Contrôle de maths L1 : systèmes linéaires, pivot de Gauss et inverse

Exercice 1 : Question de cours : inverse et transposée d’un produit (3 points)

Calculatrice interdite. Les déterminants ne sont pas autorisés dans ce sujet.

Dans tout le sujet, \(n\) est un entier naturel non nul et \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) désigne l’ensemble des matrices carrées réelles de taille \(n\).

1. Donnez la définition d’une matrice inversible de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Montrez que si \(A\) et \(B\) sont inversibles, alors \(AB\) est inversible et \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\). (1,5 point)
2. Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})\). Démontrez, à l’aide des coefficients, que \((AB)^{T} = B^{T} A^{T}\). (1,5 point)

Exercice 2 : Système linéaire à paramètre (5 points)

Soit \(m\) un réel. On considère le système d’inconnues réelles \(x\), \(y\), \(z\) :

\[(S_m) \qquad \{ \begin{array}{rcl} x + y + m\,z = 1 \\ x + m\,y + z = 1 \\ m\,x + y + z = 1 \end{array} .\]

1. À l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes que vous préciserez, transformez \((S_m)\) en un système triangulaire équivalent. (2 points)
2. On suppose \(m \neq 1\) et \(m \neq -2\). Montrez que \((S_m)\) admet une unique solution et déterminez-la. (1,5 point)
3. Résolvez \((S_1)\) et \((S_{-2})\). (1,5 point)

Exercice 3 : Puissances d’une matrice par la formule du binôme (4 points)

On pose

\[A = \begin{pmatrix} 2 1 0 \\ 0 2 1 \\ 0 0 2 \end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad N = A – 2I_3.\]

1. Calculez \(N\), \(N^2\) et \(N^3\). (1 point)
2. Justifiez que l’on peut appliquer la formule du binôme de Newton à \(A = 2I_3 + N\), puis donnez l’expression de \(A^n\) pour tout entier \(n \geq\, 2\), sous forme d’une matrice explicite. (2,5 points)
3. Vérifiez votre formule pour \(n = 2\) en calculant directement \(A^2\). (0,5 point)

Exercice 4 : Inverse d’une matrice par la méthode de Gauss-Jordan (3,5 points)

\[M = \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 1 4 \\ 5 6 0 \end{pmatrix}\]

1. Par la méthode de Gauss-Jordan appliquée à la matrice augmentée \((M \mid I_3)\), montrez que \(M\) est inversible et calculez \(M^{-1}\). (2,5 points)
2. En déduire la solution du système \(x + 2y + 3z = 1\), \(y + 4z = 2\), \(5x + 6y = 3\). (1 point)

Exercice 5 : Problème : matrices triangulaires supérieures (4,5 points)

On note \(\mathcal{T}_n\) l’ensemble des matrices \(T = (t_{ij})\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) triangulaires supérieures, c’est-à-dire telles que \(t_{ij} = 0\) dès que \(i > j\).

1. Soient \(S = (s_{ij})\) et \(T = (t_{ij})\) dans \(\mathcal{T}_n\). Montrez que \(ST \in \mathcal{T}_n\) et que ses coefficients diagonaux sont les produits \(s_{ii}\,t_{ii}\). (1,5 point)
2. Soit \(T \in \mathcal{T}_n\) dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls. Montrez que, pour tout \(Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), le système \(TX = Y\) admet une unique solution \(X\). En déduire que \(T\) est inversible. (1,5 point)
3. Avec les hypothèses de b), montrez que \(T^{-1}\) est triangulaire supérieure. (1 point)
4. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^{T}A = 0\). Montrez que \(A = 0\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : systèmes linéaires, pivot de Gauss et inverse

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Systèmes linéaires et matrices » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés systèmes linéaires et matrices.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L1 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.