Applications linéaires : cours de maths en L1 en PDF.

Une application \(f : E \to F\) est dite linéaire si, pour tous \(x, y \in E\) et tout \(\lambda \in \mathbb{K}\), on a \(f(x + y) = f(x) + f(y)\) et \(f(\lambda x) = \lambda f(x)\).

On note \(\mathcal{L}(E, F)\) l’ensemble des applications linéaires de \(E\) dans \(F\). Une application linéaire de \(E\) dans \(E\) est un endomorphisme ; leur ensemble se note \(\mathcal{L}(E)\). Une application linéaire bijective est un isomorphisme. Enfin, un endomorphisme bijectif est un automorphisme.

L’application \(f : E \to F\) est linéaire si et seulement si, pour tous \(x, y \in E\) et tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\) :

\[ f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y). \]

De plus, une application linéaire vérifie toujours \(f(0_E) = 0_F\) et \(f(-x) = -f(x)\).

Si \(f\) est linéaire, alors \(f(\lambda x + \mu y) = f(\lambda x) + f(\mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)\). Réciproquement, le choix \(\lambda = \mu = 1\) donne l’additivité. Ensuite, le choix \(\mu = 0\) donne l’homogénéité, car \(f(0_E) = f(0 \cdot 0_E) = 0 \cdot f(0_E) = 0_F\). Enfin, \(f(-x) = f((-1) x) = -f(x)\).

Pour montrer qu’une application est linéaire, on fixe \(x, y\) dans \(E\) et \(\lambda, \mu\) dans \(\mathbb{K}\). On calcule ensuite \(f(\lambda x + \mu y)\) et l’on fait apparaître \(\lambda f(x) + \mu f(y)\). Pour montrer au contraire qu’une application n’est pas linéaire, un seul contre-exemple suffit. Le plus rapide consiste souvent à tester \(f(0_E)\).

L’application \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y) \mapsto (2x + y, x + y)\) est linéaire. En effet, ses coordonnées sont des combinaisons linéaires de \(x\) et \(y\). La dérivation \(D : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R}[X]\), \(P \mapsto P^{\prime}\) est aussi linéaire, tout comme \(\varphi : \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}) \to \mathbb{R}\), \(g \mapsto \int_0^1 g(t)\, \mathrm{d}t\).

En revanche, \((x, y) \mapsto (x + 1, y)\) n’est pas linéaire, car l’image de \((0, 0)\) vaut \((1, 0)\). De même, \((x, y) \mapsto xy\) ne l’est pas : l’image de \(2(1, 1)\) vaut \(4\) et non \(2\).

Muni de l’addition \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\) et de la multiplication externe \((\lambda f)(x) = \lambda f(x)\), l’ensemble \(\mathcal{L}(E, F)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. C’est un sous-espace vectoriel de l’espace \(F^E\) de toutes les applications de \(E\) dans \(F\).

L’application nulle est linéaire, donc \(\mathcal{L}(E, F)\) n’est pas vide. Soient ensuite \(f, g\) linéaires et \(\alpha \in \mathbb{K}\). Pour \(x, y \in E\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\), on a :

\[ (\alpha f + g)(\lambda x + \mu y) = \alpha \lambda f(x) + \alpha \mu f(y) + \lambda g(x) + \mu g(y) = \lambda (\alpha f + g)(x) + \mu (\alpha f + g)(y). \]

Par conséquent, \(\alpha f + g\) est linéaire. On conclut par la caractérisation des sous-espaces vectoriels.

Si \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) et \(g \in \mathcal{L}(F, G)\), alors \(g \circ f \in \mathcal{L}(E, G)\). De plus, si \(f\) est un isomorphisme, sa réciproque \(f^{-1}\) est linéaire, donc c’est un isomorphisme de \(F\) sur \(E\).

