Ce QCM vérifie la maîtrise des nombres complexes en L1 : forme exponentielle, racines carrées et \(n\)-ièmes, trigonométrie et interprétation géométrique. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Nombres complexes et trigonométrie du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Nombres complexes - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quelle est une forme exponentielle de \(z = -1 + i\) ?
A\(\sqrt{2}\, e^{3i\pi/4}\)
B\(2\, e^{3i\pi/4}\)
C\(\sqrt{2}\, e^{-i\pi/4}\)
D\(\sqrt{2}\, e^{i\pi/4}\)
Question 2
Que vaut \((1 + i)^8\) ?
A\(-16\)
B\(16\)
C\(256\)
D\(16i\)
Question 3
Quelles sont les racines carrées de \(3 + 4i\) ?
A\(2 + i\) et \(-2 - i\)
B\(\sqrt{3} + 2i\) et \(-\sqrt{3} - 2i\)
C\(1 + 2i\) et \(-1 - 2i\)
D\(2 - i\) et \(-2 + i\)
Question 4
Pour \(n \geqslant 2\), que vaut la somme des racines \(n\)-ièmes de l’unité ?
A\(1\)
B\(-1\)
C\(0\)
D\(n\)
Question 5
Quelle est la linéarisation de \(\cos^3 x\) ?
A\(\dfrac{3\cos x - \cos 3x}{4}\)
B\(\dfrac{\cos 3x + 3\cos x}{4}\)
C\(\dfrac{\cos 3x + \cos x}{2}\)
D\(\dfrac{\cos 3x - 3\cos x}{4}\)
Question 6
Pour \(z, w \in \mathbb{C}\) avec \(w \neq 0\), quand a-t-on l’égalité \(|z + w| = |z| + |w|\) ?
ASi et seulement si \(|z| = |w|\)
BSi et seulement si \(z\) et \(w\) sont réels
CSi et seulement s’il existe \(\lambda \geqslant 0\) tel que \(z = \lambda w\)
DSi et seulement s’il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(z = \lambda w\)
Question 7
Quelles sont les solutions dans \(\mathbb{C}\) de \(z^2 - (1+i)z + i = 0\) ?
A\(-1\) et \(-i\)
B\(1\) et \(-i\)
C\(-1\) et \(i\)
D\(1\) et \(i\)
Question 8
Quelle transformation du plan est représentée par \(z \mapsto iz + 1\) ?
ALa rotation de centre \(\frac{1+i}{2}\) et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\)
BLa rotation de centre \(1\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\)
CL’homothétie de centre \(\frac{1+i}{2}\) et de rapport \(i\)
DLa rotation de centre \(\frac{1+i}{2}\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\)
Question 9
Lequel de ces nombres est une racine cubique de \(8i\) ?
A\(1 + i\sqrt{3}\)
B\(-2i\)
C\(2i\)
D\(-2\)
Question 10
Pour \(z \in \mathbb{C}^*\), à quelle condition a-t-on \(|z| = 1\) ?
ASi et seulement si \(\overline{z} = \dfrac{1}{z}\)
BSi et seulement si \(\overline{z} = -z\)
CSi et seulement si \(z^2 = 1\)
DSi et seulement si \(\overline{z} = z\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de nombres complexes en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le passage à la forme exponentielle \(z = r\,e^{i\theta}\) et la formule de Moivre ;
les racines carrées d’un complexe et les équations du second degré ;
les racines \(n\)-ièmes de l’unité et d’un complexe ;
la linéarisation par les formules d’Euler ;
l’interprétation géométrique de \(z \mapsto az + b\).
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire que \(\arg(z_1 + z_2) = \arg z_1 + \arg z_2\). C’est vrai pour le produit (modulo \(2\pi\)), jamais en général pour la somme.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour les racines carrées sous forme algébrique, posez \(\delta = x + iy\) et utilisez trois équations : parties réelles, parties imaginaires et égalité des modules \(x^2 + y^2 = |z|\) ; la troisième évite de résoudre une équation de degré \(4\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Pourquoi l’argument n’est-il défini qu’à \(2\pi\) près ?
Parce que \(\theta \mapsto e^{i\theta}\) est \(2\pi\)-périodique : \(r e^{i\theta} = r e^{i(\theta + 2k\pi)}\). On choisit parfois l’argument principal dans \(]-\pi, \pi]\).
Combien un complexe non nul a-t-il de racines \(n\)-ièmes ?
Exactement \(n\) : si \(z = r e^{i\theta}\), ce sont les \(r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n}\) pour \(k = 0, \dots, n-1\), qui forment un polygone régulier.
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