Polynômes : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Degré, coefficient dominant et intégrité

Dans cet exercice, \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).

1. Déterminez le degré et le coefficient dominant de \(P = (X+1)^5 – (X-1)^5\).
2. Soient \(P, Q \in \mathbb{R}[X]\) tels que \(P^2 = XQ^2\). En comparant les degrés, montrez que \(P = Q = 0\).
3. Déterminez tous les polynômes \(P \in \mathbb{R}[X]\) tels que \((P^{\prime})^2 = 4P\).

Exercice 2 : Divisions euclidiennes

1. Effectuez la division euclidienne de \(A = X^4 + 2X^3 – X + 3\) par \(B = X^2 + X + 1\).
2. Effectuez la division euclidienne de \(A = 2X^5 – X^3 + X + 1\) par \(B = X^3 – X + 1\).
3. Soient \(A, B \in \mathbb{R}[X]\) avec \(B \neq 0\). Justifiez que le quotient et le reste de la division de \(A\) par \(B\) sont les mêmes, que l’on divise dans \(\mathbb{R}[X]\) ou dans \(\mathbb{C}[X]\).

Exercice 3 : Racines et factorisation par X − a

1. Vérifiez que \(1\) est racine de \(P = X^4 + X^3 – 7X^2 – X + 6\), puis factorisez entièrement \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
2. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) tel que \(P(x + 1) = P(x)\) pour tout réel \(x\). Montrez que \(P\) est constant. On pourra considérer \(P – P(0)\).
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Existe-t-il un polynôme \(P\) de degré au plus \(n\), non nul, qui s’annule en \(0, 1, \ldots, n\) ? Et un polynôme de degré \(n + 1\) ? Justifiez.

Exercice 4 : Multiplicité d’une racine

On considère \(P = X^5 – 5X^3 + 5X^2 – 1\).

1. Montrez que \(1\) est racine de \(P\) et déterminez sa multiplicité.
2. Factorisez \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
3. Soit \(n \geq\, 1\). Déterminez les réels \(a\) et \(b\) tels que \((X – 1)^2\) divise \(aX^{n+1} + bX^n + 1\).

Exercice 5 : Reste d’une division par évaluation

Soit \(n \geq\, 2\) un entier.

1. Déterminez le reste de la division de \(X^n\) par \((X – 1)(X – 2)\).
2. Déterminez le reste de la division de \(X^n\) par \((X – 1)^2\).
3. Soit \(\theta \in \mathbb{R}\). Déterminez le reste de la division de \((\cos\theta + X \sin\theta)^n\) par \(X^2 + 1\).

Exercice 6 : Racine double et paramètre

Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), on pose \(P_\lambda = X^3 – 3X + \lambda\). La figure ci-dessous représente quelques fonctions \(x \mapsto P_\lambda(x)\).

1. Déterminez les valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles \(P_\lambda\) possède une racine multiple.
2. Pour chacune de ces valeurs, factorisez \(P_\lambda\).
3. Sans calcul supplémentaire, déduisez-en le nombre de racines réelles distinctes de \(P_\lambda\) selon \(\lambda\).

Exercice 7 : Polynômes à racines simples

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(P_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}\).

1. Calculez \(P_n – P_n^{\prime}\).
2. Montrez que \(P_n\) n’a que des racines simples dans \(\mathbb{C}\).
3. Soit \(a \in \mathbb{C}\) non nul. Montrez de même que \(X^n – a\) n’a que des racines simples.

Exercice 8 : Factorisations dans C[X] et R[X]

1. Factorisez \(X^4 + 1\) en produit d’irréductibles dans \(\mathbb{C}[X]\), puis dans \(\mathbb{R}[X]\).
2. Factorisez \(X^6 – 1\) dans \(\mathbb{C}[X]\), puis dans \(\mathbb{R}[X]\).
3. Déduisez de la question 2 la factorisation de \(X^4 + X^2 + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

Exercice 9 : Racines conjuguées d’un polynôme réel

1. Vérifiez que \(1 + i\) est racine de \(P = X^4 – 2X^3 + 3X^2 – 2X + 2\).
2. Déduisez-en la factorisation de \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\) puis dans \(\mathbb{C}[X]\).
3. Déterminez le polynôme réel unitaire de plus petit degré qui admet \(i\) comme racine double et \(1\) comme racine simple.

