Corrigé du contrôle de maths L1 : bijections et relations d’équivalence

Exercice 1 : Question de cours : composition et injectivité (4 points)

1. Une application \(f : E \to F\) est injective si \(\forall x, x^{\prime} \in E,\ f(x) = f(x^{\prime}) \Rightarrow x = x^{\prime}\). Elle est surjective si \(\forall y \in F,\ \exists x \in E,\ y = f(x)\).

   Supposons \(g \circ f\) injective. Soient \(x, x^{\prime} \in E\) tels que \(f(x) = f(x^{\prime})\). En appliquant \(g\), on obtient \(g(f(x)) = g(f(x^{\prime}))\), c’est-à-dire \((g \circ f)(x) = (g \circ f)(x^{\prime})\). Comme \(g \circ f\) est injective, \(x = x^{\prime}\). Donc \(f\) est injective.

   Supposons maintenant \(g \circ f\) surjective. Soit \(z \in G\). Il existe \(x \in E\) tel que \(g(f(x)) = z\). Posons alors \(y = f(x)\) : c’est un élément de \(F\) qui vérifie \(g(y) = z\). Donc \(g\) est surjective.

2. Prenons \(E = [0,+\infty[\), \(F = G = \mathbb{R}\), \(f(x) = x\) (l’injection canonique) et \(g(y) = y^2\). Alors \(g \circ f\) est l’application \(x \mapsto x^2\) de \([0,+\infty[\) dans \(\mathbb{R}\).

   Elle est injective : si \(x, x^{\prime} \geq\, 0\) et \(x^2 = x^{\prime 2}\), alors \((x-x^{\prime})(x+x^{\prime}) = 0\). Or si \(x + x^{\prime} = 0\), les deux réels positifs sont nuls ; dans tous les cas, \(x = x^{\prime}\). En revanche, \(g(-1) = g(1) = 1\) avec \(-1 \neq 1\). Ainsi \(g \circ f\) est injective, mais \(g\) ne l’est pas.

Barème : a) 0,5 point pour les définitions, 1 point pour chaque implication ; b) 0,5 point pour le choix des applications, 0,5 point pour l’injectivité de la composée, 0,5 point pour la non-injectivité de g.

Exercice 2 : Images directes et réciproques par la fonction carré (4 points)

1. Soit \(x \in [-1,2]\). Alors \(|x| \leq\, 2\), donc \(0 \leq\, x^2 \leq\, 4\) : ainsi \(f([-1,2]) \subset [0,4]\). Réciproquement, soit \(y \in [0,4]\) ; le réel \(x = \sqrt{y}\) appartient à \([0,2] \subset [-1,2]\) et vérifie \(f(x) = y\). Donc \(f([-1,2]) = [0,4]\).

2. Par définition, \(x \in f^{-1}([1,4])\) si et seulement si \(1 \leq\, x^2 \leq\, 4\). La fonction racine carrée étant croissante, cela équivaut à \(1 \leq\, |x| \leq\, 2\). Donc \(f^{-1}([1,4]) = [-2,-1] \cup [1,2]\).

   

3. Un carré est toujours positif, donc aucun réel ne vérifie \(x^2 \in [-3,-1]\). Ainsi \(f^{-1}([-3,-1]) = \emptyset\).

   Ensuite, \(x^2 \in [-1,4]\) équivaut à \(x^2 \leq\, 4\), soit \(x \in [-2,2]\). Par le même raisonnement qu’en a), \(f([-2,2]) = [0,4]\). Donc \(f(f^{-1}([-1,4])) = [0,4]\), qui est strictement inclus dans \([-1,4]\).

4. Soit \(y \in u(u^{-1}(B))\). Il existe \(x \in u^{-1}(B)\) tel que \(y = u(x)\) ; or \(x \in u^{-1}(B)\) signifie \(u(x) \in B\). Donc \(y \in B\), d’où l’inclusion.

   Supposons \(u\) surjective et soit \(y \in B\). Il existe \(x \in E\) tel que \(u(x) = y\). Comme \(u(x) \in B\), on a \(x \in u^{-1}(B)\), puis \(y = u(x) \in u(u^{-1}(B))\). Il y a donc égalité lorsque \(u\) est surjective. La question c) montre que l’inclusion peut être stricte quand \(u\) n’est pas surjective.

Barème : a) 0,5 point par inclusion ; b) 0,5 point pour l’équivalence avec la valeur absolue, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour l’ensemble vide, 0,5 point pour [0,4] et la comparaison ; d) 0,5 point pour l’inclusion, 0,5 point pour le cas surjectif.

Exercice 3 : Deux applications de R2 dans R2 (5 points)

1. Soit \((u,v) \in \mathbb{R}^2\). On résout \(\varphi(x,y) = (u,v)\), c’est-à-dire le système \(x + y = u\) et \(x – y = v\). En additionnant puis en soustrayant, on obtient \(x = \dfrac{u+v}{2}\) et \(y = \dfrac{u-v}{2}\). Réciproquement, ce couple vérifie bien les deux équations.

   Ainsi, tout \((u,v)\) admet exactement un antécédent. Donc \(\varphi\) est bijective et \(\varphi^{-1}(u,v) = (\dfrac{u+v}{2},\ \dfrac{u-v}{2})\).

2. On a \(\psi(1,2) = (3,2)\) et \(\psi(2,1) = (3,2)\), alors que \((1,2) \neq (2,1)\). Donc \(\psi\) n’est pas injective.

