Ce QCM vérifie la maîtrise des formules de Taylor et des développements limités en L1 : relations de comparaison, DL usuels, opérations, applications aux limites, tangentes et asymptotes. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Formules de Taylor et développements limités du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Développements limités - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quel est le développement limité à l’ordre \(5\) en \(0\) de \(\arctan x\) ?
A\(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)\)
B\(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)\)
C\(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)\)
D\(x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)\)
Question 2
Quel est le développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\) de \(e^{\sin x}\) ?
A\(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3)\)
B\(1 + x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)
C\(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)
D\(1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)
Question 3
Que vaut \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3}\) ?
A\(-\frac{1}{3}\)
B\(-\frac{1}{6}\)
C\(0\)
D\(\frac{1}{6}\)
Question 4
Au voisinage de \(0\), à quoi est équivalent \(\tan x - \sin x\) ?
A\(\frac{x^3}{6}\)
B\(\frac{x^3}{3}\)
C\(0\)
D\(\frac{x^3}{2}\)
Question 5
Que vaut \(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} e^{-n}\) ?
A\(e^{1/2}\)
B\(1\)
C\(0\)
D\(e^{-1/2}\)
Question 6
Quel est l’énoncé de la formule de Taylor-Young à l’ordre \(n\) en \(a\), pour \(f\) de classe \(\mathcal{C}^n\) au voisinage de \(a\) ?
Par l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à \(\exp\) sur \([0, 1]\), quelle majoration obtient-on, valable pour tout \(n \in \mathbb{N}\) ?
A\(\left| e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right| \leqslant \frac{e}{(n+2)!}\)
B\(\left| e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right| \leqslant \frac{e}{(n+1)!}\)
C\(\left| e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right| \leqslant \frac{1}{(n+1)!}\)
D\(\left| e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right| \leqslant \frac{1}{(n+2)!}\)
Question 8
Quelle est la position de la courbe de \(\sin\) par rapport à sa tangente en \(0\) ?
AElle est au-dessus de sa tangente au voisinage de \(0\)
BElle la traverse : au-dessus pour \(x > 0\) petit, au-dessous pour \(x < 0\)
CElle la traverse : au-dessous pour \(x > 0\) petit, au-dessus pour \(x < 0\)
DElle est au-dessous de sa tangente au voisinage de \(0\)
Question 9
Quelle est l’asymptote en \(+\infty\) de la courbe de \(f(x) = \sqrt{x^2 + x}\) ?
A\(y = x\)
B\(y = x - \frac{1}{2}\)
C\(y = x + 1\)
D\(y = x + \frac{1}{2}\)
Question 10
Au voisinage de \(0\), laquelle de ces affirmations est vraie ?
A\(\ln(1 + x) - x \sim -\frac{x^2}{2}\)
B\(\ln(1 + x) - x \sim -x\)
C\(\ln(1 + x) - x = o(x^2)\)
D\(\ln(1 + x) - x \sim \frac{x^2}{2}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de développements limités en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les relations de comparaison \(o\), \(O\) et les équivalents ;
les formules de Taylor-Young et de Taylor-Lagrange ;
les DL usuels en \(0\) et leur composition ou intégration ;
le calcul de limites par DL, notamment pour les formes \(1^\infty\) ;
la position par rapport à la tangente et les asymptotes par développement asymptotique.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : additionner des équivalents. De \(\tan x \sim x\) et \(\sin x \sim x\), on ne peut pas déduire \(\tan x – \sin x \sim 0\) ; il faut des développements limités à un ordre suffisant, qui donnent \(\frac{x^3}{2}\).
Comment réviser avant de refaire le test
Avant de composer ou de multiplier des DL, déterminez l’ordre nécessaire de chaque facteur : si un facteur commence par \(x\), l’autre n’a besoin que d’un ordre de moins. Vous éviterez à la fois les termes manquants et les calculs inutiles. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Quelle différence entre Taylor-Young et Taylor-Lagrange ?
Taylor-Young est un résultat local : le reste est un \(o((x-a)^n)\), sans contrôle chiffré. Taylor-Lagrange est global : il majore le reste par \(\frac{M |x – a|^{n+1}}{(n+1)!}\) sur tout un intervalle.
Peut-on composer des équivalents ?
On peut les multiplier, les diviser et les élever à une puissance fixe, mais pas les additionner ni, en général, les composer à gauche par une fonction : \(e^{x + 1} \not\sim e^{x}\) en \(+\infty\) alors que \(x + 1 \sim x\).
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