Contrôle de maths L1 : géométrie du plan et de l’espace, distances

Exercice 1 : Question de cours : distances à un plan et à une droite (3 points)

Calculatrice interdite.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\).

1. Soit \(\mathcal{P}\) le plan d’équation \(ax + by + cz + d = 0\), avec \((a, b, c) \neq (0, 0, 0)\), et soit \(M_0(x_0, y_0, z_0)\) un point. Démontrez que la distance de \(M_0\) à \(\mathcal{P}\) vaut
   \[d(M_0, \mathcal{P}) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\] (2 points)
2. Soit \(\Delta\) la droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u} \neq \vec{0}\). Démontrez que, pour tout point \(M\), \(d(M, \Delta) = \dfrac{\|\vec{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}\). (1 point)

Exercice 2 : Un plan, une droite d’intersection et une distance (5 points)

On considère les points \(A(1, 0, 2)\), \(B(2, 1, 1)\), \(C(0, 2, 1)\) et \(D(2, -1, 0)\).

1. Montrez que \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés. Donnez une représentation paramétrique du plan \(\mathcal{P} = (ABC)\). (1 point)
2. Calculez \(\vec{AB} \wedge \vec{AC}\). Déduisez-en une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\). (1,5 point)
3. Soit \(\mathcal{Q}\) le plan d’équation \(x + y – z = -1\). Montrez que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\) sont sécants en une droite \(\Delta\). En résolvant un système linéaire, donnez une représentation paramétrique de \(\Delta\). Vérifiez que sa direction est celle de \(\vec{n}_{\mathcal{P}} \wedge \vec{n}_{\mathcal{Q}}\). (1,5 point)
4. Calculez la distance du point \(D\) au plan \(\mathcal{P}\). (1 point)

Exercice 3 : Produit mixte et volume d’un tétraèdre (4 points)

On reprend les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) de l’exercice 2. On rappelle que le volume d’un tétraèdre \(ABCD\) vaut \(\dfrac{1}{6}\big|[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]\big|\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calculez le produit mixte \([\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]\). (1,5 point)
2. Déduisez-en le volume du tétraèdre \(ABCD\). (0,5 point)
3. Calculez l’aire du triangle \(ABC\). (1 point)
4. À l’aide de la formule \(V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de base} \times \text{hauteur}\), retrouvez le résultat de la question d de l’exercice 2. (1 point)

Exercice 4 : Problème : distance à une droite et sphère tangente (8 points)

On considère la droite \(\mathcal{L}\) passant par \(E(1, 1, 0)\) et dirigée par \(\vec{w} = (1, 2, 2)\), le point \(M(4, 1, 3)\) et le point \(\Omega(1, 2, 3)\). Le plan \(\mathcal{P}\) est celui de l’exercice 2.

Partie A : distance d’un point à une droite

1. À l’aide du produit vectoriel, calculez la distance de \(M\) à \(\mathcal{L}\). (1,5 point)
2. Déterminez le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(\mathcal{L}\), puis vérifiez que \(MH\) est égale à la distance trouvée. (1,5 point)

Partie B : une sphère tangente au plan

3. Déterminez une équation de la sphère \(\mathcal{S}\) de centre \(\Omega\) tangente au plan \(\mathcal{P}\). (1,5 point)
4. Déterminez les coordonnées du point de contact \(T\) entre \(\mathcal{S}\) et \(\mathcal{P}\). (1,5 point)
5. La droite \(\mathcal{L}\) coupe-t-elle la sphère \(\mathcal{S}\) ? Justifiez sans calculer les éventuels points d’intersection. (2 points)

Réviser avant le contrôle : géométrie du plan et de l’espace, distances

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Géométrie du plan et de l’espace » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés géométrie du plan et de l’espace.

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