3. Supposons que \(\psi(x,y) = (s,p)\). Alors \((X – x)(X – y) = X^2 – sX + p\), donc ce trinôme admet les racines réelles \(x\) et \(y\). Par conséquent, son discriminant est positif : \(s^2 – 4p \geq\, 0\).

   Réciproquement, supposons \(s^2 – 4p \geq\, 0\) et posons \(\delta = \sqrt{s^2 – 4p}\), \(x = \dfrac{s + \delta}{2}\), \(y = \dfrac{s – \delta}{2}\). Alors \(x + y = s\) et \(xy = \dfrac{s^2 – \delta^2}{4} = \dfrac{4p}{4} = p\). Donc \(\psi(x,y) = (s,p)\).

   Par exemple, \((0,1)\) vérifie \(0^2 – 4 = -4 < 0\) : il n’a pas d’antécédent. L’application \(\psi\) n’est pas surjective, et son image est \(\{(s,p) \in \mathbb{R}^2 : s^2 \geq\, 4p\}\).

Barème : a) 1 point pour la résolution du système, 0,5 point pour l’unicité et l’existence, 0,5 point pour la réciproque explicite ; b) 1 point ; c) 0,75 point pour le sens direct, 0,75 point pour la construction de l’antécédent, 0,5 point pour la non-surjectivité et l’image.

Exercice 4 : Problème : relation d’équivalence et ordre de divisibilité (7 points)

Partie A : cercles centrés en l’origine

1. Posons \(N(x,y) = x^2 + y^2\), de sorte que \((x,y)\,\mathcal{R}\,(x^{\prime},y^{\prime})\) équivaut à \(N(x,y) = N(x^{\prime},y^{\prime})\). La relation hérite alors des propriétés de l’égalité des réels. Elle est réflexive, car \(N(x,y) = N(x,y)\). Elle est symétrique, car l’égalité l’est. Enfin, elle est transitive : si \(N(x,y) = N(x^{\prime},y^{\prime})\) et \(N(x^{\prime},y^{\prime}) = N(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime})\), alors \(N(x,y) = N(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime})\). Donc \(\mathcal{R}\) est une relation d’équivalence.

2. Posons \(r = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\). La classe de \((x_0,y_0)\) est l’ensemble des points \((x,y)\) tels que \(x^2 + y^2 = r^2\). Si \((x_0,y_0) \neq (0,0)\), c’est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(r > 0\) ; la classe de l’origine est le singleton \(\{(0,0)\}\).

3. L’application \(\Phi : Q \to [0,+\infty[\) est bien définie, car tous les éléments d’une même classe ont, par définition, la même valeur de \(N\), qui est positive.

   Elle est injective. En effet, soient \(C\) et \(C^{\prime}\) deux classes telles que \(\Phi(C) = \Phi(C^{\prime})\). Choisissons \((x,y) \in C\) et \((x^{\prime},y^{\prime}) \in C^{\prime}\). Alors \(N(x,y) = N(x^{\prime},y^{\prime})\), donc ces points sont en relation, et leurs classes sont égales : \(C = C^{\prime}\).

   Elle est surjective. En effet, pour \(t \geq\, 0\), la classe du point \((\sqrt{t}, 0)\) a pour image \(t\). Donc \(\Phi\) est une bijection de \(Q\) sur \([0,+\infty[\).

Partie B : la divisibilité

4. Réflexivité : \(a = 1 \times a\), donc \(a \mid a\).

   Antisymétrie : si \(a \mid b\) et \(b \mid a\), il existe \(k, k^{\prime} \in \mathbb{N}^*\) tels que \(b = ka\) et \(a = k^{\prime}b\). Alors \(a = kk^{\prime}a\), et comme \(a \neq 0\), \(kk^{\prime} = 1\). Or \(k\) et \(k^{\prime}\) sont des entiers au moins égaux à \(1\), donc \(k = k^{\prime} = 1\), puis \(a = b\).

   Transitivité : si \(b = ka\) et \(c = k^{\prime}b\), alors \(c = (kk^{\prime})a\) avec \(kk^{\prime} \in \mathbb{N}^*\), donc \(a \mid c\). La divisibilité est bien une relation d’ordre sur \(\mathbb{N}^*\).

5. On n’a ni \(2 \mid 3\) ni \(3 \mid 2\). L’ordre n’est donc pas total : il est partiel.

6. Un entier \(m \in \mathbb{N}^*\) majore \(A\) si et seulement s’il est multiple de \(2\), \(3\), \(4\) et \(6\). Il est alors multiple de \(4\) et de \(3\), qui sont premiers entre eux, donc multiple de \(12\) ; réciproquement, tout multiple de \(12\) convient. Les majorants sont les multiples de \(12\), et le plus petit d’entre eux est \(12\), car \(12\) divise chacun d’eux.

   Un plus grand élément de \(A\) serait un majorant appartenant à \(A\). Or aucun des nombres \(2\), \(3\), \(4\), \(6\) n’est multiple de \(12\). Donc \(A\) n’a pas de plus grand élément.

Barème : a) 0,5 point par propriété ; b) 0,5 point pour le cercle, 0,5 point pour le cas de l’origine ; c) 0,5 point pour la bonne définition, 0,5 point pour l’injectivité, 0,5 point pour la surjectivité ; d) 0,5 point par propriété, l’antisymétrie exigeant l’argument sur k et k prime ; e) 0,5 point ; f) 0,5 point pour les majorants et 12, 0,5 point pour l’absence de plus grand élément.

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Après le corrigé du contrôle : bijections et relations d’équivalence

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