Exercice 10 : Relations entre coefficients et racines

On note \(x_1, x_2, x_3\) les racines complexes de \(P = X^3 – 3X^2 + X + 2\).

1. Sans calculer les racines, déterminez \(x_1 + x_2 + x_3\), \(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\) et \(x_1x_2x_3\).
2. Déduisez-en \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\), \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}\) et \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3\).
3. Vérifiez que \(2\) est racine de \(P\), calculez les trois racines et contrôlez les résultats précédents.

Exercice 11 : Systèmes symétriques et racines en progression

1. Résolvez dans \(\mathbb{C}^3\) le système \(x + y + z = 2\), \(xy + yz + zx = -1\), \(xyz = -2\).
2. On admet que les racines de \(P = X^3 – 9X^2 + 23X – 15\) sont en progression arithmétique. Déterminez-les.
3. Soient \(a, b, c\) les racines de \(X^3 + pX + q\), avec \(q \neq 0\). Calculez \(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\) en fonction de \(p\) et \(q\).

Exercice 12 : PGCD et relation de Bézout

On pose \(A = X^4 – 1\) et \(B = X^3 + 2X^2 + 2X + 1\).

1. Calculez \(A \wedge B\) par l’algorithme d’Euclide.
2. Déterminez deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(AU + BV = A \wedge B\).
3. Retrouvez le PGCD en factorisant \(A\) et \(B\) dans \(\mathbb{C}[X]\).

Exercice 13 : PGCD de X^n − 1 et X^m − 1

Soient \(n\) et \(m\) deux entiers naturels non nuls. On note \(d = n \wedge m\) leur PGCD dans \(\mathbb{Z}\).

1. Montrez que si \(m\) divise \(k\), alors \(X^m – 1\) divise \(X^k – 1\).
2. On écrit \(n = qm + r\) avec \(0 \leq\, r < m\). Montrez que le reste de la division de \(X^n – 1\) par \(X^m – 1\) est \(X^r – 1\).
3. Déduisez-en que \((X^n – 1) \wedge (X^m – 1) = X^d – 1\).
4. Application : calculez \((X^{12} – 1) \wedge (X^{18} – 1)\).

Exercice 14 : Irréductibles et analogie avec les entiers

1. Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) de degré 2 ou 3. Montrez que \(P\) est irréductible dans \(\mathbb{K}[X]\) si et seulement s’il n’a pas de racine dans \(\mathbb{K}\).
2. Montrez que \(X^3 – 2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). On admettra qu’une racine rationnelle \(\frac{p}{q}\) irréductible d’un polynôme unitaire à coefficients entiers vérifie \(q = 1\) et \(p\) divise le coefficient constant.
3. Montrez que \(X^4 + 4\) n’a aucune racine réelle, mais qu’il n’est pas irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\) ni même dans \(\mathbb{Q}[X]\).
4. Soit \(P\) irréductible et \(A\) quelconque dans \(\mathbb{K}[X]\). Montrez que soit \(P\) divise \(A\), soit \(P \wedge A = 1\).

Exercice 15 : Partie entière et pôles d’une fraction rationnelle

On considère \(F = \frac{X^3 + 2X^2}{X^2 – 1}\).

1. Déterminez les pôles de \(F\) et leur multiplicité, ainsi que ses racines.
2. Calculez la partie entière de \(F\).
3. Décomposez \(F\) en éléments simples dans \(\mathbb{R}(X)\).
4. Interprétez la partie entière pour la courbe de \(x \mapsto F(x)\).

Exercice 16 : Pôles simples dans C(X)

On note \(j = e^{2i\pi/3}\).

1. Décomposez \(\frac{1}{X^3 – 1}\) en éléments simples dans \(\mathbb{C}(X)\).
2. Déduisez-en sa décomposition dans \(\mathbb{R}(X)\).
3. Plus généralement, pour \(n \geq\, 1\) et \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\), montrez que \(\frac{1}{X^n – 1} = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\omega_k}{X – \omega_k}\).