D’abord, \(g(f(\lambda x + \mu y)) = g(\lambda f(x) + \mu f(y)) = \lambda g(f(x)) + \mu g(f(y))\). Ensuite, soient \(u, v \in F\). Posons \(x = f^{-1}(u)\) et \(y = f^{-1}(v)\). Par linéarité de \(f\), on obtient \(f(\lambda x + \mu y) = \lambda u + \mu v\). En appliquant \(f^{-1}\), il vient \(f^{-1}(\lambda u + \mu v) = \lambda f^{-1}(u) + \mu f^{-1}(v)\).

La composition n’est pas commutative. Par exemple, dans \(\mathbb{R}^2\), prenons \(f(x, y) = (y, x)\) et \(g(x, y) = (x, 0)\). Alors \(f \circ g (x, y) = (0, x)\), tandis que \(g \circ f (x, y) = (y, 0)\). De même, \(f \circ g = 0\) n’entraîne pas \(f = 0\) ou \(g = 0\).

Soit \(f \in \mathcal{L}(E, F)\). Le noyau de \(f\) est \(\ker f = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\}\). L’image de \(f\) est \(\mathrm{Im}\, f = f(E) = \{f(x) \mid x \in E\}\).

Le noyau \(\ker f\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), et l’image \(\mathrm{Im}\, f\) est un sous-espace vectoriel de \(F\). Plus généralement, l’image directe d’un sous-espace de \(E\) et l’image réciproque d’un sous-espace de \(F\) sont des sous-espaces vectoriels.

On a \(f(0_E) = 0_F\), donc \(0_E \in \ker f\). Si \(x, y \in \ker f\), alors \(f(\lambda x + \mu y) = \lambda \cdot 0_F + \mu \cdot 0_F = 0_F\). Ainsi, \(\ker f\) est stable par combinaison linéaire. De même, \(0_F = f(0_E)\) appartient à \(\mathrm{Im}\, f\). Enfin, \(\lambda f(x) + \mu f(y) = f(\lambda x + \mu y)\) appartient à \(\mathrm{Im}\, f\).

Soit \(f \in \mathcal{L}(E, F)\). Alors \(f\) est injective si et seulement si \(\ker f = \{0_E\}\). Par ailleurs, \(f\) est surjective si et seulement si \(\mathrm{Im}\, f = F\).

Supposons \(f\) injective. Si \(f(x) = 0_F = f(0_E)\), alors \(x = 0_E\). Donc \(\ker f = \{0_E\}\). Réciproquement, supposons \(\ker f = \{0_E\}\). Si \(f(x) = f(y)\), la linéarité donne \(f(x – y) = 0_F\). Par conséquent, \(x – y \in \ker f\), d’où \(x = y\). Le second point est la définition de la surjectivité.

Si \((e_1, \ldots, e_n)\) est une famille génératrice de \(E\), alors \(\mathrm{Im}\, f = \mathrm{Vect}(f(e_1), \ldots, f(e_n))\).

Tout \(x \in E\) s’écrit \(x = \sum_{i=1}^n x_i e_i\). Donc \(f(x) = \sum_{i=1}^n x_i f(e_i)\) appartient à \(\mathrm{Vect}(f(e_1), \ldots, f(e_n))\). L’inclusion inverse vient du fait que \(\mathrm{Im}\, f\) est un sous-espace contenant chaque \(f(e_i)\).

Pour déterminer le noyau, on résout le système linéaire \(f(x) = 0\). On décrit ensuite l’ensemble des solutions par une base. Pour déterminer l’image, on calcule les images d’une base de \(E\). Puis on extrait de cette famille génératrice une base de \(\mathrm{Im}\, f\). Si besoin, on cherche enfin des équations de l’image.

Soit \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y, z) \mapsto (x + y – z, 2x + 2y – 2z)\). Le noyau est le plan d’équation \(x + y – z = 0\). Une base en est \(((1, -1, 0), (1, 0, 1))\). L’image est engendrée par \(f(e_1) = (1, 2)\), \(f(e_2) = (1, 2)\) et \(f(e_3) = (-1, -2)\). Donc \(\mathrm{Im}\, f = \mathrm{Vect}((1, 2))\) : c’est une droite.

