un réel strictement positif.

Exercice 4 : Ensembles de points du plan

Déterminer et représenter l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) qui vérifient chacune des conditions suivantes.

\(|z – 1| = |z + i|\).
\(|z – 2i| \leq\, 1\).
\(z \neq -1\) et \(\dfrac{z – 1}{z + 1}\) est imaginaire pur.

Exercice 5 : Formules de trigonométrie

En écrivant \(\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}\), calculer \(\cos\frac{\pi}{12}\), \(\sin\frac{\pi}{12}\) et \(\tan\frac{\pi}{12}\).
Résoudre dans \([0, 2\pi[\) l’équation \(\sin 2x = \cos x\).
Écrire \(\cos x + \sqrt{3}\sin x\) sous la forme \(R\cos(x – \varphi)\), puis résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos x + \sqrt{3}\sin x = 1\).

Exercice 6 : Formes trigonométrique et exponentielle

Écrire sous forme exponentielle \(z_1 = 1 + i\), \(z_2 = \sqrt{3} – i\), \(z_3 = -2 + 2i\sqrt{3}\) et \(z_4 = -5i\).
En déduire la forme algébrique de \(Z = \dfrac{(1 + i)^{10}}{(\sqrt{3} – i)^6}\).
Déterminer les entiers naturels \(n\) tels que \((1 + i\sqrt{3})^n\) soit un réel.

Exercice 7 : Exponentielle complexe et argument

Soit \(\theta \in ]-\pi, \pi[\). Déterminer le module et un argument de \(1 + e^{i\theta}\).
Soient \(\alpha, \beta\) réels. Factoriser \(e^{i\alpha} + e^{i\beta}\) et \(e^{i\alpha} – e^{i\beta}\) par \(e^{i(\alpha + \beta)/2}\).
Montrer que pour tout \(z \in \mathbb{C}\), \(|e^z| = e^{\mathrm{Re}(z)}\).
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations \(e^z = 1 + i\sqrt{3}\) et \(e^z = -1\).

Exercice 8 : Formule de Moivre

À l’aide de la formule de Moivre, exprimer \(\cos 3\theta\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\sin 3\theta\) en fonction de \(\sin\theta\).
Exprimer \(\cos 4\theta\) en fonction de \(\cos\theta\).
En déduire que \(\cos\frac{\pi}{9}\) est solution de l’équation \(8x^3 – 6x – 1 = 0\).
Montrer que, lorsque les quantités sont définies, \(\tan 3\theta = \dfrac{3t – t^3}{1 – 3t^2}\) avec \(t = \tan\theta\).

Exercice 9 : Linéarisation

Linéariser \(\cos^3 x\), puis en donner une primitive.
Linéariser \(\sin^4 x\).
En déduire la valeur de \(I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^4 x \, dx\).
Linéariser \(\sin^2 x \cos^2 x\).

Exercice 10 : Factorisation et sommes trigonométriques

Démontrer, à l’aide de la technique de l’angle moitié, que \(\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p – q}{2}\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos x + \cos 3x = 0\).
Soient \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}\). Calculer \(C_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos(kx)\) et \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \sin(kx)\).
Que valent \(C_n\) et \(S_n\) lorsque \(x \in 2\pi\mathbb{Z}\) ?

Exercice 11 : Racines carrées d’un complexe

Déterminer, sous forme algébrique, les racines carrées des complexes suivants.

\(3 – 4i\).
\(8 + 6i\).
\(-15 – 8i\).
\(2i\), par deux méthodes : algébrique puis exponentielle.

Exercice 12 : Équations du second degré

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes.

\(z^2 – (3 + i)z + 4 + 3i = 0\).
\(z^2 + z + 1 = 0\).
\(z^2 – 2\cos(\theta)\, z + 1 = 0\), où \(\theta\) est un réel.
\(z^4 – 6z^2 + 25 = 0\).
Trouver deux complexes dont la somme vaut \(2\) et le produit vaut \(5\).

Exercice 13 : Racines n-ièmes de l’unité

Soit \(n \geq\, 2\) un entier. On pose \(\omega = e^{2i\pi/n}\).

Donner sous forme algébrique les six racines sixièmes de l’unité.
Soit \(p \in \mathbb{Z}\). Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{kp}\) en distinguant selon que \(n\) divise \(p\) ou non.
Calculer le produit de toutes les racines n-ièmes de l’unité.
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (1 + \omega^k)^n\).

Exercice 14 : Racines n-ièmes d’un complexe

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^3 = -8i\). Donner les solutions sous forme algébrique.
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^4 = -8 + 8i\sqrt{3}\) et placer les solutions dans le plan.
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^5 = \overline{z}\).

Exercice 15 : Transformations du plan complexe

On considère les points \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes \(1\), \(3\) et \(2 + 2i\), ainsi que le point \(\Omega\) d’affixe \(i\), comme le montre la figure ci-dessous.

Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications \(f_1 : z \mapsto z + 2 – i\), \(f_2 : z \mapsto iz + 1 + i\), \(f_3 : z \mapsto -2z + 3\) et \(f_4 : z \mapsto (1 + i)z\).
Calculer les affixes des images \(A^{\prime}\), \(B^{\prime}\), \(C^{\prime}\) de \(A\), \(B\), \(C\) par \(f_2\). Vérifier que \(\Omega A^{\prime} = \Omega A\).
Déterminer la nature de \(f_2 \circ f_3\) et son point fixe.
Écrire l’expression complexe de la rotation de centre \(2 + i\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).

Exercice 16 : Triangle équilatéral

On note \(j = e^{2i\pi/3}\). Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distincts d’affixes \(a\), \(b\), \(c\). On dit que le triangle \(ABC\) est équilatéral direct si \(C\) est l’image de \(B\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\), comme le montre la figure ci-dessous.

Vérifier que \(1 + j + j^2 = 0\) et que \(e^{i\pi/3} = -j^2\).
Montrer que \(ABC\) est équilatéral direct si et seulement si \(a + bj + cj^2 = 0\).
En déduire que le triangle de sommets d’affixes \(1\), \(j\), \(j^2\) est équilatéral direct.
Déterminer l’affixe \(c\) pour que le triangle de sommets \(a = 0\), \(b = 2\), \(c\) soit équilatéral direct.

Exercice 17 : L’équation (z+1)^n = (z-1)^n

Soit \(n \geq\, 2\) un entier. On considère l’équation \((E) : (z + 1)^n = (z – 1)^n\).

Montrer que \(1\) n’est pas solution de \((E)\).
Montrer que \(z\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(\frac{z + 1}{z – 1}\) est une racine n-ième de l’unité différente de \(1\).
En déduire que les solutions de \((E)\) sont les complexes \(z_k = -i\,\dfrac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)}\), pour \(k \in \{1, \ldots, n – 1\}\).
Retrouver sans calcul que toutes les solutions sont sur l’axe imaginaire, en interprétant \(|z + 1| = |z – 1|\). Expliciter les solutions pour \(n = 6\).

Exercice 18 : Une inégalité dans le disque unité

Montrer que pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\) :
\[|1 – \overline{w}z|^2 – |z – w|^2 = (1 – |z|^2)(1 – |w|^2).\]
On suppose \(|z| < 1\) et \(|w| < 1\). Montrer que \(1 – \overline{w}z \neq 0\), puis que \(|\dfrac{z – w}{1 – \overline{w}z}| < 1\).
On suppose \(|w| < 1\) et \(|z| = 1\). Calculer \(|\dfrac{z – w}{1 – \overline{w}z}|\).

Exercice 19 : Sommes binomiales trigonométriques

Soient \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \in \mathbb{R}\). On pose \(A_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k}\cos(kx)\) et \(B_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k}\sin(kx)\).

Exprimer \(A_n + iB_n\) à l’aide de \((1 + e^{ix})^n\).
En déduire des expressions factorisées de \(A_n\) et de \(B_n\).
Calculer \(A_n\) et \(B_n\) pour \(x = \frac{\pi}{2}\), puis vérifier le résultat pour \(n = 2\).

Exercice 20 : Problème : le pentagone régulier

On pose \(\omega = e^{2i\pi/5}\). Les points d’affixes \(1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4\) forment un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, comme le montre la figure ci-dessous.

Montrer que \(1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0\).
On pose \(u = \omega + \omega^4\) et \(v = \omega^2 + \omega^3\). Exprimer \(u\) et \(v\) à l’aide de cosinus, puis calculer \(u + v\) et \(uv\).
En déduire que \(u\) et \(v\) sont les solutions d’une équation du second degré à coefficients réels, puis que \(\cos\frac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt{5} – 1}{4}\).
Calculer \(\cos\frac{\pi}{5}\).
Calculer la longueur \(\ell\) du côté du pentagone, c’est-à-dire \(|1 – \omega|\).

Exercice 21 : Problème : un produit de sinus

Soit \(n \geq\, 2\) un entier et \(\omega = e^{2i\pi/n}\). On admet la factorisation \(z^n – 1 = \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} (z – \omega^k)\), valable pour tout complexe \(z\).

Montrer que pour tout \(z \neq 1\), \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} (z – \omega^k) = \sum_{k=0}^{n-1} z^k\). Montrer que cette égalité reste vraie pour \(z = 1\).
En déduire la valeur de \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} (1 – \omega^k)\).
Montrer que pour \(1 \leq\, k \leq\, n – 1\), \(|1 – \omega^k| = 2\sin\frac{k\pi}{n}\).
En déduire que \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}\), puis vérifier cette formule pour \(n = 3\) et \(n = 4\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

Le cours : nombres complexes, cours de maths en L1
À maîtriser avant : Logique, raisonnement et ensembles
Chapitre précédent : Entiers naturels, récurrence et dénombrement
Chapitre suivant : Nombres réels et borne supérieure
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Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3

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