Exercice 17 : Pôle double et dérivées successives

On considère \(F = \frac{2X + 1}{X(X – 1)^2}\).

1. Écrivez la forme de la décomposition en éléments simples de \(F\) dans \(\mathbb{R}(X)\), puis calculez ses coefficients.
2. Vérifiez le résultat en un point bien choisi.
3. Pour \(n \in \mathbb{N}\), calculez la dérivée \(n\)-ième de la fonction \(f : x \mapsto F(x)\) sur \(]1, +\infty[\).

Exercice 18 : Décomposition dans R(X)

1. Décomposez \(F = \frac{X}{(X – 1)(X^2 + 1)}\) en éléments simples dans \(\mathbb{R}(X)\).
2. Décomposez la même fraction dans \(\mathbb{C}(X)\) et vérifiez la cohérence avec la question 1.
3. Décomposez \(G = \frac{X^4}{X^2 + X + 1}\) dans \(\mathbb{R}(X)\).

Exercice 19 : Somme télescopique

1. Décomposez \(\frac{1}{X(X + 1)(X + 2)}\) en éléments simples.
2. Déduisez-en, pour \(n \geq\, 1\), une expression simple de \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\).
3. Déterminez la limite de \(S_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 20 : Dérivée logarithmique

Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\) non constant, de racines distinctes \(z_1, \ldots, z_r\) de multiplicités \(m_1, \ldots, m_r\).

1. Montrez que \(\frac{P^{\prime}}{P} = \sum_{k=1}^{r} \frac{m_k}{X – z_k}\).
2. On suppose \(P \in \mathbb{R}[X]\) scindé sur \(\mathbb{R}\) à racines simples. Montrez que \((P^{\prime})^2 – PP^{\prime\prime} > 0\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Soit \(n \geq\, 2\) et \(\omega = e^{2i\pi/n}\). Calculez \(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{1 – \omega^k}\).

Exercice 21 : Factorisation de X^n − 1 et produit de sinus

Soit \(n \geq\, 2\) et \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n – 1\).

1. Écrivez la factorisation de \(X^n – 1\) dans \(\mathbb{C}[X]\).
2. Donnez sa factorisation en irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\), en distinguant \(n\) pair et \(n\) impair.
3. Montrez que \(\prod_{k=1}^{n-1} (1 – \omega_k) = n\).
4. Déduisez-en que \(\prod_{k=1}^{n-1} \sin(\frac{k\pi}{n}) = \frac{n}{2^{n-1}}\).

Exercice 22 : Problème : polynômes de Tchebychev

On définit une suite de polynômes par \(T_0 = 1\), \(T_1 = X\) et \(T_{n+1} = 2XT_n – T_{n-1}\) pour \(n \geq\, 1\). La figure ci-dessous représente \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) et \(T_4\) sur \([-1, 1]\).

1. Calculez \(T_2\), \(T_3\) et \(T_4\).
2. Montrez que, pour \(n \geq\, 1\), \(T_n\) est de degré \(n\) et de coefficient dominant \(2^{n-1}\). Montrez aussi que \(T_n\) a la parité de \(n\).
3. Montrez que \(T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)\) pour tout réel \(\theta\) et tout \(n \in \mathbb{N}\).
4. Pour \(n \geq\, 1\), déterminez \(n\) racines distinctes de \(T_n\) dans \([-1, 1]\). Déduisez-en la factorisation de \(T_n\) dans \(\mathbb{R}[X]\) et la simplicité de ses racines.
5. À l’aide des relations entre coefficients et racines, calculez \(\sum_{k=0}^{n-1} \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\) pour \(n \geq\, 2\).
6. Pour \(n\) pair, calculez \(\prod_{k=0}^{n-1} \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : polynômes, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Nombres complexes et trigonométrie, Arithmétique des entiers
• Chapitre précédent : Arithmétique des entiers
• Chapitre suivant : Systèmes linéaires et calcul matriciel
• Le même thème en maths sup : polynômes, exercices de maths sup
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3