Corrigé du contrôle de maths L1 : polynômes, racines et fractions rationnelles

Exercice 1 : Question de cours : racines multiples et dérivées (3 points)

1. Formule de Taylor pour les polynômes. Si \(P\) est de degré \(d\), alors
   \[P = \sum_{k=0}^{d} \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(X – a)^k.\]
2. Supposons \(P(a) = P^{\prime}(a) = 0\). Les deux premiers termes de la formule de Taylor sont nuls, donc
   \[P = (X-a)^2 \sum_{k=2}^{d} \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(X – a)^{k-2},\]

   ce qui montre que \((X-a)^2\) divise \(P\) : \(a\) est racine d’ordre au moins 2.

   Réciproquement, si \(P = (X-a)^2\,Q\) avec \(Q \in \mathbb{K}[X]\), alors \(P(a) = 0\) et, en dérivant un produit, \(P^{\prime} = 2(X-a)\,Q + (X-a)^2\,Q^{\prime}\), d’où \(P^{\prime}(a) = 0\).

   Donc \(a\) est racine d’ordre au moins 2 si et seulement si \(P(a) = P^{\prime}(a) = 0\).

Barème : a) 1 point ; b) 2 points (1 point pour chaque implication).

Exercice 2 : Division euclidienne et ordre de multiplicité (4 points)

1. On abaisse le degré terme à terme :
   • \(A – X^2 B = X^4 + 2X^3 – X + 3 – (X^4 + X^3 + X^2) = X^3 – X^2 – X + 3\) ;
   • \(X^3 – X^2 – X + 3 – X\,B = X^3 – X^2 – X + 3 – (X^3 + X^2 + X) = -2X^2 – 2X + 3\) ;
   • \(-2X^2 – 2X + 3 – (-2)\,B = -2X^2 – 2X + 3 + 2X^2 + 2X + 2 = 5\).

   Le reste est de degré \(0 < 2 = \deg B\). Ainsi \(A = (X^2 + X – 2)\,B + 5\) : quotient \(X^2 + X – 2\), reste \(5\).

2. On calcule les dérivées successives :
   \[P^{\prime} = 5X^4 – 24X^3 + 39X^2 – 28X + 12, \quad P^{\prime\prime} = 20X^3 – 72X^2 + 78X – 28, \quad P^{(3)} = 60X^2 – 144X + 78.\]

   Puis \(P(2) = 32 – 96 + 104 – 56 + 24 – 8 = 0\), \(P^{\prime}(2) = 80 – 192 + 156 – 56 + 12 = 0\), \(P^{\prime\prime}(2) = 160 – 288 + 156 – 28 = 0\) et \(P^{(3)}(2) = 240 – 288 + 78 = 30 \neq 0\). D’après la caractérisation par les dérivées successives, 2 est racine d’ordre exactement 3.

   Donc \((X-2)^3 = X^3 – 6X^2 + 12X – 8\) divise \(P\). Le quotient est unitaire de degré 2 ; en identifiant le coefficient constant, \(-8 \times c = -8\), donc \(c = 1\), et l’on vérifie que \((X^3 – 6X^2 + 12X – 8)(X^2 + 1) = X^5 – 6X^4 + 13X^3 – 14X^2 + 12X – 8\).

   Dans \(\mathbb{R}[X]\) : \(P = (X-2)^3\,(X^2+1)\), et \(X^2 + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\) (discriminant \(-4 < 0\)). Dans \(\mathbb{C}[X]\) : \(P = (X-2)^3\,(X – i)\,(X + i)\).

Barème : a) 1,5 point (1 pour les étapes, 0,5 pour le résultat) ; b) 2,5 points : 1,5 point pour les dérivées et l’ordre 3, 0,5 point pour la factorisation réelle, 0,5 point pour la factorisation complexe.

Exercice 3 : Relations entre coefficients et racines (3 points)

1. Pour \(Q = X^3 – 2X^2 + 3X – 5\) unitaire, les relations entre coefficients et racines donnent
   \[\sigma_1 = x_1 + x_2 + x_3 = 2, \qquad \sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 3, \qquad \sigma_3 = x_1x_2x_3 = 5.\]

   Ensuite \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = \sigma_1^2 – 2\sigma_2 = 4 – 6 = -2\). La somme des carrés vaut \(-2\).

   Si les trois racines étaient réelles, cette somme serait positive. Les racines ne sont donc pas toutes réelles ; comme \(Q\) est réel de degré impair, il a exactement une racine réelle et deux racines complexes conjuguées non réelles.

2. Aucune racine n’est nulle car \(\sigma_3 = 5 \neq 0\). Alors
   \[\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3} = \dfrac{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}{x_1x_2x_3} = \dfrac{\sigma_2}{\sigma_3} = \dfrac{3}{5}.\]

   La somme des inverses vaut \(\dfrac{3}{5}\).

3. Chaque racine vérifie \(x_j^3 = 2x_j^2 – 3x_j + 5\). En sommant pour \(j = 1, 2, 3\) :
   \[x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 2 \times (-2) – 3 \times 2 + 3 \times 5 = -4 – 6 + 15 = 5.\]

   La somme des cubes vaut 5.

Erreur fréquente : écrire \(\sigma_3 = -5\). Pour un polynôme unitaire de degré 3, \(x_1x_2x_3 = (-1)^3 \times (-5) = 5\).

Barème : a) 1,5 point (0,75 pour les trois fonctions symétriques, 0,5 pour la somme des carrés, 0,25 pour la conclusion) ; b) 0,75 point ; c) 0,75 point.