Soit \((e_1, \ldots, e_n)\) une base de \(E\), et soient \(v_1, \ldots, v_n\) des vecteurs quelconques de \(F\). Il existe une unique application linéaire \(f : E \to F\) telle que \(f(e_i) = v_i\) pour tout \(i\).

Unicité : si \(f\) convient et si \(x = \sum x_i e_i\), alors nécessairement \(f(x) = \sum x_i v_i\). Existence : les coordonnées \(x_i\) de \(x\) sont uniques. On peut donc poser \(f(x) = \sum_{i=1}^n x_i v_i\). Les coordonnées de \(\lambda x + \mu y\) sont \(\lambda x_i + \mu y_i\). Ainsi, \(f\) est linéaire, et \(f(e_i) = v_i\).

Soit \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) et \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) une base de \(E\).

• \(f\) est injective si et seulement si \((f(e_1), \ldots, f(e_n))\) est libre ;
• \(f\) est surjective si et seulement si \((f(e_1), \ldots, f(e_n))\) engendre \(F\) ;
• \(f\) est un isomorphisme si et seulement si \((f(e_1), \ldots, f(e_n))\) est une base de \(F\).

On a \(\sum x_i f(e_i) = 0\) si et seulement si \(\sum x_i e_i \in \ker f\). Donc la famille des images est libre exactement quand \(\ker f = \{0\}\). Le point sur la surjectivité découle de \(\mathrm{Im}\, f = \mathrm{Vect}(f(e_1), \ldots, f(e_n))\). Le troisième point combine les deux premiers.

Cherchons \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) telle que \(f(1, 1) = (0, 2)\) et \(f(1, -1) = (2, 0)\). La famille \(((1, 1), (1,-1))\) est une base, donc \(f\) existe et est unique. Or \((x, y) = \frac{x + y}{2}(1, 1) + \frac{x – y}{2}(1, -1)\). Par conséquent, \(f(x, y) = (x – y, x + y)\).

Soit \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) avec \(E\) de dimension finie. L’image \(\mathrm{Im}\, f\) est alors de dimension finie. On appelle rang de \(f\) le nombre \(\mathrm{rg}\, f = \dim \mathrm{Im}\, f\).

Théorème du rang. Soit \(E\) de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E, F)\). Alors :

\[ \dim E = \dim \ker f + \mathrm{rg}\, f. \]

Plus précisément, si \(S\) est un supplémentaire de \(\ker f\) dans \(E\), alors \(f\) induit un isomorphisme de \(S\) sur \(\mathrm{Im}\, f\).

En dimension finie, \(\ker f\) admet un supplémentaire \(S\). Ainsi, \(E = \ker f \oplus S\) et \(\dim S = \dim E – \dim \ker f\). Considérons la restriction \(g : S \to \mathrm{Im}\, f\), \(x \mapsto f(x)\). Elle est linéaire.

D’abord, \(g\) est injective. En effet, si \(x \in S\) et \(f(x) = 0\), alors \(x \in S \cap \ker f = \{0\}\).

Ensuite, \(g\) est surjective. Soit \(y = f(x)\) dans \(\mathrm{Im}\, f\). On écrit \(x = k + s\) avec \(k \in \ker f\) et \(s \in S\). Alors \(y = f(k) + f(s) = g(s)\).

Finalement, \(g\) est un isomorphisme. Donc \(\dim S = \dim \mathrm{Im}\, f\), ce qui donne la formule.

Soit \(f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y, z, t) \mapsto (x + y, z + t)\). L’image contient \(f(e_1) = (1, 0)\) et \(f(e_3) = (0, 1)\), donc \(\mathrm{rg}\, f = 2\). Le théorème du rang donne alors \(\dim \ker f = 4 – 2 = 2\), sans résoudre de système. On vérifie d’ailleurs que \(\ker f = \mathrm{Vect}((1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, -1))\).

