Contrôle de maths L1 : dérivation, Rolle et accroissements finis

Exercice 1 : Théorème de Rolle et accroissements finis (4 points)

Calculatrice interdite.

Dans cette question de cours, \(a < b\) sont deux réels.

1. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), dérivable en un point \(c\) intérieur à \(I\). Démontrez que si \(f\) admet un extremum local en \(c\), alors \(f^{\prime}(c) = 0\). (1,5 point)
2. Énoncez et démontrez le théorème de Rolle. (1,5 point)
3. Déduisez-en l’égalité des accroissements finis en appliquant le théorème de Rolle à une fonction auxiliaire que vous préciserez. (1 point)

Exercice 2 : Dérivabilité et formule de Leibniz (5 points)

On définit \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 \sin(\dfrac{1}{x})\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\).

1. Montrez que \(f\) est dérivable en \(0\) et donnez \(f^{\prime}(0)\). (1 point)
2. Calculez \(f^{\prime}(x)\) pour \(x \neq 0\). (0,5 point)
3. Montrez que \(f^{\prime}\) n’est pas continue en \(0\). Que peut-on dire de la classe de \(f\) ? (1 point)
4. On pose \(g(x) = x^2 \mathrm{e}^{2x}\). À l’aide de la formule de Leibniz, montrez que pour tout entier \(n \geq\, 2\) et tout réel \(x\) :

   \[g^{(n)}(x) = 2^{n-2} \, \mathrm{e}^{2x} (4x^2 + 4nx + n(n-1)).\]

   Déduisez-en \(g^{(n)}(0)\). (2,5 points)

Exercice 3 : Théorème de Rolle et racines (4 points)

1. On pose \(P(x) = x^5 – 5x + 1\). En utilisant le théorème de Rolle, montrez que \(P\) a au plus trois racines réelles, puis qu’il en a exactement trois. Vous préciserez trois intervalles de longueur \(1\) qui les contiennent. (2 points)
2. Soit \(n \geq\, 1\) et \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable sur un intervalle \(I\), qui s’annule en \(n+1\) points distincts de \(I\). Démontrez par récurrence sur \(n\) que \(f^{(n)}\) s’annule au moins une fois sur \(I\). (1 point)
3. Soit \(a\), \(b\), \(c\) trois réels. Déduisez de la question b) que l’équation \(\mathrm{e}^x = ax^2 + bx + c\) admet au plus trois solutions réelles. (1 point)

Exercice 4 : Accroissements finis et logarithme (7 points)

On note \(\varphi\) la fonction définie sur \(]-1, +\infty[\) par \(\varphi(x) = \ln(1 + x)\).

1. Soit \(x > 0\). En appliquant l’égalité des accroissements finis à \(\varphi\) sur \([0, x]\), montrez que \(\dfrac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x\). (2 points)
2. Déduisez-en la limite de \(n \ln(1 + \dfrac{1}{n})\), puis celle de \((1 + \dfrac{1}{n})^n\), quand \(n\) tend vers \(+\infty\). (1,5 point)
3. On pose \(h(x) = \ln(1 + x) – x + \dfrac{x^2}{2}\) pour \(x \geq\, 0\). Étudiez le sens de variation de \(h\) et déduisez-en que \(x – \dfrac{x^2}{2} \leq\, \ln(1 + x)\) pour tout \(x \geq\, 0\). Donnez alors un encadrement de \(\ln(1{,}1)\) d’amplitude \(0{,}005\). (1,5 point)
4. La figure ci-dessous montre la courbe de \(\varphi\), la corde joignant \(A(0 ; 0)\) à \(B(3 ; \ln 4)\) et une tangente parallèle à cette corde au point \(C\) d’abscisse \(c\). Calculez \(c\) de façon exacte et justifiez, sans calculatrice, que \(0 < c < 3\). (1 point)

5. À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, montrez que \(|\sin x – \sin y| \leq\, |x – y|\) pour tous réels \(x\) et \(y\), puis que \(|\sin x| \leq\, |x|\) pour tout réel \(x\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : dérivation, Rolle et accroissements finis

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Dérivation » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés dérivation.

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