Exercice 4 : Factorisation de X^4 + 1 (3 points)

1. On cherche \(z = r\,e^{i\theta}\) avec \(z^4 = -1 = e^{i\pi}\) : il faut \(r^4 = 1\), donc \(r = 1\), et \(4\theta \equiv \pi \pmod{2\pi}\), soit \(\theta = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\) avec \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\). Les racines sont \(e^{i\pi/4}\), \(e^{3i\pi/4}\), \(e^{5i\pi/4} = e^{-3i\pi/4}\) et \(e^{7i\pi/4} = e^{-i\pi/4}\), deux à deux distinctes. Le polynôme étant unitaire de degré 4 :
   \[X^4 + 1 = (X – e^{i\pi/4})(X – e^{-i\pi/4})(X – e^{3i\pi/4})(X – e^{-3i\pi/4}).\]
2. Pour \(\theta\) réel, \((X – e^{i\theta})(X – e^{-i\theta}) = X^2 – 2\cos(\theta)\,X + 1\). Avec \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :
   \[X^4 + 1 = (X^2 – \sqrt{2}\,X + 1)(X^2 + \sqrt{2}\,X + 1).\]

   Les deux facteurs ont pour discriminant \(2 – 4 = -2 < 0\) : ils sont irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\). Vérification : le produit vaut \((X^2 + 1)^2 – 2X^2 = X^4 + 2X^2 + 1 – 2X^2 = X^4 + 1\). C’est la factorisation cherchée.

Barème : a) 1,5 point (1 pour les racines, 0,5 pour la factorisation) ; b) 1,5 point (1 pour le regroupement, 0,5 pour la vérification et l’irréductibilité).

Exercice 5 : Problème : restes et éléments simples (7 points)

Partie A.

1. Le reste d’une division par \((X-1)^2\), de degré 2, est de degré au plus 1 : il s’écrit \(R = aX + b\). On a donc \(X^n = (X-1)^2\,Q + aX + b\).

   En évaluant en 1 : \(1 = a + b\). En dérivant : \(n\,X^{n-1} = 2(X-1)\,Q + (X-1)^2\,Q^{\prime} + a\), puis en évaluant en 1 : \(n = a\). Ainsi \(b = 1 – n\).

   Le reste est \(R = nX + 1 – n\). Contrôle pour \(n = 2\) : \(X^2 = (X-1)^2 + 2X – 1\).

Partie B.

2. Le numérateur est de degré 2, strictement inférieur au degré 3 du dénominateur : la partie entière est nulle. La décomposition a la forme
   \[F = \dfrac{a}{X-1} + \dfrac{b}{(X-1)^2} + \dfrac{c}{X+1}.\]
   • En multipliant par \((X-1)^2\) puis en évaluant en 1 : \(b = \dfrac{1 + 1}{1 + 1} = 1\).
   • En multipliant par \(X + 1\) puis en évaluant en \(-1\) : \(c = \dfrac{1 + 1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{2}\).
   • En multipliant par \(X\) et en faisant tendre \(x\) vers \(+\infty\) : \(1 = a + c\), donc \(a = \dfrac{1}{2}\).

   Contrôle en 0 : \(F(0) = \dfrac{1}{1 \times 1} = 1\) et \(-\dfrac{1}{2} + 1 + \dfrac{1}{2} = 1\).

   Conclusion :

   \[F = \dfrac{1/2}{X-1} + \dfrac{1}{(X-1)^2} + \dfrac{1/2}{X+1}.\]

3. Dans \(\mathbb{R}(X)\), \(X^2 + 1\) est irréductible et \(G = \dfrac{\alpha}{X} + \dfrac{\beta X + \gamma}{X^2 + 1}\). En multipliant par \(X\) et en évaluant en 0 : \(\alpha = 1\). Alors \(\dfrac{\beta X + \gamma}{X^2+1} = \dfrac{1}{X(X^2+1)} – \dfrac{1}{X} = \dfrac{1 – X^2 – 1}{X(X^2+1)} = \dfrac{-X}{X^2+1}\).

   \(G = \dfrac{1}{X} – \dfrac{X}{X^2 + 1}\).

4. Dans \(\mathbb{C}(X)\), \(G = \dfrac{1}{X(X-i)(X+i)}\) n’a que des pôles simples : \(G = \dfrac{\alpha}{X} + \dfrac{\delta}{X – i} + \dfrac{\,\overline{\delta}}{X + i}\), les coefficients en \(i\) et \(-i\) étant conjugués puisque \(G\) est à coefficients réels. On a \(\alpha = 1\) et
   \[\delta = \dfrac{1}{i\,(i + i)} = \dfrac{1}{2i^2} = -\dfrac{1}{2}, \qquad \,\overline{\delta} = -\dfrac{1}{2}.\]

   \(G = \dfrac{1}{X} – \dfrac{1/2}{X – i} – \dfrac{1/2}{X + i}\). On retrouve bien c) car \(\dfrac{1}{X-i} + \dfrac{1}{X+i} = \dfrac{2X}{X^2+1}\).

Barème : a) 2 points (0,5 pour la forme du reste, 0,5 pour a + b = 1, 1 pour la dérivation) ; b) 2,5 points (0,5 pour la partie entière et la forme, 0,5 par coefficient, 0,5 pour le contrôle) ; c) 1 point ; d) 1,5 point (0,5 pour la forme, 1 pour les coefficients).

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Après le corrigé du contrôle : polynômes, racines et fractions rationnelles

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