Pour appliquer le théorème du rang, on calcule la dimension la plus facile, noyau ou image. On en déduit l’autre par \(\dim E = \dim \ker f + \mathrm{rg}\, f\). Ainsi, si l’on connaît \(\dim \ker f\) et une famille libre de l’image ayant le bon nombre de vecteurs, cette famille est une base de l’image.

Soient \(E\) et \(F\) de dimension finie avec \(\dim E = \dim F = n\), et \(f \in \mathcal{L}(E, F)\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

• \(f\) est injective ;
• \(f\) est surjective ;
• \(f\) est bijective ;
• \(\mathrm{rg}\, f = n\).

Par le théorème du rang, \(\mathrm{rg}\, f = n – \dim \ker f\). Or \(f\) est injective si et seulement si \(\dim \ker f = 0\), c’est-à-dire \(\mathrm{rg}\, f = n\). De même, \(f\) est surjective si et seulement si \(\dim \mathrm{Im}\, f = \dim F = n\). En effet, un sous-espace de même dimension finie que \(F\) est égal à \(F\). Les deux conditions sont donc équivalentes à \(\mathrm{rg}\, f = n\), et donc à la bijectivité.

L’hypothèse de dimension finie est indispensable. Dans \(\mathbb{R}[X]\), la dérivation \(P \mapsto P^{\prime}\) est surjective mais pas injective. À l’inverse, \(P \mapsto XP\) est injective mais pas surjective.

Soient \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) et \(g \in \mathcal{L}(F, G)\), en dimension finie. Alors \(\mathrm{rg}(g \circ f) \leq\, \min(\mathrm{rg}\, f, \mathrm{rg}\, g)\). De plus, composer par un isomorphisme ne change pas le rang.

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces supplémentaires de \(E\). Tout \(x \in E\) s’écrit de façon unique \(x = x_F + x_G\) avec \(x_F \in F\) et \(x_G \in G\).

• La projection sur \(F\) parallèlement à \(G\) est \(p : x \mapsto x_F\).
• La symétrie par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\) est \(s : x \mapsto x_F – x_G\).

Soit \(p \in \mathcal{L}(E)\). Alors \(p\) est un projecteur, c’est-à-dire une projection, si et seulement si \(p \circ p = p\). Dans ce cas, \(p\) est la projection sur \(\mathrm{Im}\, p = \ker(p – \mathrm{Id}_E)\) parallèlement à \(\ker p\), et \(E = \mathrm{Im}\, p \oplus \ker p\).

Une projection vérifie \(p(p(x)) = p(x_F) = x_F\), car \(x_F = x_F + 0\). Réciproquement, supposons \(p^2 = p\). D’abord, si \(y \in \mathrm{Im}\, p\), on écrit \(y = p(x)\), donc \(p(y) = p^2(x) = y\). Ainsi, \(\mathrm{Im}\, p = \ker(p – \mathrm{Id}_E)\).

Ensuite, tout \(x\) s’écrit \(x = p(x) + (x – p(x))\). Or \(p(x – p(x)) = p(x) – p^2(x) = 0\), donc \(E = \mathrm{Im}\, p + \ker p\). Enfin, si \(y\) est dans les deux, alors \(y = p(y) = 0\). La somme est donc directe, et \(p(x)\) est bien la composante de \(x\) sur \(\mathrm{Im}\, p\).

Soit \(s \in \mathcal{L}(E)\). Alors \(s\) est une symétrie si et seulement si \(s \circ s = \mathrm{Id}_E\). Dans ce cas, \(s\) est la symétrie par rapport à \(F = \ker(s – \mathrm{Id}_E)\) parallèlement à \(G = \ker(s + \mathrm{Id}_E)\). De plus, \(p = \frac{1}{2}(s + \mathrm{Id}_E)\) est la projection associée, et \(s = 2p – \mathrm{Id}_E\).

Si \(s\) est la symétrie par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\), alors \(s = 2p – \mathrm{Id}_E\), où \(p\) est la projection correspondante. Réciproquement, supposons \(s^2 = \mathrm{Id}_E\) et posons \(p = \frac{1}{2}(s + \mathrm{Id}_E)\). On calcule \(p^2 = \frac{1}{4}(s^2 + 2s + \mathrm{Id}_E) = \frac{1}{2}(s + \mathrm{Id}_E) = p\). Donc \(p\) est un projecteur. De plus, \(p(x) = x\) équivaut à \(s(x) = x\), et \(p(x) = 0\) équivaut à \(s(x) = -x\). On conclut avec le théorème précédent.

Pour reconnaître un projecteur, on vérifie \(p \circ p = p\). Ensuite, on détermine ses éléments : \(\mathrm{Im}\, p\) en résolvant \(p(x) = x\), et \(\ker p\) en résolvant \(p(x) = 0\). Pour une symétrie, on vérifie \(s \circ s = \mathrm{Id}_E\), puis on résout \(s(x) = x\) et \(s(x) = -x\).

Dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), l’application \(s : M \mapsto M^{\mathrm{T}}\) vérifie \(s \circ s = \mathrm{Id}\). C’est donc la symétrie par rapport aux matrices symétriques, parallèlement aux matrices antisymétriques. Par conséquent, \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\).

Une forme linéaire sur \(E\) est une application linéaire de \(E\) dans \(\mathbb{K}\). Un hyperplan de \(E\) est le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Sur \(\mathbb{K}^n\), les formes linéaires sont exactement les applications \((x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n\). Sur \(\mathbb{R}_n[X]\), l’application \(P \mapsto P(1)\) est une forme linéaire. De même, \(P \mapsto \int_0^1 P(t)\, \mathrm{d}t\) en est une.

Soit \(\varphi\) une forme linéaire non nulle sur \(E\) et \(H = \ker \varphi\). Pour tout vecteur \(a \notin H\), on a \(E = H \oplus \mathrm{Vect}(a)\). En particulier, si \(\dim E = n\), alors \(\dim H = n – 1\).

On a \(\varphi(a) \neq 0\). Pour \(x \in E\), posons \(\lambda = \frac{\varphi(x)}{\varphi(a)}\). Alors \(\varphi(x – \lambda a) = 0\), donc \(x = (x – \lambda a) + \lambda a\) avec \(x – \lambda a \in H\). Ensuite, si \(\mu a \in H\), alors \(\mu \varphi(a) = 0\), donc \(\mu = 0\). En dimension finie, on peut aussi utiliser le théorème du rang : \(\varphi\) est non nulle, donc \(\mathrm{rg}\, \varphi = 1\) et \(\dim H = n – 1\).

Deux formes linéaires non nulles \(\varphi\) et \(\psi\) ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles : \(\psi = \lambda \varphi\) avec \(\lambda \neq 0\). Ainsi, un hyperplan possède une équation unique à un facteur non nul près.

Le sens réciproque est immédiat. Supposons ensuite \(\ker \varphi = \ker \psi = H\). Choisissons \(a \notin H\) et posons \(\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}\). Les formes \(\psi\) et \(\lambda \varphi\) coïncident sur \(H\), où elles sont nulles, et en \(a\). Or \(E = H \oplus \mathrm{Vect}(a)\). Par linéarité, elles sont donc égales.

En dimension finie, la réciproque du théorème est vraie : tout sous-espace de dimension \(n – 1\) est un hyperplan. En effet, on complète une base \((h_1, \ldots, h_{n-1})\) de ce sous-espace en une base de \(E\). Ensuite, on prend pour \(\varphi\) la forme « dernière coordonnée ».